【数学】宁夏吴忠市2020届高三一轮联考试题（理）（解析版）

【数学】宁夏吴忠市2020届高三一轮联考试题（理）（解析版）

宁夏吴忠市2020届高三一轮联考数学试题（理）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设全集为R，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得：，‎ 结合交集的定义可得：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎2.已知（为虚数单位），则复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得，故选D.‎ ‎3.已知向量，，则“”是“”成立的　　‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由，可得：，解得，‎ ‎ “”是“”成立的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎4.已知变量x，y满足约束条件则的最大值为（　　）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，，可知截距越大值越大，根据图象得出最优解为，则的最大值为2，选B.‎ ‎5.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）‎ A. 48 B. ‎72 ‎C. 90 D. 96‎ ‎【答案】D ‎【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛 ‎①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为96.‎ ‎6.如图，圆：内的正弦曲线与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率是（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为 正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，‎ 根据图形的对称性得：面积为S= =-2cosx|0π=4，‎ 由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=，‎ 故选B.‎ ‎7.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿（ ）‎ A. 斗粟 B. 斗粟 C. 斗粟 D. 斗粟 ‎【答案】D ‎【解析】羊、马、牛的主任所应赔偿的比例是，故牛主人比羊主人多赔偿了斗.‎ 故选：D.‎ ‎8.函数的部分图象如图所示,则的值为( )‎ A. B. C. D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图可得，最小正周期为，‎ 所以，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 所以.‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎9.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，则“三斜求积公式”为.若，，则用“三斜求积公式”求得的( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由 可得，‎ 由 可得，‎ 整理计算有：，‎ 结合三角形面积公式可得： .‎ 故选D.‎ ‎10.已知正三棱柱中，底面积为，一个侧面的周长为，则正三棱柱外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，设底面边长为，则底面面积为，所以 因为一个侧面的周长为，所以 设、分别为上、下底面的的中心，连接，设的中点为 则点为正三棱柱外接球的球心，连接、‎ 则 在直角三角形中，‎ 即外接球的半径为，所以外接球的表面积为 故选：C.‎ ‎11.设是双曲线左、右焦点，是双曲线右支上一点，满足（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】设,则,因,故,即,故点在以坐标原点为圆心为半径的圆上,所以,设,由双曲线的定义可得,又,即,所以,即,故应选D.‎ ‎12.函数定义域为，若满足①在内是单调函数；②存在使在上的值域为，那么就称为“成功函数”，若函数是“成功函数”，则的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵是“成功函数”，‎ ‎∴在其定义域内增函数，，‎ ‎∴，，‎ 令，∴有两个不同的正数根，‎ ‎∴，解得，故选C.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.的展开式中的常数项为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】二项式的展开式的通项为 令可得 所以常数项为 故答案为：‎ ‎14.已知，且，则的值为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以 故答案为：.‎ ‎15.设直线与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若，则圆C的面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为圆心坐标与半径分别为，‎ 所以圆心到直线的距离，则，解之得，‎ 所以圆的面积，应填答案．‎ ‎16.已知定义在上的函数满足恒成立，且（为自然对数的底数），则不等式的解集为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】定义在上的函数满足恒成立，‎ 令，则，‎ 故是R上的单调增函数，而，‎ 不等式等价于，即，所以解集为：.‎ 故答案为：‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17.在中，角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，的面积为，求.‎ 解：（1）∵.‎ ‎∴由正弦定理可得：，‎ 可得：，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，的面积为，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎∵由余弦定理可得： .‎ ‎∵，‎ ‎∴可得：，‎ 解得：.‎ ‎18.随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店． ‎ ‎（1）若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率； ‎ ‎（2）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．‎ 解：（1）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A， ‎ 则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”， ‎ 则P（A）=1﹣P=1﹣=． ‎ ‎（2）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=， ‎ P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=． ‎ E（X）=0×+1×+2×+3×=． ‎ ‎19.如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎（1）证明：平面平面，平面平面，且平面，平面，‎ 平面，，‎ 四边形为菱形且为中点，，又，，‎ 又，，‎ 平面，，平面.‎ ‎（2）解：以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系，‎ 设，则，，‎ ‎，，，，‎ 则，，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，令，则，，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，令，则，，，‎ ‎，‎ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.‎ ‎20.设函数，.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调性和极小值（其中为自然对数的底数）；‎ ‎（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．‎ 解：（1），，‎ 由于曲线在点处的切线与直线垂直，则，可得.‎ 此时，，定义域为，，令，得.‎ 列表如下：‎ 极小值 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，‎ 函数的极小值为；‎ ‎（2）由的，‎ 设，则，‎ 由于，所以，函数在上单调递减，‎ ‎，由题意可知对任意的恒成立，可得，‎ 对于二次函数，‎ 当时，函数取得最大值，.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎21.已知椭圆：的焦点为，离心率为，点为其上动点，且三角形的面积最大值为，为坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的的方程；‎ ‎（2）若点为上的两个动点，求常数，使时，点到直线的距离为定值，求这个定值.‎ 解：（1）依题意知：解得，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，则（*）‎ 当直线的斜率存在时设其方程为，则点到直线的距离，‎ 消，得，得，则，，代入（*）式：‎ ‎，整理得为常数，则，此时满足 当轴时，由得，消：，亦成立，‎ 综上：，.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与轴，轴分别交于两点，点是圆上任一点，求两点的极坐标和面积的最小值 解：（1）由消去参数，得，‎ 所以圆的普通方程为.‎ 由，得，‎ 所以直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）直线与轴，轴的交点为，化为极坐标为，‎ 设点的坐标为，则点到直线的距离为 ‎，‎ ‎∴，又，‎ 所以面积的最小值是.‎ ‎23.已知函数 ‎（Ⅰ）解不等式．‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）不等式可化为.‎ 当时，解得即；‎ 当时，解得即：‎ 当时，解得即;‎ 综上所述:不等式的解集为或.‎ ‎（Ⅱ）由不等式可得 ‎，‎ ‎ ‎ ‎，即 解得或 故实数的取值范围是或.‎