2018-2019学年江西省会昌中学高二上学期第一次月考数学（文）试题（卓越班）解析版

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绝密★启用前 江西省会昌中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（文）试卷（卓越班）‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知向量，若，则实数 的值等于（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目给出的向量的坐标，直接由两个向量共线的坐标表示列式求解x的值．‎ ‎【详解】‎ 因为向量=（2x+1，4），=（2﹣x，3），‎ 由，‎ 所以3（2x+1）﹣4（2﹣x）=0，解得．‎ 故答案为:B ‎【点睛】‎ 本题考查了平行向量与共线向量，考查了平行向量的坐标运算，解答的关键是熟记坐标 运算公式，是基础题．(2) 如果=,=，则||的充要条件是.‎ ‎2．设等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A． 16 B． 14 C． 12 D． 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：令等差数列的首项为公差为，∵，则，得，‎ 故，故选项为A.‎ 考点：等差数列的性质.‎ ‎3．如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=sinx的图象 A． 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 B． 向左平移至个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C． 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 D． 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 ‎【答案】A ‎【解析】由图可知A=1，T=π，‎ ‎∴ω=2，‎ 又﹣ω+φ=2kπ（k∈Z），‎ ‎∴φ=2kπ+（k∈Z），又0＜ϕ＜，‎ ‎∴φ=，‎ ‎∴y=sin（2x+）．‎ ‎∴为了得到这个函数的图象，只需将y=sinx（x∈R）的图象上的所有向左平移个长度单位，得到y=sin（x+）的图象，再将y=sin（x+）的图象上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变）即可．‎ 故答案为A。‎ ‎4．已知，且满足则的最大值为 A． 10 B． 6 C． 5 D． 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程 组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】‎ 由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得A（1，1），‎ 化目标函数z=x+2y为y=﹣，‎ 由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ ‎（1）本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．（2）解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.‎ ‎5．动直线：（）与圆：交于点，，则弦最短为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：因为直线经过（2，﹣2），因为圆C截得的弦AB最短，则和AB垂直的直径必然过此点，则求出此直径所在直线的方程，根据两直线垂直得到两条直线的斜率乘积为﹣1，即可求出m值，然后利用勾股定理即可求出最短弦.‎ 详解：由直线l：可知直线l过（2，﹣2）；‎ 因为圆C截得的弦AB最短，则和AB垂直的直径必然过此点，‎ 且由圆C化简得 则圆心坐标为（1，2）‎ 然后设这条直径所在直线的解析式为l1：y=mx+b，‎ 把（2，﹣2）和（1，2）代入求得y=﹣4x+6，‎ 因为直线l1和直线AB垂直，两条直线的斜率乘积为﹣1，所以得m=﹣4，‎ ‎ 即直线：‎ 弦最短为 故选：D．‎ 点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。‎ ‎6．设、是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若， ，则 ②若， ， ，则 ‎③若， ，则 ④若， ，则 其中正确命题的序号是（ ）．‎ A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D． ①和④‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于①，因为，所以经过作平面，使，可得，‎ 又因为， ，所以，结合得．由此可得①是真命题；‎ 对于②，因为且，所以，‎ 结合，可得，故②是真命题；‎ 对于③，设直线、是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，‎ 而平面是正方体下底面所在的平面，‎ 则有且成立，但不能推出，故③不正确；‎ 对于④，设平面、、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，‎ 则有且，但是，推不出，故④不正确．‎ 综上所述，其中正确命题的序号是①和②，‎ 故选： ．‎ ‎7．若直线L1:ax+2y+6=0与直线L2:x+(a-1)y+(-1)=0平行但不重合，则a等于（ ）‎ A． -1或2 B． C． -1 D． 28．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先验证无斜率情况，再利用平行关系可解结果．‎ ‎【详解】‎ 当a=0或a=1时，都不满足条件，‎ 当a≠0且a≠1时，两直线平行，‎ 则﹣=，‎ 即a2﹣a﹣2=0，‎ 解得a=2或a=﹣1，‎ 经验证a=﹣1时两直线平行且不重合，a=2时两直线重合．‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ ‎（1）本题考查了直线平行的条件，要注意直线有斜率和无斜率两种情况，不可漏掉无斜率 情况；要注意直线重合的情况．属于基础题．（2）直线和直线平行，则且两直线不重合，求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.‎ ‎8．圆上的点到直线 的最大距离与最小距离的和为（ ）‎ A． 18 B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为圆心，所以圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的距离的最大值为，应选答案C 。‎ ‎9．已知，是异面直线，直线平行于直线，那么与（ ）‎ A． 一定是异面直线 B． 一定是相交直线 C． 不可能是相交直线 D． 