2021届老杨培优高考复读班月考试卷（解析版）

2021届老杨培优高考复读班月考试卷（解析版）

2021 届老杨培优高考复读班 10 月月考 数学参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的． 1．(5 分)设集合 M = {x|x = 4n + 1，n ∈ Z}，N = {x|x = 2n + 1，n ∈ Z}，则 ( ) A． M ⊊ N B． N ⊊ M C． M ∈ N D． N ∈ M 【解答】解：①当 n = 2m，m ∈ Z 时，x = 4m + 1，m ∈ Z，②当 n = 2m + 1，m ∈ Z 时，x = 4m + 3，m ∈ Z，综合①② 得：集合 N = {x|x = 4m + 1 或 x = 4m + 3，m ∈ Z}，又集合 M = {x|x = 4n + 1，n ∈ Z}，即 M ⊊ N，故选：A． 2．(5 分)函数 y = lnx 的图象在点 x = e(e 为自然对数的底数)处的切线方程为 ( ) A． x + ey - 1 + e = 0 B． x - ey + 1 - e = 0 C． x + ey = 0 D． x - ey = 0 【解答】解：y = lnx 的导数为 y′ = 1 x ，可得函数 y = lnx 的图象在点 x = e 处的切线斜率为 k = 1 e ，且切点为 (e,1)， 则切线的方程为 y - 1 = 1 e (x - e)，化为 x - ey = 0．故选：D． 3．(5 分)已知 x ∈ R，当复数 z =   2x + (x - 3)i 的模长最小时，z 的虚部为 ( ) A．   2 B．2 C． -2 D． -2i 【解答】解：∵ z =   2x + (x - 3)i，∴ |z| =   2x2 + (x - 3)2 =   3x2 - 6x + 9 ，∴ 当 x = 1 时，|z| 有最小值，此时 z =   2 - 2i． ∴ z 的虚部为 -2．故选：C． 4．(5 分)已知 m，n 为两条不同的直线，α，β，γ 为三个不同的平面，则下列命题正确的是 ( ) A．若 m//α，n//α，则 m//n B．若 α ⊥ β，γ ⊥ β 且 α ∩ γ = m，则 m ⊥ β C．若 m ⊂ α，n ⊂ α，m//β，n//β，则 α//β D．若 m ⊥ α，n//β，α ⊥ β，则 m ⊥ n 【解答】解：A．若 m//α，n//α，则 m//n，相交，或为异面直线，因此不正确；B．若 α ⊥ β，γ ⊥ β 且 α ∩ γ = m，则 m ⊥ β，因此正确；C．若 m ⊂ α，n ⊂ α，m//β，n//β，则 α 与 β 不一定平行，因此不正确；D．若 m ⊥ α，n//β，α ⊥ β，则 m 与 n 不一定垂直，因此不正确．故选：B． 5．(5 分)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1)，如果 P(ξ ≤ 1) = 0.8413，则 P( -1 < ξ ≤ 0) = ( ) A．0.3413 B．0.6826 C．0.1587 D．0.0794 【解答】解：依题意得：P(ξ > 1) = 1 - P(ξ ≤ 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587，∴ P( -1 < ξ ≤ 0) = 1 - 0.1587 × 2 2 = 0.3413． 故选：A． 6．(5 分)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中．把部分与整体以某种方式相似的形体 称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象．图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭 代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而 已．谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915 年提出的，其构造方法如下： 取一个实心的等边三角形(如图 1)，沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那一个小三角形(如 图 2)，对其余三个小三角形重复上述过程(如图 3)．