【数学】2020届浙江一轮复习通用版1-2命题与充要条件作业
§ 1.2 命题与充要条件
A组 基础题组
1.已知a,b为实数,则“a=0”是“f(x)=x2+a|x|+b为偶函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 当a=0时, f(x)=x2+a|x|+b为偶函数,故充分性成立;反之,因为无论a为任一实数, f(x)=x2+a|x|+b均为偶函数,所以不能得出a=0,故必要性不成立.所以“a=0”是“f(x)=x2+a|x|+b为偶函数”的充分不必要条件,故选A.
2.设a∈R,则“a<1”是“1a>1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B 1a>1⇔1a-1>0⇔1-aa>0⇔0
0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C 1a<1b等价于b-aab<0,即ab(a-b)>0,
aba3-b3>0等价于ab(a-b)(a2+ab+b2)>0,
易知a,b均非零,所以a2+ab+b2=a+b22+34b2>0,故aba3-b3>0等价于ab(a-b)>0.
所以“1a<1b”是“aba3-b3>0”的充分必要条件,故选C.
8.已知m,n是两条不重合的直线,α,β,γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:
①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
②若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥β;
③若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
④若m,n是异面直线,m⊂α,m∥β,n⊂β,n∥α,则α∥β.
其中,属于真命题的是( )
A.①② B.①③ C.③④ D.①④
答案 D 显然①④正确,故选D.
9.已知向量a、b,则“a·b>0”是“a、b的夹角是锐角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B 设a,b的夹角为θ,a·b>0⇒|a|·|b|·cos θ>0⇒θ∈0,π2,充分性不成立;a,b的夹角是锐角,即θ∈0,π2⇒cos θ>0⇒|a|·|b|·cos θ>0⇒a·b>0,必要性成立,选B.
10.已知a,b∈R,则“a>b>1”是“logab<1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A “a>b>1”⇒“logab<1”,反之不成立,例如:log212=-1,所以“a>b>1”是“logab<1”的充分不必要条件,故选A.
11.已知直线l:y=kx+b,曲线C:x2+y2=1,则“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 若直线l:y=kx+b与曲线C:x2+y2=1有公共点,则|b|1+k2≤1,∴b2≤1+k2,当b=1时,满足b2≤1+k2,即“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的充分条件,而当直线l与曲线C有公共点时,不一定得到b=1,b=0时也满足,故“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的充分不必要条件,故选A.
12.设a>0,b>0,则“lg(a+b)>0”是“lg a+lg b>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B 由基本不等式知a+b≥2ab,所以lg(a+b)≥lg(2ab)=lg 2+12lg(ab),因而当lg a+lg b>0,即lg(ab)>0时,有lg(a+b)>0;反之,取a=12,b=2,显然lg(a+b)>0,但lg a+lg b=0.综上,“lg(a+b)>0”是“lg a+lg b>0”的必要不充分条件,故选B.
13.设α,β是两个不同的平面,m是一条直线,给出下列命题:
①若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;②若m∥α,α⊥β,则m⊥β.则( )
A.①②都是假命题
B.①是真命题,②是假命题
C.①是假命题,②是真命题
D.①②都是真命题
答案 B 由面面垂直的判定定理知①正确.当m∥α,α⊥β时,m与β可能垂直,可能斜交,可能平行,也可能m在β内,所以②错误,故选B.
B组 提升题组
1.(2018浙江,6,4分)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A ∵m⊄α,n⊂α,m∥n,∴m∥α,故充分性成立.而由m∥α,n⊂α,得m∥n或m与n异面,故必要性不成立.故选A.
2.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 若四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD,反之,若AC⊥BD,则四边形ABCD不一定是菱形,故选A.
3.(2016浙江文,6,5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A ∵f(x)=x2+bx=x+b22-b24,
∴f(x)min=-b24,即f(x)∈-b24,+∞.
当b<0时,-b24<-b2恒成立,∴f(f(x))min=-b24.
∴f(x)min=f(f(x))min,即充分性成立.
当b=0时, f(x)=x2, f(f(x))=f(x2)=x4,此时f(x)min=f(f(x))min=0也成立,故必要性不成立.故选A.
4.设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 D 当a=2,b=-1时,a+b=1>0,但ab=-2<0,所以充分性不成立;当a=-1,b=-2时,ab=2>0,但a+b=-3<0,所以必要性不成立,故选D.
5.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B f(x)是奇函数时,φ=π2+kπ(k∈Z),故φ=π2错误;φ=π2时, f(x)=Acosωx+π2=-Asin ωx,为奇函数.所以“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的必要不充分条件,选B.
6.(2018天津六校联考)“a=1”是“函数f(x)=exa-aex是奇函数”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B 当a=1时, f(x)=ex-1ex,定义域是R, f(-x)=e-x-1e-x=1ex-ex=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,所以充分性成立;当函数f(x)=exa-aex是奇函数时,定义域是R,恒有f(-x)=-f(x),即exa-aex=-e-xa-ae-x,即exa-aex=-1aex+aex,所以e2x-a2=-1+a2e2x,即(1-a2)e2x+1-a2=0,即(1-a2)(e2x+1)=0对x∈R恒成立,所以有1-a2=0,即a=±1,所以必要性不成立.综上可得“a=1”是“函数f(x)=exa-aex是奇函数”的充分不必要条件,故选B.
7.若“0m+2}.∵p是¬q的充分条件,∴A⊆∁RB,∴m-2>3或m+2<-1,∴m>5或m<-3.