不可能是平行直线 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线b和c有可能在同一平面上，则相交；也有可能不在同一平面上，则异面；如果b∥c，‎ 则a∥b与已知矛盾．‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线a与b是异面直线，直线c∥a，‎ ‎∴直线b和c有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，‎ 如果b和c在同一平面上的话，二者的位置关系为相交；‎ 如果b和c不在同一平面上，二者的位置关系为异面．‎ 如果b∥c，则a∥b与已知a，b是异面直线矛盾；‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题考查两条直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的 培养．‎ ‎10．两圆与的公共切线有（ ）‎ A．1条 B．3条 C．2条 D．4条 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：的标准方程为，圆心为，半径为，‎ 圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆心距为，两圆外切，故公切线有3条．故选B．‎ 考点：两圆的位置关系．‎ ‎11．如右图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．‎ ‎【详解】‎ 根据几何体的三视图，得 该几何体是如图所示的直四棱锥；‎ 且四棱锥的底面为梯形，梯形的上底长为1，下底长为4，高为4；‎ 所以，该四棱锥的体积为 V=S底面积•h=.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎12．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】曲线方程可化为，其图像为半圆（如图所示），其中．又直线过定点，若直线与半圆有两个不同交点，则，当直线与相切时，有，解得，故实数．选C．‎ 点睛：曲线对应的图形不容易求得，适当变形后发现其图形为半圆，故可以考虑直线与半圆的两个临界位置：（1）直线与半圆相切；（2）直线过点 ‎，通过两个斜率的临界值计算动直线斜率的取值范围．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在中，角所对的边分别为，且满足，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 由，得因为在三角形中，所以即，=，，所以。填1.‎ ‎14．14．下图是一个算法的流程图，则输出S的值是 ．‎ ‎【答案】63‎ ‎【解析】本程序的功能是,所以输出的S值为63.‎ 视频 ‎15．已知水平放置的按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中， ，则原的面积为___________。‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】∵∠B'A'C'=90°, B'O'=C'O'=1，.‎ ‎∴A'O'=1， ∴原△ABC的高为2，△ABC面积为.‎ 点睛：由斜二测画法知，设直观图的面积为，原图形面积为，则．‎ ‎16．若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：圆化简为标准方程，可得，∴圆心坐标为，半径，∵在圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，∴圆心到直线的距离应小于或等于，由点到直线的距离公式，得，∴，整理得，解得，∵直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，即，由此可得直线的倾斜角的取值范围是．所以答案应填：．‎ 考点：1、直线与圆的位置关系；2、直线的斜率与倾斜角；3、点到直线的距离公式．‎ ‎【思路点睛】求出圆心为，半径，根据圆的性质可得：当圆上至少有三个不同的点到直线的距离为时，圆心到直线的距离应小于或等于，由此利用点到直线的距离公式和直线的斜率公式加以计算，即可得到直线的倾斜角的取值范围．本题考查了直线和圆的位置关系、直线与圆相交的性质、点到直线的距离公式以及直线倾斜角与斜率的关系等知识，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．求过点 ，且满足下列条件的直线方程：‎ ‎（1）倾斜角等于直线的倾斜角的二倍的直线方程；‎ ‎（2）在两坐标轴上截距相等的直线方程．‎ ‎【答案】（1） ．（2）或 ．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）求出直线的倾斜角，利用点斜式求出直线方程；‎ ‎（2）分类讨论，可得在两坐标轴上截距相等的直线方程.‎ 详解：（1） 由题意，可知 ，所以 ，‎ 则 ．所以 ，‎ 所以所求直线的方程为：．‎ ‎ （2） 当直线过原点时方程为：，当直线不过原点时方程为：．‎ 故所求直线的方程为 或 ．‎ 点睛：本题考查直线方程，考查分类讨论的数学思想.‎ ‎18．已知向量， ，设函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）在中，边分别是角的对边，角为锐角，若， ， 的面积为，求边的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质确 定函数的单调增区间．（2）根据（1）中函数的解析式，根据f（A）+sin（2A﹣）=1，求得A，根据三角形面积公式求得bc的值，利用余弦定理求得a．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得f（x）=sin2x﹣sinxcosx=﹣sin2x=﹣sin（2x+），‎ 令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，‎ 解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z 所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z ‎（2）由f（A）+sin（2A﹣）=1得：﹣sin（2A+）+sin（2A﹣）=1，‎ 化简得：cos2A=﹣，‎ 又因为0＜A＜，解得：A=，‎ 由题意知：S△ABC=bcsinA=2，解得bc=8，‎ 又b+c=7，所以a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc（1+cosA）=49﹣2×8×（1+）=25，‎ ‎∴a=5‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质，余弦定 理的应用．（2）一般利用复合函数的单调性原理求复合函数的单调区间，首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.‎ ‎19．