若图 1(阴影部分)的面积为 1，则图 4(阴影部分)的面积为 ·1· ( ) A． 9 16 B． 4 19 C． 27 64 D． 8 27 【解答】解：图 1 的阴影部分的面积为：1；图 2 的阴影部分的面积为：1 × 3 4 = 3 4 ；图 3 的阴影部分的面积为：3 4 × 3 4 = 9 16 ；所以图 4 的阴影部分的面积为：3 4 × 3 4 × 3 4 = 27 64 ；故选：C． 7．(5 分)已知抛物线 C : y2 = 4x 与圆 E : (x - 1)2 + y2 = 9 相交于 A，B 两点，点 M 为劣弧  AB 上不同 A，B 的一个 动点，平行于 x 轴的直线 MN 交抛物线于点 N，则 ΔMNE 的周长的取值范围为 ( ) A． (3,5) B． (5,7) C． (6,8) D． (6，8] 【解答】解：如图，可得圆心 E(1,0) 也是抛物线的焦点，过 M 作准线的垂线，垂足为 H，根据抛物线的定义，可得 EN = NH 故 ΔMNE 的周长 l = NH + NM + ME = MH + 3，由  y2 = 4x (x - 1)2 + y2 = 9 可得 A(2，2  2)，∴ 点 A 到准线 的距离为 2 + 1 = 3，MH 的取值范围为 (3,5) ∴ ΔMNE 的周长 MH + 3 的取值范围为 (6,8) 故选：C． 8．(5 分)已知 O 是三角形 ABC 内部一点，满足  OA + 2  OB + m  OC = 0，SΔAOB SΔABC = 4 7 ，则实数 m = ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：如图，令 -m 3  OC = 1 3  OA + 2 3  OB =  OM，则：A，B，M 三点共线；  OC 与  OM 共线 反向，|  OM| |  CM| = m 3 + m ；∴ SΔAOB SΔABC = |  OM| |  CM| = m 3 + m = 4 7 ；解得 m = 4．故选：C． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选 对的得 5 分．部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．(5 分)2020 年 3 月 12 日，国务院新闻办公室发布会重点介绍了改革开放 40 年，特别是党的十八大以来我国脱 贫攻坚、精准扶贫取得的显著成绩，这些成绩为全面脱贫初步建成小康社会奠定了坚实的基础．如图是统计局 ·2· 公布的 2010 年~2019 年年底的贫困人口和贫困发生率统计表．则下面结论正确的是 ( ) 【年底贫困人口的线性回归方程为 y = -1609.9x + 15768 (其中 x = 年份 -2009)，贫困发生率的线性回归方程为 y = -1.6729x + 16.348 (其中 x = 年份 -2009)】 A．2010 年~2019 年十年间脱贫人口逐年减少，贫困发生率逐年下降 B．2012 年~2019 年连续八年每年减贫超过 1000 万，且 2019 年贫困发生率最低 C．2010 年~2019 年十年间超过 1.65 亿人脱贫，其中 2015 年贫困发生率低于 6% D．根据图中趋势线可以预测，到 2020 年底我国将实现全面脱贫 【解答】解：每年脱贫的人口如下表所示： 期初 期末 脱贫人口 2009 年底至 2010 年底 16566 2010 年底至 2011 年底 16566 12238 4328 2011 年底至 2012 年底 12238 9899 2339 2012 年底至 2013 年底 9899 8249 1650 2013 年底至 2014 年底 8249 7017 1232 2014 年底至 2015 年底 7017 5575 1442 2015 年底至 2016 年底 5575 4335 1240 2016 年底至 2017 年底 4335 3046 1289 2017 年底至 2018 年底 3046 1660 1386 2018 年底至 2019 年底 1660 551 1109 由于缺少 2009 年年底数据，故无法统计十年间脱贫人口的数据，故 A，C 选项错误．根据上表可知：2012 年 2019 年连续八年每年减贫超过 1000 万，且 2019 年贫困发生率最低，故 B 选项正确．根据上表可知，2012 年 2019 年连续八年每年减贫超过 1000 万，2019 年年底，贫困人口 551 万，故预计到 2 020 年底我国将实现全面脱 贫，故 D 选项正确．