高三数学同步辅导教材(第16讲)

高三数学同步辅导教材(第16讲)

高三数学总复习教程（第 16 讲） 一、本讲内容 平面向量的数量积及其应用 本讲进度，向量的数量积，数量积的应用 二、学习指导 要深刻理解向量数量积的定义： a 、b = a b cos＜ 、 ＞.它是数（可正、可负，也可以为零）， 但不是向量，因此， · = · ，λ （ · ）= ·λ ， ·（ + c ）= · = · ， ·o =0 （而不是 ！）特别地，（ · ） ≠ ·（ · ），因为左边是与 共线的向量，而右边是与 共线的 向量，除特殊情况外，两者不相等。 我们利用向量的数量积（又称为点积）可以解决向量的夹角问题，特别地，利用向量的数量可以很 方便地解决垂直问题，： ⊥  · =0，（ ， 非零向量） cos ＜ 、 ＞是 在 上的射影，值得注意的是它仍是一个数（可正，可负，可以为 0）而不 是向量。 特别地， · = 2cos＜ · = 2，由此，可把点积与模长（距离）挂上钩。 三、典型的例题讲解 例 1．证明三角形中的射影定理：a=bcosC+ccosB 用向量证明一些三角问题，如正弦定理，余弦定理 等很方便，但同学们却觉得不好掌握，这里我们再看一个例子。 BC = BA + AC ，两边同等 ， BC 2= · +CA ·CB = BA cosB+ CA cosC 两边约去 ，可得 = cosB+ cosC，即 a=ccosB+bcosC 例 2．平面内有四点，O、A、B、C，记 OA= ，OB = ，OC = 若 + + = 且 · = · = · = －1，试判断△ABC 的形状，并求其面积. 千万不能由 · = · 约 得到 = ，一是过程差无根据，二是合得到 A、B、C 当同一点的荒 谬结论。 也不能由 · = ·+= · =－1 得到 b = c = =1，从而 = = =1，圆为 ba  ≠ · ， 前者 ba  =| + cos< · ＞|≤ ，等号当且仅当 ， 共线且同面或 ， 中有当 B 者 其他条件当然不是可有可无的，故应出现向量和，于是我们想到 · = · 和 · = · 相加， 得到了 2 · = （ + ）=－( + )2，进而有 2= 2= 4 · =0 如无 · =－1 的条件就做不下 去了，故在此时引入有 2= 2= 4，因原来的条件都是 、 、 的轮换对称式，当然想到 2= 2= 4 和 2= 2= 4，至此距解决问题已经不远了。 例 3．设i 、 j 分别为方向与 x 轴，y 轴的正向相同的单位向量，A、B、C 为同一直线上的三点，O 为坐标原点，已知 =－2 tm ， =n + ， =5 － ，又知 ⊥ ，求 m、n 的值. 求 m、n 两个未知数，有 ⊥ 及 A、B 共线两个条件，代入计算即可. 例 4．求证：三角形三角高线交于一点. 设三顶点后，表示出三边向量 、 、 ，设 a、b 两边的高线交点为 H，表示 ha 、hb =0 和 · =0 去证 · hc =0，从而说明三高共点. 为减少计算量，当然应当选取合适的坐标系，以一边及其上的高所在直线上为两坐标轴较好。 例 5．已知三不共线向量 a 、b 、c 两两所成角相等， 且 a =1， b =2， c =3，求 + + 的模长及已知三向量间的夹角. 要想把 、 、 两两所成角相等体现出来，我们以同一点 O 为始点作三有向线段OA、OB 、OC 两两夹角相等，均为 3 2 π . 于是要求 cba  ，只要先求( + + )2 即可. 例 6．已知 、 是两个非零向量，求证：当 ⊥( +x )时，| +x |最小. 要求 | +x |最小，等价于求何( +x )2 最小. ∵( +x )2=x2 2+2x · + 2 三项均为实数且平方项系数 2= 2＞0，故当 x=－ 2b ba  时原式有 最小值，此处，向量竟与二次函数挂上了钩. 例 7．设 1l 、 2l 为相互垂直的两个单位向量，问是滞存在整数 k，使得向量 m =k + 与向量 n = +k 夹角为比？证明你的结论. 已知夹角应使用向量的数量积：cos600= nm nm  其中 m = 2 m = 2 21 )( llk  = 12 k (因 ⊥ ，∴ · =0，因 、 为单位向量，∴ 2=1， 2=1)，如求出 k 合整值或 k 无解或无整数 解，问题均告解决. 例 8．已知 a 、b 均为非零向量，且 a = b = ba  的夹角. 根据公式 cos< ， + ＞= baa baa   )( = baa baa  2 应先求 ba  与 · 的值. ba = 2)( ba  = baba  222 ，也归纳到 、 上了，且 、 应通过 a = b = ，故 2= 2=( － )2= 2+ 2―2 · 求出. 例 9．求证：菱形的两条对角线互相垂直. 