福建省永春第一中学2020届高三上学期期初考试数学（理）试题

福建省永春第一中学2020届高三上学期期初考试数学（理）试题

永春一中2020届高三(上)期初考数学(理)试卷（2019.8）‎ 考试时间：120分钟 总分：150分 参考数据公式：①独立性检验临界值表 ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎②独立性检验随机变量的值的计算公式：．‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．设集合，集合，则 A． B． C． D．‎ ‎2．复数的共轭复数是 A． B． C． D．‎ ‎3．某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布，则用电量在320度以上的户数估计约为 ‎【参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，】‎ A．17 B．‎23 ‎ C．34 D．46‎ ‎4．以下判断正确的是 A．函数为R上可导函数，则是为函数极值点的充要条件 B．命题“存在”的否定是“任意”‎ C．命题“在锐角中，有”为真命题 D．“”是“函数是偶函数”的充分不必要条件 ‎5．函数的部分图象如图所示，‎ 则的值分别是 A． B． C． D．‎ 开始 输出S 结束 是 否 ‎6．在(其中)的展开式中，的系数与的系数 相同，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎7．两个等差数列的前项和之比为，‎ 则它们的第7项之比为 A．2 B．‎3 C． D．‎ ‎8．阅读如右所示的程序框图，若运行相应的程序，‎ 则输出的的值是 A． B．‎ C． D．‎ ‎9．某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（百分制）如下表所示：‎ 序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 数学 成绩 ‎95‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎94‎ ‎92‎ ‎65‎ ‎67‎ ‎84‎ ‎98‎ ‎71‎ ‎67‎ ‎93‎ ‎64‎ ‎78‎ ‎77‎ ‎90‎ ‎57‎ ‎83‎ ‎72‎ ‎83‎ 物理 成绩 ‎90‎ ‎63‎ ‎72‎ ‎87‎ ‎91‎ ‎71‎ ‎58‎ ‎82‎ ‎93‎ ‎81‎ ‎77‎ ‎82‎ ‎48‎ ‎85‎ ‎69‎ ‎91‎ ‎61‎ ‎84‎ ‎78‎ ‎86‎ 若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀。有多少把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系 A． B． C． D．‎ ‎10．己知抛物线方程为()，焦点为，是坐标原点，是抛物线上的一点，与轴正方向的夹角为60°，若的面积为，则的值为 A．2或 B． C．2 D．2或 ‎11．函数的图像大致为 ‎12．设函数其中。若在上是增函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为 ． ‎ ‎14．若点在不等式组所表示的平面区域内，则原点与点距离的取值范围是 ．‎ ‎15．在一次调查中，甲、乙、 丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量和与乙、丁阅读量之和相同，同学甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为 ．‎ ‎16．已知、分别是双曲线的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得 (其中O为坐标原点)，且，则双曲线离心率为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎（一）必做题 ‎17．（本小题满分12分）‎ 设公差不为零的等差数列的前项的和为，且成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列，求证：数列的前项和．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：‎ 所用的时间(天数)‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 通过公路l的频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎20‎ 通过公路2的频数 ‎10‎ ‎40‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎ 假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．‎ ‎ （Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；‎ ‎（Ⅱ）若通过公路l、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到；每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车A，B按（Ⅰ）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．