2017-2018学年宁夏育才中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年宁夏育才中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年宁夏育才中学高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．将点的直角坐标化成极坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求出，且在第三象限，由此能将点M的直角坐标化成极坐标.‎ 详解：点M的直角坐标，‎ ‎ ，‎ ‎ 在第三象限，‎ ‎.‎ 将点M的直角坐标化成极坐标.‎ 故选：B.‎ 点睛：极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(同除以)ρ等技巧．‎ ‎2．设离散型随机变量的概率分布列如表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用离散型随机变量X的概率分布列的性质求解.‎ 详解：由离散型随机变量X的分布列知：‎ ‎，解得.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意离散型随机变量X的概率分布列的性质的灵活应用.‎ ‎3．已知自然数，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：直接利用排列数计算公式即可得到答案.‎ 详解：.‎ 故选：D.‎ 点睛：合理利用排列数计算公式是解题的关键.‎ ‎4．直线（为参数）被圆截得的弦长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先消去参数，得到直线的普通方程，再求出圆心到直线的距离，得到弦心距，根据勾股定理求出弦长，从而得到答案.‎ 详解：直线（为参数），‎ ‎，即，‎ 圆，‎ 圆心到直线的距离为.‎ 直线（为参数）被圆截得的弦长为.‎ 故选：B.‎ 点睛：本题考查了参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离公式、弦心距与弦长的关系，难度不大，属于基础题.‎ ‎5．有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为（ ）‎ A. 24 B. 14 C. 10 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用两个计数原理即可得出.‎ 详解：由题意可得，不同的选择方式.‎ 故选：B.‎ 点睛：切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行；分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．‎ ‎6．设随机变量服从分布，且，，则（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到关于的方程组，注意两个方程之间的关系，把一个代入另一个，以整体思想来解决，求出P的值，再求出n的值，得到结果.‎ 详解：随机变量服从分布，且，，‎ ‎①‎ ‎②‎ 即可求得，.‎ 故选：A 点睛：本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二项分布的期望和方差公式，考查方差思想，是一个比较好的题目，技巧性比较强.‎ ‎7．极坐标方程表示的图形是（ ）‎ A. 两个圆 B. 两条直线 C. 一个圆和一条射线 D. 一条直线和一条射线 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎8．已知点在以点为焦点的抛物线（为参数）上，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：欲求，根据抛物线的定义，即求到准线的距离，从而求得即可.‎ 详解：抛物线，准线，‎ ‎ 为到准线的距离，即为4，‎ 故选：D.‎ 点睛：抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化．‎ ‎9．，，三个人站成一排照相，则不站在两头的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：，，三个人站成一排照相，总的基本事件为种，不站在两头，即站中间，则有种情况，从而即可得到答案.‎ 详解：，，三个人站成一排照相，总的基本事件为种，‎ 不站在两头，即站中间，则有种情况，‎ 则不站在两头的概率为.‎ 故选：B.‎ 点睛：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.‎ ‎10．若，则展开式中， 项的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ，则 即 ， 的通项公式 ，令 ，交点 项的系数 ，故选A.‎ ‎11．设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ）‎ A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：函数有极值点，则有解，可得的取值范围，再根据随机变量服从正态分布，可得曲线关于直线对称，从而可得结论.‎ 详解：函数有极值点，‎ 有解，‎ ‎，‎ ‎，‎ 随机变量服从正态分布，若，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ 点睛：本题考查函数的极值点，考查正态分布曲线的对称性，同时考查运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎12．口袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从袋中一次摸出2个球，记下号码并放回，若这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，则获奖.某人从袋中一次摸出2个球，其获奖的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先求出基本事件的总数，再求出这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数的基本事件，再根据古典概型的概率计算公式求解即可.‎ 详解：从6个球中一次摸出2个球，共有种，‎ ‎2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，共有：‎ ‎9种，‎ 获奖的概率为.‎ 故选：A.‎ 点睛：求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．‎ 二、填空题 ‎13．在的展开式中的系数为__________．‎ ‎【答案】45‎ ‎【解析】分析：根据展开式的通项公式，求出展开式中的系数，即可得出 的展开式中的系数是多少.‎ 详解：展开式的通项公式为：‎ ‎，‎ 令，得的系数为，且无项，‎ ‎ 的展开式中的系数为45.‎ 故答案为：45.‎ 点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．‎ ‎14．若直线（t为参数）与直线垂直，则常数= .‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】试题分析：把直线（t为参数）消去参数，化为直角坐标方程可得3x+2y 7=0．再根据此直线和直线4x+ky=1垂直，可得，解得k= 6，故选B.‎ ‎【考点】参数方程.‎ ‎15．在极坐标系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为_______‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】因为解：点M(4，)的直角坐标为（2，2）曲线ρcos(θ-)=2上的直角坐标方程为：‎ x+y-4=0根据点到直线的距离公式得： d=2．故答案为：2‎ ‎16．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为，已知，且该产品的次品率不超过，则这10件产品的次品率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：设10件产品中存在n件次品，根据题意列出方程求出n的值，再计算次品率.‎ 详解：设10件产品中存在n件次品，从中抽取2件，其次品数为.‎ 由得，‎ ‎，化简得，‎ 解得或，‎ 又该产品的次品率不超过40%，，‎ 应取，‎ 这10件产品的次品率为.‎ 故答案为：20%.‎ 点睛：本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是基础题.