2018-2019学年河南省驻马店市高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年河南省驻马店市高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年河南省驻马店市高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．己知复数，若为纯虚数，则 A．-1 B．1 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据复数的除法运算和纯虚数的概念求得.‎ ‎【详解】‎ 由已知得： ，‎ 所以 解得： ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法运算和纯虚数的概念,属于基础题.‎ ‎2．命题“”的否定是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由命题的否定形式可得解.‎ ‎【详解】‎ 因为命题的否定是条件不变，否定结论，‎ 所以对“任意”的否定是“存在”，“大于等于”的否定是“小于”，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定结构，注意与否命题相区别，属于基础题.‎ ‎3．设，若，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据均值不等式可以得解.‎ ‎【详解】‎ 由已知得：‎ 因为 当且仅当 时，取 ，‎ 所以 的最小值是 ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查均值不等式，属于中档题.‎ ‎4．若变量满足约束条件，则的最小值为 A． B．8 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据目标函数是线性的一次函数，此题的最值定在可行域的边界点取得，因此，可由约束条件解得可行域的边界点，代入验证可得最小值。‎ ‎【详解】‎ 由 得交点 ‎ 由 得交点 ‎ 由 得交点 ‎ 将三点坐标代入目标函数得在B点取得最小值为 ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性目标函数在可行域上最值，属于基础题.‎ ‎5．抛物线0）的焦点为F，0为坐标原点，M为抛物线上一点，且的面积为，则抛物线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设点坐标，由关系得点坐标由表示，‎ 再由的面积可解得，从而得解.‎ ‎【详解】‎ 设 由可得： ‎ 又因为 所以 即 解得 或（舍去），‎ 所以 ‎ 所以 解得 ‎ 因为 所以 ‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程，关键由线段的长度关系转化到点的坐标关系，属于难度题.‎ ‎6．在中，，则的形状为 A．等边三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】由正弦定理将边化角，再利用正弦的和角公式求解.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得： ‎ 又因为： ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 又因为 ‎ 所以 ‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理的应用即边角互化，和差角公式，属于中档题.‎ ‎7．如图所示的程序框图输出的是，则条件①可以为（　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由起始条件依次执行程序，判断结论是或否，直至判断为否，退出循环.‎ ‎【详解】‎ 执行程序, 判断为是，执行循环；‎ ‎ 判断为是，执行循环；‎ 判断为是，执行循环；‎ 判断为是，执行循环；‎ 判断为是，执行循环；‎ 判断为是，执行循环；‎ 判断为是，执行循环；‎ 判断为否，退出循环，输出结果,结束.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，关键是列出每次循环后的执行情况,属于基础题.‎ ‎8．根据如下样本数据 x ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎7 ‎ ‎8 ‎ y ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 可得到的回归方程为,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：依据样本数据描点连线可知图像为递减且在轴上的截距大于0，所以。‎ ‎【考点】1．散点图；2．线性回归方程；‎ ‎9．已知是等差数列{}的前项的和，，则的值 A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列的前项的和公式和等差数列的性质可以求解.‎ ‎【详解】‎ 由已知得 ‎ 所以所以 ‎ 又因为，所以 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列,关键在于公式的合理地选择，使运算更简便，属于基础题.‎ ‎10．若命题“存在实数，使得关于的不等式 有解”为真命题，则实数的范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，将参变分离，转化成求关于的函数的最值，求时的最小值.‎ ‎【详解】‎ 令 ，则 ‎ 由整理得 ‎ 令 且 在单调递增，‎ 所以 ‎ 要使在有解，则需 ‎ ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题关键(1)在于运用参变分离，将转化成关于的函数，避免了二次函数的讨论;(2)考虑到有解时，是求其函数的最大值还是最小值，要仔细分辨清楚，此题属于难度题。‎ ‎11．函数的定义域为R，，对任意，则的解集为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据已知条件配凑成所需函数的导函数，再判断导函数的正负，即得所凑函数的单调性，从而得出解集.