菱形是边长都相等的平行四边形“边长相等”怎么用？对菱形 ABCD，记 AB = · AD = ，则 AC = + ， BD = － ， · =( + )·( － )= 2－ 2，到此，可看出边长相等的作用了. 例 10．单位向量 、 夹角为 1200，求向量 m =2 +3 和向量 = －2 的夹角. 求 · ， ， n 时，都需用到 、 应先行计算出来. 四、巩固练习 1．已知向量 =( 3 －1)， =（ 2 1 ， 2 3 ） （1）求证： ⊥ ； （2）若存在不同时为零的实数 k 和 t，使 x = +(t2－3) ， y =－k +t ，且 ⊥ ，写出函数关 系式 k=f(t)； （3）在（2）中，确定函数 k=f(t)的单调区间. 2．已知向量 a =(cosα ，sinα )，b =(cosβ ，sinβ )又知 bak  = 3 bka  其中 k＞0（1）用 k 表 示 、 . （2） 、 的最小值，并求此时 与 的夹角。 3．已知 O 是△ABC 所在平面内一点，且满足 OA 2+ BC 2= OB 2+ CA 2= OC 2+ AB 2，求证：O 是△ABC 的垂足. 4．已知 、 为两个非零向量，且 +3 与 7 －5 互相垂直， －4 与 7 －2 互相垂直，求 与 的夹角. 5．（ 1）已知 a =2， b =1， 与 夹角为 3  ，求 + 与 －2 的夹角 （2）已知 =4， =3，且（3 － ）( －2 )为最小. 7．A、B、C、D 为平面内任意四点，证明 AC 2+ BD 2+ AD 2+ BC 2≥ AB 2+ CD 2 8．a1、a2、b1、b2∈R，求证： 2 2 2 1 aa  · 2 2 2 1 bb  ≥ 2211 baba  .又等号何时成立？ 9．△ABC 中，AB=AC，D 为 AB 中点，E 为△ADC 的重心，O 为△ABC 的外心，求证：OE⊥CD 10．在平面四边形 ABCD 中，记 AB = ，BC = ，CD =c ，DA= d ，若 · = · = · = · 试判断此四边形形状，并说明理由。 五、参考答案 1．（ 1）∵ · =（ ，－1），（ 2 1 ， 2 3 ）= － =0，∴ ⊥ （2）∵ x ⊥ y ，∴[ +(t2—3) ]·[－k +t ]=0 ―k 2+t(t2―3) 2+[t―k(t2―3)] · =0 ―4k+t(t2―3)=0. ∴k= 4 1 t(t2―3) （3）令 k/= 4 3 t2－ ＞0，t＞1 或 t＜－1. 故 f(t)的单调递增区间为 ,1 和  1, 单调递减区间为[－1，1] 2．（ 1）由已知(k + )2=3( －k )2，即(k2－3) 2+(1－3k2) 2+(2k+bk) · =0，整理解得 k2― 3+1―3k2+8k · =0 ∴ · = k k 4 12  （2）k＞0，故 · ≥ k k 4 2 = ，此时. cosθ = ba ba  = 1 2 1 ∴θ = 3  3．记OA= ，OB · ，OC = ，则 = ― ，CA = ― ， = ― ，则已知条件可表 为 2+( ― )2= 2+( － )2= 2+( － )2，从而 · = · = · ∴ ·( ― )=0，即 ⊥( － ) ⊥ 同理， ⊥ , ∴O 为△ABC 的垂心. 4．∵( a +3b )⊥(7 －5 ) ∴( +3 )·(7 －5 )=0 即 7 2－15 2+16 · =0 ① ∵( －3 )⊥(7 －2 ) ∴( －4 )·(7 －2 )=0 即 7 2+8 2－30 2· =0 ② ②－①23 =46 · =46 a b cos＜ · ③ 把 · = 2 2 b 代入①，知 2= 2， = ，代回③ 23 2=46 2cos＜ ， ＞ cos( 2， )= 2 1 ∴ 与 夹角为 3  5．(1)（ + 2）· ( －2 )= 2－2 2－ · =4―2―2·1cos =1 ba  = 3cos222 baba  = 7 ， ba 2 = 3cos422 baba  =2 ∴cos＜ + ， －2 ＞ 72 1 ∴夹角为 arccos 14 7 （2）由已知 0=3 2+2 －7 · =66－7 · ∴cos＜ ， ＞= ba ba  = 34 7 66  = 14 11 . 夹角为 arccos 6．记 AB = ， AC = c , AP = p ，则 BP = － ， CP = － PA2+PB2+PC2= p 2+ bp  2= cp  2 =3 2－2 ( + )+ 2+ 2 当 = 3 cb  时,上式有最小值,此时 P 点恰为重心. 7．记 = ， = ， AD = d 则 BD = － ， BC = － ，CD = － ，原式中 2+( － )2+ 2+ ( － )2 ≥ 2+ cd  2( － )－2 ( － )+ 2 ≥0. 