综上所述，正确的选项为 BD．故选：BD． 10．(5 分)已知曲线 C1 : y = 3sinx,C2 : y = 3sin(2x + π 4 )，则下面结论正确的是 ( ) A．把 C1 上各点的横坐标变为原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 8 个单位长度，得到曲 线 C2 ·3· B．把 C1 上各点的横坐标变为原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 4 个单位长度，得到曲线 C2 C．把 C1 向左平移 π 4 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的 1 2 倍．纵坐标不变，得到曲 线 C2 D．把 C1 向左平移 π 8 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到曲 线 C2 【解答】解：把 C1 上各点的横坐标变为原来的 1 2 倍，纵坐标不变，可得 y = 3sin2x 的图象；再把得到的曲线向左平 移 π 8 个单位长度，得到曲线 C2 : y = 3sin(2x + π 4 ) 的图象．把 C1 向左平移 π 4 个单位长度，可得 y = 3sin(x + π 4 ) 的 图象；再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到曲线 C2 : y = 3sin(2x + π 4 ) 的图象，故 选：AC． 11．(5 分)已知曲线 C : x2 + y2 = 2|x| +2|y|，则曲线 C ( ) A．关于 x 轴对称 B．关于 y 轴对称 C．关于原点对称 D．所围成图形的面积为 8 + 4π 【解答】解：曲线 C : x2 + y2 = 2|x| +2|y|，-x 代替 x，可得 x2 + y2 = 2|x| +2|y|，曲线关于 y 轴对称；-y 代替 y，可得 x2 + y2 = 2|x| +2|y|，曲线关于 x 轴对称；-x 代替 x，-y 代替 y，可得 x2 + y2 = 2|x| +2|y|，曲线关于原点对称； x ≥ 0，y ≥ 0 时，曲线 C : x2 + y2 = 2|x| +2|y| = 2x + 2y，即 x2 + y2 - 2x - 2y = 0 与 x 轴，y 轴所围成图形是一个半圆 与一个等腰直角三角形，它的面积 1 2 × 2 × 2 + 1 2 × π × (  2)2 = 2 + π，所以所围成图形的面积为 8 + 4π．正确 故选：ABCD． 12．(5 分)已知函数 f(x) = ex + e-x + |x|．则下面结论正确的是 ( ) A． f(x) 是奇函数 B． f(x) 在 [0，+∞) 上为增函数 C．若 x ≠ 0，则 f(x + 1 x ) > e2 + 2 D．若 f(x - 1) < f( -1)，则 0 < x < 2 【解答】解：已知函数 f(x) = ex + e-x + |x|．则 f( -x) = e-x + ex + | -x| = e-x + ex + |x| = f(x)，故函数 f(x) 为偶函 数，故选项 A 错误；当 x > 0 时，f(x) = ex + e-x + x． f′ (x) = ex - e-x + 1 > 0，所以函数 f(x) 为增函数，故选项 B 正确；当 x > 0 时，由基本不等式得 x + 1 x ≥ 2，当且仅当 x = 1 时等号成立，又由 f(x) 在 (0, + ∞) 上为增函数，所 以 f(x + 1 x ) ≥ f (2) = e2 + e-2 + 2 > e2 + 2，又由函数 y = x + 1 x 为奇函数，当 x < 0 时，-x - 1 x ≥ 2，f(x + 1 x ) = - f( -x - 1 x ) > e2 + 2，综上，当 x ≠ 0 时，f(x + 1 x ) > e2 + 2，选项 C 正确；由与函数 f(x) 为偶函数，由 f(x - 1) < f( -1)，得 f(|x - 1|) < f(| -1|)，则 |x - 1| < 1，解得 0 < x < 2，故选项 D 正确．故选：BCD． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．(5 分) (x2 + 2) (x - 1 x )10 的展开式中，x6 的系数为 ． 