‎ ‎【详解】‎ 由得即 令 则在上单调递增，且 又由得即 所以 ‎ 所以的解集为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题的关键在于配凑出所需函数的导函数，并且其函数的单调性，属于难度题.‎ ‎12．已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足，当取最大值时，点P恰好在以 、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据抛物线的定义将转化成角的三角函数，并且当取得最大值时，直线与抛物线相切，从而求出点的坐标，再根据双曲线的定义求出其离心率得解.‎ ‎【详解】‎ 过作抛物线准线的垂线，垂足为，‎ 由抛物线的定义得 因为，所以 设 ，则 ‎ 当取得最大值时，取得最小值，此时直线与抛物线相切.‎ 设，由得，‎ 所以过点的切线方程是，‎ 此切线过点,‎ 所以，解得 所以 ‎ 由双曲线的定义得实轴长 又双曲线的焦距，‎ 所以双曲线的离心率为 ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题关键在于利用抛物线的定义将转化角的正弦函数，由直线与抛物线相切时得到取得最大值，从而得到点的坐标，此题属于难度题.‎ 二、填空题 ‎13．己知是函数的极大值点，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据导函数的正负得原函数的单调性，从而得到极大值 .‎ ‎【详解】‎ 由已知得 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，‎ 所以在处取得极大值.‎ 故得解.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的极值，属于基础题.‎ ‎14．观察下列等式：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎……‎ 照此规律，_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意归纳猜想可以直接得到答案．‎ ‎【详解】‎ 观察等式：‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣21×2；‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣22×3；‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣23×4；‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣24×5；‎ ‎…‎ 发现等式右边为与行数及（行数+1）的乘积，‎ 照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2n（n+1），‎ 故答案为：n（n+1）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了归纳推理的问题，关键是找到相对应的规律，属于基础题．‎ ‎15．己知等比数列{}满足，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据已知条件分析数列的项的脚标的特殊关系，根据等比数列的性质求解.‎ ‎【详解】‎ 由已知得即 所以 ‎ 又因为所以 所以 又因为所以 故得解.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质，属于基础题.‎ ‎16．在中，是角A，B，C的对边，己知，现有以下判断：‎ ‎①；②可能等于16；③的面积可能是.‎ 请将所有正确的判断序号填在横线上________.‎ ‎【答案】①‎ ‎【解析】根据余弦定理得三角形的三边的关系，再利用均值不等式的积与和之间的不等转化，得到和的最大值，从而得解.‎ ‎【详解】‎ 由三角形的射影定理得故①正确；‎ 由余弦定理得 所以 所以又因为，‎ 解得，故②错误.‎ 因为，所以解得 所以 故③错误。‎ 故得解.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理和均值不等式的应用，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知数列{}满足，且.‎ ‎（I）证明：数列{}是等比数列；‎ ‎（II）求数列{}的前项和.‎ ‎【答案】（I）见解析（II）‎ ‎【解析】根据数列的递推公式，构造等比数列的定义式得公比，再利用等比数列的前项和公式求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（I）∵‎ ‎∴，‎ ‎∴数列是以3为公比的等比数列.‎ ‎（II）∵，∴．∴数列的首项为4‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎,‎ ‎ ‎ 即数列的前n项和 ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的证明和前n项和的计算，关键在于由递推式变形为等比数列的定义式，属于中档题.‎ ‎18．设命题实数满足，命题实数满足，其中．‎ ‎（I）若且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（II）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I） ‎ ‎（II）‎ ‎【解析】（I）根据的真假判断条件：一假即假，求得实数的取值范围；‎ ‎（II）根据已知得的范围是的范围的一部分，可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（I） 若时，命题命题 ‎ 要使为真，则 ‎ 故实数的取值范围：得解.‎ ‎（II）命题命题 要使是的充分不必要条件，则 解得 ‎ 故实数的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题的真假判断和充分必要条件，属于基础题.‎ ‎19．