亦即( － － )2 ≥0 . dcb  2≥0. 显然成立. ∴原命题成立. 8． ba  =1 1,cos  baba ≤ ba = 等号当且仅当 ＞ 共线时成立. 记 =（a1，a2） =（b1 ，b2） 则左 ， 右= ,∴左≥右. 9．以 O 为原点，底 BC 上的高为 y 轴建立直 角坐标系，记 A：（ O，R）， B：（ Rcosθ ，Rεθ） x E B y O A D y C：（－Rcsoθ ，Rsinθ ）则 D（ 2 R cosθ ， (1+sinθ ) E：（－ 6 R cosθ ， (1+sinθ )） OE =(－ cosθ ， (1+sinθ )) CD =( 2 3 Rcosθ ， (1+sinθ ) ∵ · =－ 4 2R cos2θ + 44 R (1－sinθ )=0 ∴OE⊥CD 10．∵ABCD 为四边形 ∴ a +b +c + d =o . 记 · = · = · = · =k，则 · + · = · + · =2k，即 ·（ + ）= ·（ + ） 移项，有( － )( + )=0，∴( － )( + )=0， 2= 2= b = d ，同理可证 a = c ，∴ABCD 为平形四边形，从而 k= cos＜ ， ＞= cos＜ ， ＞=∴ cos＜ ， ＞= cos ＜ ， ＞，∴四外角相同，故 ABCD 为矩形. 六、附录， ∵ BC = BA + AC ，两边同乘以 ，有 BC 2= · + CA · CB =| || | cosB+| || |cosC 即 =| | cosB+| | cosC，亦即 a=ccosB+bcosC. 例 2． · = · ， · = · ，两式相加得 2 · = ( + ) 又 + + = . 故有 ( + )2=2 · =0， 2+ 2+4 · =0 由已知 · =－1 ∴| |2+| |2=4 同理| |2=| |2=4，| |2+| |2=4，∴| |2=| |2=| |2=2 ∴| |2=| |2=| |2= 2 ，△ABC 为正三角形 S△= 4 3 ( )2= 2 3 . 例 3．∵OA⊥OB ，∴[－2i +m j ]·(n + )=－2n+m=0 ① 又CA =－7 +(m+1) ，CB =(n－5) +22 ， 5 7   n = 2 1m ② 由①、②解得      3 6 n m 或      2 3 3 n m 例 4．以 AB 边所在直线为 x 轴，AB 边上的高所在直线为 y 轴建立直角坐标系. 记 A：（ a，0）， B（b，0）， C（0，c）并记 BC 边上的 高与 y 轴交点为 H（0，h），则 AH =（－b，h）， BC =（－b，c） AC =（－a，c） ∵ BH · =（－b，h）（－a，c）=ab+ch=0.. ∴ ⊥ ∴三高 AH，CH，BH 交于一点. A O B x y H C 例 5．在平面内取定一点 O，作有向线较OA= a ，OB =b ，OC =c ，则 ， ， 两两夹 角相等，均 3 2 π ， ∵( + + )2= 2+ 2+ 2+2 · +2 · +2 · =12+22+32+2·1·2cos π +2·2·3cos π +2·1·3cos π =3 ∴| + + |= 3 例 6．要使 bxa  最小，即要使( +x )2 最小.( +x )2= 2+x2 2+2x · ，三项均为实数，且 2= 2b 2＞0，可看作关于 x 的二次函数，当 x=－ 2 b ba  亦即∴ · +x 2=0, ·(a+x )=0，也就 是 ⊥(a+x )时有最小值. 例 7． Cos600=cos∠ m ， n ＞= nm nm  = 22 2121 11 )()( kk lklllk   = 21 2 k k  ， k2－4k+1=0，k=2± ，Z 所求整数 k 不存在. 例 8．∵ a = b = ba  ∴ 2= 2=( － )2= 2+ 2－2 · 故 · = 2 1 2 ∴ ba  = 2)( ba  = baba  222 = cos＜ ， + ＞= baa baa   )( = aa baa 3 )2   = 2 22 3 2 1 a aa  = 2 3 ∴ 与 + 的夹角为 300 例 9．对菱形 ABCD，记 AB = ， AD = ，则 AC = + . BD = － 其中 = . ∵ · =（ + ）·（ － ）= 2－ 2= 2－ 2=0. ∴ ⊥ 即对角钱互相垂直. 例 10． 1l · 2l =cos1200=－ m · n =2（2 +3 ）( －2 )=2―6― =－ 2 7 m = 2 21 )32( ll  = 694  = 7 ∴cos＜ ， ＞= 77 2 7   =－ .故 与 夹角为 π .