【解答】解：(x - 1 x )10 展开式的通项公式为：Tr + 1 = Cr 10 ∙ x10 - r ∙ ( -1 x )r = ( -1)r ∙ Cr 10 ∙ x10 - 2r；令 10 - 2r = 4，解得 r = 3， 所以 x4 项的系数为 -C3 10 = -120；令 10 - 2r = 6，解得 r = 2，所以 x6 项的系数为 C2 10 = 45； 所以 (x2 + 2) (x - 1 x )10 的展开式中 x6 的系数为：-120 + 2 × 45 = -30．故答案为：-30． ·4· 14．(5 分)已知 α，β，γ ∈ (0,π 2 )，sinα + sinγ = sinβ，cosβ + cosγ = cosα，则 cos(α - β) = ，α - β = ． 【解答】解：由 sinα + sinγ = sinβ，cosβ + cosγ = cosα，得 sinα - sinβ = -sinγ，cosα - cosβ = cosγ；所以 (sinα - sinβ)2 + (cosα - cosβ)2 = ( -sinγ)2 + cos2γ；即 2 - 2sinαsinβ - 2cosαcosβ = 1，所以 2 - 2cos(α - β) = 1，解得 cos(α - β) = 1 2 ； 又 α，β，γ ∈ (0,π 2 )，所以 sinα - sinβ = -sinγ < 0，所以 sinα < sinβ，所以 0 < α < β < π 2 ，所以 -π 2 < α - β < 0，所以 α - β = -π 3 ．故答案为：1 2 ，-π 3 ． 15．(5 分)已知 P，A，B，C 是球 O 的球面上的四个点，PA ⊥ 平面 ABC，PA = 2BC = 6，AB ⊥ AC，则球 O 的表 面积为 ． 【解答】解：已知 P，A，B，C 是球 O 的球面上的四个点，PA ⊥ 平面 ABC，PA = 2BC = 6，AB ⊥ AC， 如图所示：取 BC 的中点 D，连接 AD，过 D 作面 ABC 的垂线 DO， 设球心为 O； 则 AD = 1 2 BC = 3 2 ，OD = 1 2 PA = 3， 所以 R2 = 32 + (3 2 )2 = 45 4 ； ∴ 球 O 的表面积为 4πR2 = 45π． 故答案为：45π． 16．(5 分)已知函数 f(x) = x2 - 2x + 1 x - 2 ,h(x) = ax - 4(a > 1)．若 ∀ x1 ∈ [3，+∞)，∃ x2 ∈ [3，+∞)，使得 f(x1) = h(x2)，则实数 a 的最大值为 ． 【解答】解：f(x) = x2 - 2x + 1 x - 2 = x + 1 x - 2 ，导数为 f′ (x) = 1 - 1 (x - 2)2 ，由 x ≥ 3 可得 x - 2 ≥ 1，则 f′ (x) ≥ 0， 即有 f(x) 在 [3，+∞) 递增，可得 f(x) 的最小值为 f (3) = 4，即 f(x) 的值域为 A = [4，+∞)，由 h(x) = ax - 4(a > 1) 在 [3，+∞) 递增，可得 h(x) ≥ h (3) = a3 - 4，即 h(x) 的值域为 B = [a3 - 4，+∞)，由 ∀ x1 ∈ [3，+∞)，∃ x2 ∈ [3，+∞)， 使得 f(x1) = h(x2)，可得 [4，+∞) ⊆ [a3 - 4，+∞)，则 a3 - 4 ≤ 4，解得 a ≤ 2，可得 a 的最大值为 2．故答案为：2． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10 分)如图，半圆 O 的直径 AB = 2，点 C 在 AB 的延长线上，BC = 1，点 P 为半圆上异于 A，B 两点的一个动 点，以点 P 为直角顶点作等腰直角 ΔPCD，且点 D 与圆心 O 分布在 PC 的两侧，设 ∠PAC = θ． (1)把线段 PC 的长表示为 θ 的函数； (2)求四边形 ACDP 面积的最大值． ·5· 【解答】解：(1)依题设知 ΔAPB 是以 ∠APB 为直角的直角三角形． 又 AB = 2，∠PAB = θ，∴ PA = 2cosθ， 在 ΔPAC 中，AC = 3，∠PAC = θ，由余弦定理得： PC2 = PA2 + AC2 - 2PA ∙ AC ∙ cosθ = 4cos2θ + 9 - 12cos2θ = 9 - 8cos2θ． ∴ PC =   9 - 8cos2θ ，定义域为 {θ|0 < θ < π 2 }； (2)设四边形 ACDP 面积为 S． 