某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.‎ ‎（I）应收集多少位男生样本数据？‎ ‎（II）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，，，，，试估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率；‎ ‎（Ⅲ）在样本数据中，有165位男生的每周平均体育运动时间超过4个小时请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有％的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ 男生 女士 总计 每周平均体育运动时 间不超过4小时 每周平均体育运动时 间超过4小时 总计 附：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） (Ⅲ)见解析 没有％的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据分层抽样的比例可得解；‎ ‎（Ⅱ）利用频率等于频率直方图中的纵坐标乘以组距得到；‎ ‎（Ⅲ）根据比例完成列联表，计算，查表可得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设应收集多少位男生样本数据，‎ 由分层抽样得 解得 ‎ 故应收集位男生样本数据.‎ ‎(Ⅱ) 设该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率，‎ 则 故该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率是 ‎（Ⅲ）‎ 男生 女士 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 ‎ ‎ 每周平均体育运动时间超过4小时 总计 所以 因为 ‎ 所以没有％的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分层抽样，频率直方图以及列联表和独立性检验，属于基础题.‎ ‎20．已知离心率为的椭圆C：（a>b>0）的左焦点为，过作长轴的垂线交椭圆于、两点，且.‎ ‎（I）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（II）设O为原点，若点A在直线上，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.‎ ‎【答案】（I） ‎ ‎（II）线段AB长度的最小值为.‎ ‎【解析】(Ⅰ) 由题意可得关于a，b，c 的方程组，求解可得a，b的值，则椭圆C的标准方程可求；‎ ‎（Ⅱ）由垂直关系转化为坐标的关系，并且用两点的距离公式表示其长度，再用均值不等式求得最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由已知得 ，解得： ‎ 椭圆C的标准方程是 ‎ ‎（II）设，因为，所以，‎ 所以 又当且仅当时取。‎ 所以 ‎ 此时，即 因为所以解得（舍去）‎ 所以 所以线段AB长度的最小值为。‎ ‎【点睛】‎ 本题关键在于将线段AB长度用、的坐标表示，并利用均值不等式求得最小值，属于中档题.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（I）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（II）若），求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；‎ ‎（II）对于，对实行参变分离，转化求新函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 解：（I）当时，‎ ‎∴‎ ‎∴ 又∵‎ ‎∴切线的方程为 即 ‎（II）（法一）当，‎ 即在上恒成立 令，则a小于等于在上的最小值即可.‎ 令．则，‎ ‎∴在上单调递增 ∴‎ ‎∴在上单调递增 又知时 ‎∴‎ 另一种解法：当时，等价于.令.‎ 则，‎ ‎（i）当，时，，‎ 故，在上单调递增，因此 ‎（ii）当时，令得，，‎ 由和得，‎ 故当时，．在单调递减，因此 综上，a的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 对于求解恒成立问题一般有两个思考方法：（1）将参数实行参变分离，转化为求新函数的最值；（2）讨论原函数的单调性，得原函数的最值，求解参数的范围.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的单位长度，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为.‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆C与直线交于A，B两点，若点P坐标为（3，），求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1)由极坐标与平面直角坐标之间的转化公式求得；‎ ‎(2)利用直线参数方程中的几何意义求解.‎ ‎【详解】‎ 解，（1）∵圆的极坐标方程为 ∴（）‎ 又∵， ∴‎ 代入（）即得圆的直角坐标方程为 ‎（2）直线1的参数方程可化为 代入圆c的直角坐标方程，得，‎ ‎∴ ∴‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面直角坐标系和极坐标的互化，以及直线的参数方程中的的几何意义，属于中档题.‎ ‎23．己知函数.‎ ‎（I）求的最小值；‎ ‎（II）若均为正实数，且满足，求证：.‎ ‎【答案】（I）（II）见解析 ‎【解析】（I）根据绝对值的三角不等式放缩可得解;‎ ‎（II）根据基本不等式可以得证.‎ ‎【详解】‎ 解：（I）因为函数（当且仅当时等号成立）‎ 综上，的最小值．‎ ‎（II）据（1）求解知，所以，‎ 又因为，，.‎ ‎，‎ 即，当且仅当时等号成立.‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值的三角不等式和基本不等式，属于基础题.‎