已知数列 是公比为2的等比数列，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记 ，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1)； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由 得到，即得数列的通项公式.(2)先化简得，再利用裂项相消法求数列的前n项和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，有 ，‎ 由是公比为2的等比数列，∴ ，代入上式，得，‎ ‎∴ .‎ ‎（2）由题得，‎ 所以 .‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.‎ ‎20．甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：‎ 测试指标 机床甲 ‎8‎ ‎12‎ ‎40‎ ‎32‎ ‎8‎ 机床乙 ‎7‎ ‎18‎ ‎40‎ ‎29‎ ‎6‎ ‎（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；‎ ‎（2）甲机床生产一件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元；假设甲机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的日利润（单位：元）；‎ ‎（3）从甲、乙机床生产的零件指标在内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中任选2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）元;（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用频率公式求甲机床、乙机床生产的零件为优品的频率即得解.(2)先计算出甲机床被抽产品每1件的平均数利润，再估计甲机床该天的日利润.(3)利用古典概型的概率公式求这2件都是乙机床生产的概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为甲机床为优品的频率为，‎ 乙机床为优品的频率约为，‎ 所以估计甲、乙两机床为优品的概率分别为；‎ ‎（2）甲机床被抽产品每1件的平均数利润为元 所以估计甲机床每生产1件的利润为114.4元,‎ 所以甲机床某天生产50件零件的利润为元 ‎（3）由题意知，甲机床应抽取，乙机床应抽取，‎ 记甲机床的2个零件为，乙机床的3个零件为，‎ 若从5件中选取2件分别为共10种取法 满足条件的共有3种，分别为，‎ 所以，这2件都是乙机床生产的概率.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查频率和平均值的计算，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 古典概型的解题步骤：①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.‎ ‎21．如图,在四棱锥中,是等腰三角形,且.四边形是直角梯形,,,,,.‎ ‎（Ⅰ）求证:平面;‎ ‎（Ⅱ）当平面 平面时,求四棱锥的体积;‎ ‎（Ⅲ）请在图中所给的五个点中找出两个点,使得这两点所在的直线与直线垂直,并给出证明.‎ ‎【答案】(1)见解析； （2） ； （3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知AB∥DC，直接利用线面平行的判定证明AB∥平面PDC；（Ⅱ）取BC中点D，由 PB=PC，可得PD⊥BC，结合面面垂直的性质可得PD⊥平面ABCD，则PD为四棱锥P﹣ABCD的 高，求出底面直角梯形的面积，代入棱锥体积公式求四棱锥P﹣ABCD的体积；（Ⅲ）图中PA ‎⊥BC．由（Ⅱ）知，PD⊥BC，作CG⊥AB，在直角三角形CGB中，可得cos，再求 解三角形可得AD⊥BC，由线面垂直的判定可得BC⊥平面PAD，从而得到PA⊥BC．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）证明：∵AB∥DC，且DC⊂平面PDC，AB⊄平面PDC，‎ ‎∴AB∥平面PDC；‎ ‎（Ⅱ）解：取BC中点D，∵PB=PC，∴PD⊥BC，‎ 又平面PBC⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD=BC，‎ ‎∴PD⊥平面ABCD，则PD为四棱锥P﹣ABCD的高，‎ 在底面直角梯形ABCD中，由AB=5，AD=4，DC=3，‎ 得，且BC=．‎ 又PB=PC=3，∴PD=．‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅲ）解：图中PA⊥BC．‎ 证明如下：由（Ⅱ）知，PD⊥BC，‎ 作CG⊥AB，在直角三角形CGB中，可得cos，‎ 在三角形ADB中，由余弦定理可得，‎ 则AD2+BD2=AB2，‎ ‎∴AD⊥BC，‎ 又AD∩PD=D，∴BC⊥平面PAD，则PA⊥BC．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查空间几何元素位置关系的证明和几何体体积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.（2）几何体体积的计算常用的方法有公式法、割补法和体积变换法.‎ ‎22．已知曲线C上任意一点到的距离与到点 的距离之比均为.‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）设点，过点作两条相异直线分别与曲线C相交于两点，且直线和直线的倾斜角互补，求线段的最大值．‎ ‎【答案】(1) ； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设曲线C上的任意一点为Q（x，y），利用已知条件列出方程，即可求解曲线C的方程．‎ ‎（2）由题意知，直线PE和直线PF的斜率存在，且互为相反数，设直线PE的方程为y+3=k ‎（x﹣1），由消去y得（1+k2）x2﹣2k（k+3）x+k2+6k﹣1=0，求出EF的 坐标，得到直线的斜率，然后求解直线方程，转化求解EF 的距离的最小值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设曲线C上的任意一点为Q（x，y），‎ 由题意得，整理得x2+y2=10．‎ 即曲线C的方程为x2+y2=10.‎ ‎（2）由题意知，直线PE和直线PF的斜率存在，‎ 且互为相反数，因为P（1，﹣3），故可设直线PE的方程为y+3=k（x﹣1），‎ 由消去y得（1+k2）x2﹣2k（k+3）x+k2+6k﹣1=0，‎ 因为P（1，﹣3）在圆上，所以点P的横坐标x=1一定是该方程的解，‎ 故可得，同理，，‎ 所以==，‎ 故直线EF的斜率为定值，设直线EF的方程为，‎ 则圆C的圆心到直线EF的距离，‎ 所以，‎ 所以当b=0时，．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查点的轨迹方程，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是根据直线和直线的倾斜角互补求出直线EF的斜率为定值，其二是求出.‎