则 S = SΔAPC + SΔPCD = 1 2 PA ∙ AC ∙ sinθ + 1 2 PC2 = 1 2 ∙ 2cosθ ∙ 3sinθ + 1 2 ∙ (9 - 8cos2θ) = 3 2 sin2θ + 1 2 (5 - 4cos2θ) = 3 2 sin2θ - 2cos2θ + 5 2 = 5 2 sin(2θ + φ) + 5 2 ，其中 cosφ = 3 5 ，sinφ = 4 5 ， ∴ 当 sin(2θ + φ) = 1 时，S 取得最大值为 5 2 + 5 2 = 5． 18．(12 分)在下面的数表中，各行中的致从左到右依次成公差为正数的等差数列，各列中的数从上到下依次成 公比为正数的等比数列，且公比都相等，a(n,m) 表示第 n 行，第 m 列的数．已知 a(1,1) = 1，a(2,2) = 4，a(3,3) = 12． 第一列 第二列 第三列 第四列 … 第一行 a(1,1) a(1,2) a(1,3) a(1,4) … 第二行 a(2,1) a(2,2) a(2,3) a(2,4) … 第三行 a(3,1) a(3,2) a(3,3) a(3,4) … 第四行 a(4,1) a(4,2) a(4,3) a(4,4) … … … … … … (1)求数列 {a(n,2)} 的通项公式； (2)设 bn = log2a(n,2),cn = a(n,2) + 1 bnbn + 1 ，求数列 {cn} 的前 n 项和 Sn． 【解答】解：(1)设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公差是 d(d > 0)， 各列中的数从上到下组成的等比数列的公比是 q(q > 0)， 则 a(1,2) = 1 + d，a(1,3) = 1 + 2d，a(2.2) = qa(1.2) = q(1 + d)，从而 q(1 + d) = 4．①，a(3.3) = q2a(1.3) = q2(1 + 2d)，从而 q2(1 + 2d) = 12．②， 联立①②解得， d = 1, q = 2, 或  d = -1 3 , q = 6. (舍去) 从而 a(1.2) = 2， 所以 a(n,2) = a(1.2) ∙ qn - 1 = 2 × 2n - 1 = 2n． (2)由(1)知，a(n,2) = 2n． 所以 bn = log2a(n,2) = log22n = n， 所以 cn = 2n + 1 n(n + 1) = 2n + 1 n - 1 n + 1 ， ·6· 所以 Sn = c1 + c2 + c3 + … + cn - 1 + cn = (2 + 1 1 - 1 2 ) + (22 + 1 2 - 1 3 ) + (23 + 1 3 - 1 4 ) + … + (2n - 1 + 1 n - 1 - 1 n ) + (2n + 1 n - 1 n + 1 ) = (2 + 22 + 23 + … + 2n - 1 + 2n) + (1 1 - 1 2 ) + (1 2 - 1 3 ) + (1 3 - 1 4 ) + … + (1 n - 1 - 1 n ) + (1 n - 1 n + 1 ) = 2 - 2n + 1 1 - 2 + 1 - 1 n + 1 = 2n + 1 - 1 - 1 n + 1 = 2n + 1 - n + 2 n + 1 ． 19．(12 分)在如图所示的圆柱 O1O2 中，AB 为圆 O1 的直径，C，D 是  AB 的两个三等分点，EA，FC，GB 都是圆柱 O1O2 的母线． (1)求证：FO1// 平面 ADE； (2)设 BC = 1，已知直线 AF 与平面 ACB 所成的角为 30°，求二面角 A - FB - C 的余弦值． 【解答】(1)证明：连接 O1C，O1D， 因为 C，D 是半圆弧  AB 的两个三等分点，所以 ∠AO1D = ∠DO1C = ∠CO1B = 60°， 又 O1A = O1B = O1C = O1D，所以△ AO1D，△ CO1D，△ BO1C 均为等边三角形， 所以 O1A = AD = DC = CO1，所以四边形 ADCO1 是平行四边形． 所以 CO1//AD． 因为 EA，FC 都是圆柱 O1O2 的母线，所以 EA//FC． 