‎ 三、解答题 ‎17．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于，两点，求.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】分析：（1）由参数方程消去参数t即可得直线的普通方程，利用直角坐标与极坐标的互化公式即可得曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）由（1）求出圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，代入弦长公式求出.‎ 详解：（1）直线：（为参数）的普通方程为.‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 又，，‎ 故曲线的普通方程为.‎ ‎（2）据（1）求解知，直线的普通方程为，‎ 曲线：为以点为圆心，半径长为的圆，‎ 所以点到直线的距离，‎ 所以直线被曲线截得线段的长为.‎ 点睛：转化与化归思想在参数方程、极坐标问题中的运用 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．‎ ‎18．已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为128.‎ ‎（1）求展开式中的有理项；‎ ‎（2）求展开后所有项的系数的绝对值之和.‎ ‎【答案】(1) ，，， (2) 2187‎ ‎【解析】分析：（1）根据题意，求的，写出二项展示的通项，即可得到展开式的有理项；‎ ‎（2）由题意，展开式中所有项的系数的绝对值之和，即为展开式中各项系数之和，即可求解. ‎ 详解：根据题意，， ‎ ‎（1）展开式的通项为. ‎ 于是当时，对应项为有理项，‎ 即有理项为 ‎ ‎ ‎ ‎（2）展开式中所有项的系数的绝对值之和，‎ 即为展开式中各项系数之和， ‎ 在中令x＝1得展开式中所有项的系数和为（1＋2）7＝37＝2 187． ‎ 所以展开式中所有项的系数和为2187. ‎ 点睛：本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题，二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．‎ ‎19．某市地产数据研究所的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.‎ ‎（1）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试求关于的回归直线方程；‎ ‎（2）若政府不调控，按照3月份至7月份房价的变化趋势预测12月份该市新建住宅的销售均价.‎ 参考数据：，，；‎ 参考公式：，.‎ ‎【答案】(1) (2) 销售均价约为1.52万元/平方米 ‎【解析】分析：（1）由题意，计算，，求出，，即可写出回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中回归方程，计算时的值即可.‎ 详解：（1）‎ 月份 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 均价 ‎0.95‎ ‎0.98‎ ‎1.11‎ ‎1.12‎ ‎1.20‎ 计算可得，，，‎ 所以，，‎ 所以关于的回归直线方程为.‎ ‎（2）将代入回归直线方程得，‎ 所以预测12月份该市新建住宅的销售均价约为1.52万元/平方米.‎ 点睛：本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，正确计算是解题的关键.‎ ‎20．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）曲线与相交于两点，求过两点且面积最小的圆的标准方程.‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程为， 的直角坐标方程为；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用消参和极坐标公式，化参数方程和极坐标方程为普通方程；（2）直线和椭圆相交，联立求中点即为圆心，弦长即为直径， 所以过两点且面积最小的圆的标准方程为．‎ 试题解析：（1）由消去参数，得，‎ 即曲线的普通方程为，‎ 由，得，即，即．‎ 即曲线的直角坐标方程为；‎ ‎（2）过两点且面积最小的圆是以线段为直径的圆，令．‎ 由，得，‎ 所以，所以圆心坐标为，‎ 又因为半径，‎ 所以过两点且面积最小的圆的标准方程为．‎ ‎21．传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，如图是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.‎ ‎（1）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成列联表，并据此资料你是否有的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？‎ 注：，其中.‎ ‎（2）若江西参赛选手共80人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；‎ ‎（3）如果在优秀等级的选手中取4名，在良好等级的选手中取2名，再从这6人中任选3人组成一个比赛团队，求所选团队中有2名选手的等级为优秀的概率.‎ ‎【答案】(1) 没有的把握认为优秀与文化程度有关(2)60人(3) ‎ ‎【解析】分析：（1）由条形图可知列联表，求出，从而即可判断；‎ ‎（2）由条形图可知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为，由此能求出参赛选手中优秀等级的选手人数；‎ ‎（3）记优秀等级中4人分别为，，，，良好等级中的两人为，，通过利用列举法即可求得所选团队中有2名选手的等级为优秀的概率.‎ 详解：（1）由条形图可知列联表如表：‎ 优秀 合格 合计 大学组 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 中学组 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎，‎ ‎∴没有的把握认为优秀与文化程度有关.‎ ‎（2）由条形图可知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为，‎ 所以所有参赛选手中优秀等级人数约为人.‎ ‎（3）记优秀等级中4人分别为，，，，良好等级中的两人为，，‎ 则任取3人的取法有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，‎ 其中有2名选手的等级为优秀的有，，，，，，，，，，共12种，‎ 故所选团队中的有2名选手的等级为优秀的概率为.‎ 点睛：本题考查独立检验的应用，考查分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题.‎ ‎22．“节约用水”自古以来就是中华民族的优良传统．某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如下图所示．将月用水量落入各组的频率视为概率，并假设每天的用水量相互独立．‎ ‎（l）求在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨的概率；‎ ‎（2）用表示在未来3个月里月用水量不低于12吨的月数，求随杌变量的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（1）0.027；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）利用相互独立事件乘法概率公式和互斥事件加法公式能求出在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨的概率；‎ ‎（2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，且X～（3，0.3），由此能求出随机变量X的分布列数学期望E（X）．‎ 详解：（1）设表示事件“月用水量不低于12吨”，表示事件“月用水量低于4吨”，表示事件“在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨”.‎ 因此，，.‎ 因为每天的用水量相互独立，‎ 所以.‎ ‎（2）可能取的值为0,1,2,3，‎ 相应的概率分别为 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故的分布列为 故的数学期望为 .‎ 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.‎