‎ A B C F ‎ D E O ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，菱形ABCD中，∠ABC = 60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB = AE = 2．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACFE； ‎ ‎（Ⅱ）当直线FO与平面BED所成角的为45°时，求异面直线 OF与BE所成的角的正弦值大小． ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左右顶点分别为，，点为椭圆上异于的任意一点.‎ ‎ （Ⅰ）求直线与的斜率之积；‎ ‎（Ⅱ）过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点．‎ 证明：以为直径的圆恒过点．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设为实数，函数．‎ ‎（1）当时，求在上的最大值；‎ ‎（2）设函数当有两个极值点时，总有，求实数的值（为的导函数）．‎ ‎（二）选做题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，设倾斜角为的直线： （为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点．‎ ‎（1）若，若以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线的斜率为，点，求的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ 永春一中2020届高三(上)期初考 数学(理科)参考答案（2019.8）‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A B C A C B D A C C D 二、填空题 ‎13． 14． 15．甲丁乙丙 16．‎ 三、解答题 ‎17．（1）设等差数列的的首项为，公差为，‎ 则或（舍去）‎ 故数列的通项公式为即.………… 5分 ‎（2）由（1），‎ 得.…………7分 那么 ‎.………… 12分 ‎18．解：（Ⅰ）频率分布表如下：‎ 所有的时间（天数）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 通过公路1的频率 ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 通过公路2的频率 ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 设分别表示汽车在约定日期前11天出发选择公路1,2将货物运往城市乙；分别表示汽车在约定日期前12天出发选择公路1,2将货物运往城市乙；‎ ‎；；‎ ‎；；‎ 所以汽车选择公路1，汽车选择公路2。‎ ‎（Ⅱ）设表示汽车选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则的所有可能取值有42,40,38,36，则的分布列如下：‎ ‎42‎ ‎40‎ ‎38‎ ‎36‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎ ‎ ‎∴汽车选择公路1的毛利润是（万元）‎ 设表示汽车选择公路2时，销售商付给生产商的费用，则的所有可能取值有42,40,38,36，则的分布列如下：‎ ‎44‎ ‎42‎ ‎40‎ ‎38‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎ ‎ ‎∴汽车选择公路2的毛利润是（万元）‎ ‎∵‎ 汽车为生产商获得的毛利更大。‎ ‎19．解（Ⅰ）证明：四边形ABCD是菱形，‎ ‎． -------------------2分 ‎ 平面ABCD,平面ABCD ‎ ‎． -------------------2分 ‎ ‎,‎ ‎∴平面ACFE． -------------------5分 ‎（Ⅱ）解：以O为原点，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 则，，，， --------6分 设平面的法向量为，‎ 则有，即令，则 -----------8分 由题意得，解得或．‎ 由，得 ------10分 ‎∴所求异面直线OF与BE所成的角正弦值为---------------------12分 ‎20．解：（Ⅰ）．设点 则有，即 ‎ ……………………4分 ‎（Ⅱ）设，，与轴不重合，∴设直线.‎ 由得 由题意可知成立，且 ……（*）‎ 将（*）代入上式，化简得 ‎∴，即以为直径的圆恒过点． ………………12分 ‎21.解（1）当时，‎ 则，‎ 令，则 显然在区间内是减函数，又，‎ 在区间内，总有 在区间内是减函数，‎ 又当时，，，此时单调递增；‎ 当时，，，此时单调递减；‎ 在区间内的极大值也即最大值是 ‎（2）由题意，知，则 根据题意，方程有两个不同的实根 ‎，即，且 ‎，由，其中，‎ 得 所以上式化为 ‎，所以不等式可化为，对任意的恒成立 ‎①当，不等式恒成立，；‎ ‎②当时，恒成立，‎ 令函数 显然是内的减函数，当，‎ ‎③时，恒成立，即 由②，当，，即 综上所述，.‎ ‎22. 解：（1）当时，直线的普通方程为：‎ ‎∵‎ ‎∴直线的极坐标方程为：，即 ‎ ‎（2）曲线普通方程是：，‎ 将代入曲线的普通方程，整理得：‎ ‎ ‎ 因为 而直线的斜率为，则代入上式求得．‎ ‎23．（1）解：不等式化为，则 ‎，或，或，…………3分 解得 所以不等式的解集为． ……………………5分 ‎（2）不等式等价于，‎ 即，‎ 由三角不等式知．………………8分 若存在实数，使得不等式成立，则，‎ 解得，‎ 所以实数的取值范围是． ……………………10分