又因为 CO1、FC ⊂ 平面 FCO1，CO1 ∩ FC = C，AD、EA ⊂ 平面 ADE，AD ∩ EA = A， 所以平面 FCO1// 平面 ADE， 又 FO1 ⊂ 平面 FCO1，所以 FO1// 平面 ADE． ·7· (2)解：连接 AC， 因为 FC 是圆柱 O1O2 的母线，所以 FC ⊥ 平面 ACB，所以 ∠FAC 为直线 AF 与平面 ACB 所成的角，即 ∠FAC = 30°． 因为 AB 为圆 O1 的直径，所以 ∠ACB = 90°， 在 RtΔABC 中，∠ABC = 60°，BC = 1，所以 AC = BC ∙ tan60° =   3 ， 所以在 RtΔFAC 中，FC = AC ∙ tan30° = 1． 因为 AC ⊥ BC，AC ⊥ FC，BC ∩ FC = C，BC、FC ⊂ 平面 FBC，所以 AC ⊥ 平面 FBC， 又 FB ⊂ 平面 FBC，所以 AC ⊥ FB． 在 ΔFBC 内，作 CH ⊥ FB 于点 H，连接 AH． 因为 AC ∩ CH = C，AC、CH ⊂ 平面 ACH，所以 FB ⊥ 平面 ACH， 又 AH ⊂ 平面 ACH，所以 FB ⊥ AH，所以 ∠AHC 是二面角 A - FB - C 的平面角． 在 RtΔFBC 中，CH = FC ∙ BC FB = 1 × 1   2 =   2 2 ， 在 RtΔACH 中，AH =   AC2 + CH2 =   14 2 ， 所以 cos∠AHC = CH AH =   7 7 ， 故二面角 A - FB - C 的余弦值为   7 7 ． 20．(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中， ①已知点 Q(  3,0)，直线 l : x = 2  3 ，动点 P 满足到点 Q 的距离与到直线 l 的距离之比为   2 2 ． ②已知点 H( -  3,0),G 是圆 E : x2 + y2 - 2  3x - 21 = 0 上一个动点，线段 HG 的垂直平分线交 GE 于 P． ③点 S，T 分别在 x 轴，y 轴上运动，且 |ST| = 3，动点 P 满足  OP =   6 3  OS +   3 3  OT． (1)在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)设圆 O : x2 + y2 = 2 上任意一点 A 处的切线交轨迹 C 于 M，N 两点，试判断以 MN 为直径的圆是否过定点？ 若过定点，求出该定点坐标．若不过定点，请说明理由． 【解答】解：(1)若选①． 设 P(x,y)，根据题意得，  (x -   3)2 + y2 |x - 2  3| =   2 2 ， 两边平方整理得，x2 6 + y2 3 = 1． 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2 6 + y2 3 = 1． 若选②， 由 E : x2 + y2 - 2  3x - 21 = 0 得 (x -   3)2 + y2 = 24， 由题意得 |PH| = |PG|， 所以 |PH| +|PE| = |PG| +|PE| = |EG| = 2  6 > |HE| = 2  3 ， 所以点 P 的轨迹 C 是以 H，E 为焦点的椭圆，且 a =   6,c =   3, 则 b =   3 ， 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2 6 + y2 3 = 1． ·8· 若选③． 设 P(x,y)，S(x,0)，T(0,y)，则 x2 + y2 = 9，( * ) 因为  OP =   6 3  OS +   3 3  OT， 所以      x =   6 3 x, y =   3 3 y, 即  x =   6 2 x, y =   3y, 将其代入  * , 得 x2 6 + y2 3 = 1， 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2 6 + y2 3 = 1． (2)当过点 A 且与圆 O 相切的切线斜率不存在时，切线方程为 x =   2,x = -  2． 当切线方程为 x =   2 时,M   2,  2 ,N   2, -   2 , 以 MN 为直径的圆的方程为 (x -   2)2 + y2 = 2．① 当切线方程为 x = -  2 时,M -  2,  2 ,N -  2, -   2 , 以 MN 为直径的圆的方程为 (x +   2)2 + y2 = 2．② 由①②联立，可解得交点为 (0,0)． 当过点 A 且与圆 O 相切的切线斜率存在时，设切线方程为 y = kx + m， 则  m   k2 + 1 =   2, 即 m2 = 2 k2 + 1 ． 联立切线与椭圆 C 的方程  y = kx + m, x2 6 + y2 3 = 1, 并消去 y，得 (1 + 2k2)x2 + 4kmx + 2m2 - 6 = 0． 因为△ = 16k2m2 - 4(1 + 2k2) (2m2 - 6) = -8(m2 - 6k2 - 3) = -8(2k2 + 2 - 6k2 - 3) = 8(4k2 + 1) > 0， 所以切线与椭圆 C 恒有两个交点． 设 M x1,y1 ,N x2,y2 , 则 x1 + x2 = -4km 1 + 2k2 ,x1x2 = 2m2 - 6 1 + 2k2 ． 因为  OM = (x1,y1),  ON = (x2,y2)， 所以  OM ∙  ON = x1x2 + y1y2 = x1x2 + (kx1 + m) (kx2 + m) = (1 + k2)x1x2 + km(x1 + x2) + m2 = (1 + k2) ∙ 2m2 - 6 1 + 2k2 + km ∙ -4km 1 + 2k2 + m2 = 3m2 - 6 - k2 1 + 2k2 = 3 × 2(k2 + 1) - 6 - 6k2 1 + 2k2 = 0． 所以 OM ⊥ ON． 所以以 MN 为直径的圆过原点 (0,0)． 综上所述，以 MN 为直径的圆过定点 (0,0)． 21．(12 分)近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车(含电动汽车)销量已跃居全球首位．某电动汽 车厂新开发了一款电动汽车．并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量 y 与行驶时间 x (单 位：小时)的测试数据如表： ·9· x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 2.77 2 1.92 1.36 1.12 1.09 0.74 0.68 0.53 0.45 根据电池放电的特点，剩余电量 y 与行驶时间 x 之间满足经验关系式：y = aebx，通过散点图可以发现 y 与 x 之 间具有相关性，设 ω = lny． (1)利用表格中的前 8 组数据求相关系数 r，并判断是否有 99% 的把握认为 x 与 ω 之间具有线性相关关系；(当相 关系数 r 满足 |r| > 0.789 时，则认为有 99% 的把握认为两个变量具有线性相关关系) (2)利用 x 与 ω 的相关性及表格中前 8 组数据求出 y 与 x 之间的回归方程；(结果保留两位小数) (3)如果剩余电量不足 0.8，电池就需要充电．从表格中的 10 组数据中随机选出 8 组，设 X 表示需要充电的数据 组数，求 X 的分布列及数学期望． 附： 相关数据：  42 ≈ 6.48,  6 ≈ 2.45,  1.70 ≈ 1.30,e1.17 ≈ 3.22． 表格 中 前 8 组 数 据 的 一 些 相 关 量 ： 8 i = 1 xi = 36, 8 i = 1 yi = 11.68, 8 i = 1 ωi = 2.18, 8 i = 1 (xi - x)2 = 42, 8 i = 1 (yi - y)2 = 3.61 ，  8 i = 1 (ωi - ω)2 = 1.70, 8 i = 1 (xi - x) (yi - y) = -11.83, 8 i = 1 (xi - x) (ωi - ω) = -8.35， 相关公式：对于样本 (υi，ui) (i = 1，2，3，…，n)，其回归直线 u = bυ + a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b =   n i = 1 (υi - υ) (ui - u)  n i = 1 (υi - υ)2 ,a = u - bυ， 相关系数 r =   n i = 1 (υi - υ) (ui - u)   n i = 1 (υi - υ)2   n i = 1 (ui - u)2 ． 【解答】解：(1)由题意知，r =   8 i = 1 (xi - x) (ωi - ω)   8 i = 1 (xi - x)2   8 i = 1 (ωi - ω)2 = -8.35   42 ×   1.70 ≈ -0.99． 因为 |r| ≈ 0.99 > 0.789，所以有 99% 的把握认为 x 与 ω 之间具有线性相关关系． (2)对 y = aebx 两边取对数得 lny = lna + bx， 设 μ = lna, 又 ω = lny, 则 ω = bx + μ ， b =   8 i = 1 (xi - x) (ωi - ω)  8 i = 1 (xi - x)2 = -8.35 42 ≈ -0.20， 易知 x = 4.5,ω = 2.18 8 ≈ 0.27.μ = ω - bx = 0.27 - ( -0.20) × 4.5 = 1.17． 所以 ω = -0.20x + 1.17． 所以所求的回归方程为 y = e-0.20x + 1.17, 即 y = 3.22e-0.20x． (3)10 组数据中需要充电的数据组数为 4 组，X 的所有可能取值为 2，3，4.P(X = 2) = C2 4C6 6 C8 10 = 2 15 ,P(X = 3) = C3 4C5 6 C8 10 = 8 15 ,P(X = 4) = C4 4 C4 6 C8 10 = 1 3 ． 所以 X 的分布列如下： ·10· X 2 3 4 P 2 15 8 15 1 3 X 的数学期望为 E(X) = 2 × 2 15 + 3 × 8 15 + 4 × 1 3 = 16 5 = 3.2． 22．(12 分)已知函数 f(x) = ex(x + a)，其中 e 是自然对数的底数，a ∈ R． (1)求函数 f(x) 的单调区间； (2)设 g(x) = f(x - a) - x2，讨论函数 g(x) 零点的个数，并说明理由． 【解答】解：(1)因为 f(x) = ex(x + a)， 所以 f(x) = ex(x + a + 1)．……………………………………………………………… (1 分) 由 f(x) > 0，得 x > -a - 1； 由 f(x) < 0，得 x < -a - 1．……………………………………………………………… (2 分) 所以 f(x) 的增区间是 ( -a - 1, + ∞)，减区间是 ( -∞, - a - 1)．……………………… (3 分) (2)因为 g(x) = f(x - a) - x2 = xex - a - x2 = x(ex - a - x)． 由 g(x) = 0，得 x = 0 或 ex - a - x = 0．……………………………………………………………………… (4 分) 设 h(x) = ex - a - x， 又 h(0) = e-a ≠ 0，即 x = 0 不是 h(x) 的零点， 故只需再讨论函数 h(x) 零点的个数． 因为 h(x) = ex - a - 1， 所以当 x ∈ ( -∞,a) 时，h(x) < 0，h(x) 单调递减； 当 x ∈ (a, + ∞) 时，h(x) > 0，h(x) 单调递增．………………………………………… (5 分) 所以当 x = a 时，h(x) 取得最小值 h (a) = 1 - a．……………………………………… (6 分) ①当 h (a) > 0，即 a < 1 时，h(x) > 0，h(x) 无零点；………………………………… (7 分) ②当 h (a) = 0，即 a = 1 时，h(x) 有唯一零点；………………………………………… (8 分) ③当 h (a) < 0，即 a > 1 时， 因为 h(0) = e-a > 0， 所以 h(x) 在 ( -∞,a) 上有且只有一个零点．…………………………………………… (9 分) 令 x = 2a，则 h(2a) = ea - 2a． 设 φ (a) = h(2a) = ea - 2a(a > 1)，则 φ (a) = ea - 2 > 0， 所以 φ (a)在 (1, + ∞) 上单调递增， 所以，∀ a ∈ (1, + ∞)，都有 φ (a) ≥ φ (1) = e - 2 > 0． 所以 h(2a) = φ (a) = ea - 2a > 0．……………………………………………………… (10 分) 所以 h(x) 在 (a, + ∞) 上有且只有一个零点． 所以当 a > 1 时，h(x) 有两个零点．……………………………………………………… (11 分) 综上所述，当 a < 1 时，g(x) 有一个零点； 当 a = 1 时，g(x) 有两个零点； 当 a > 1 时，g(x) 有三个零点．…………………………………………………………… (12 分) 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 ·11·