山西省大同市第一中学2020届高三2月模拟（三）数学（理）试题
2020 届高三年级数学（理）模拟试卷三
一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题）
1．若集合 A = {-1, 0, 1 ,1, 2}，集合 B = {y | y = 2x , x Î A} ，则集合 A I B = （ ）
2
A {- 1 1 1
{-1, 0,1}
． 1, ,1, 2}
2
B．{0, 2 ,1} C．{2 ,1, 2} D．
2．已知复数 z =
2i (1- i)3
，则 z 在复平面内对应点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量a = ( 3, 3) 在向量b = (m,1) 方向上的投影为 3，则a 与b 的夹角为
( )
A． 30o B． 60o C． 30o 或150o D． 60o 或120o
4．设a- l - b是直二面角，直线a 在平面a内，直线b 在平面b内，且a 、b 与
l 均不垂直，则（ ）
A． a 与b 可能垂直，但不可能平行 B． a 与b 可能垂直，也可能平行
C． a 与b 不可能垂直，但可能平行 D． a 与b 不可能垂直，也不可能平行
1- x2
-1
5．求ò1 ( + x cos x)dx 的值为（ ）
A． p B． p+1
C．p D．p+1
2 2
6．已知： p : - 1 < a < 1， q : "x Î[-1,1]， x2 - ax - 2 < 0, 则 p 是q成立的（ ）
2
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充分必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
7．如图所示，分别以正方形 ABCD 两邻边 AB、AD 为直径向正方形内做两个半圆，交于点 O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为
A． 3p- 2
B． p C． p+ 2
D． 6 -p
8 8 8 8
8．在数列{an }中， a1 = 0 ， an - an-1 + 5 = 2(n + 2)(n Î N*, n ³ 2)，若数列{bn }满
足b = n a +1( 8 )n ，则数列{b }的最大项为( )
n n+1 11 n
A．第 5 项 B．第 6 项 C．第 7 项 D．第 8 项
9．已知函数 f (x) = 3 sin wx + cos wx (w > 0) 在区间é-p pù 上恰有一个最大值点
,
êë
和一个最小值点，则实数w的取值范围是（ ）
4 3 úû
ø
A． é8 , 7 ö
B． é8 , 4 ö
C． é4, 20 ö
D． æ 20 , 7 ö
êë 3 ÷
ê 3 ÷
ê 3 ÷
ç 3 ÷
ë ø
ë ø
è ø
10．抛物 的准线与 轴交于点 ，焦点为 ，点 是抛物线 上的任意一
点，，当 取得最大值时，直线 的斜率是 （ ）
A． B． C． D．
11．已知在 R 上的函数 f (x )满足如下条件：①函数 f (x )的图象关于 y 轴对称；
②对于任意 x Î R ， f (2 + x)- f (2 - x) = 0 ；③当 x Î[0, 2]时， f (x) = x ；④函数
f(n) (x) =
f (2n-1 × x)， n Î N * ，若过点(-1, 0)的直线l 与函数 f(4) (x)的图象在
x Î[0, 2]上恰有 8 个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是( )
A． æ 0, 8 ö
B． æ 0, 11 ö
C． æ 0, 8 ö
D． æ 0, 19 ö
ç 11 ÷
ç 8 ÷
ç 19 ÷
ç 8 ÷
è ø è ø è ø è ø
12．已知 A(x1, y1 )、B (x2 , y2
)是函数 f (x) = ln x 与 g (x) =
x
k 图象的两个不同的交
x2
点，则 f (x1 + x2 )的取值范围是( )
æ e 2
ö æ e
2 1 ö
æ 1 ö
æ e 2 ö
2
e
ø
è
A． ln , +¥ ÷ B． ç
ln , ÷
C． ç 0， ÷
D． ç ln , 0÷
ç è 2
e e ø
è e ø
è 2 e ø
二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题）
—
13．已知函数 f (x) = lg (mx2 - mx - m + 3)的定义域为 R ，则实数m 的取值范围为
14．计算： 2 sin 50° - 3 sin 20° =
cos 20°
15．若DABC 的三边长a ，b ， c 满足b + 2c £ 3a， c + 2a £ 3b，则 b
a
.
的取值范围为
í f (4e - x), 2e < x < 4e
16．已知 f (x) = ìln x, 0 < x £ 2e
î
则实数m 的取值范围是
，若方程 f (x) - mx = 0 有 2 个不同的实根，
三、解答题
x2 - 2ax + 3
17．已知函数 p : f (x) =
的值域是[0, +¥) ， q :关于a 的不等式
a2 - (2m - 5)a + m(m - 5) > 0 ，若Øp 是Øq 充分不必要条件，求实数m 的取值范围。
（12 分）
4 3
3
18．如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为
的菱形，
ÐBCD = 60° ， AC 与 BD 交于点O ，平面 FBC ^ 平面 ABCD ， EF / / AB ，
2 3
3
FB = FC ， EF = .（1）求证：OE ^ 平面 ABCD ；（2）若DFBC 为等边三角形，点Q为 AE 的中点，求二面角Q - BC - A 的余弦值.（12 分）
19．某游戏棋盘上标有第0 、1、2 、L 、100站，棋子开始位于第0 站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现
在第n 站的概率为 Pn .（12 分）
（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3 次后，求棋子所走站数之和 X 的分布列与数学期望；
（2）证明： P - P = - 1 (P - P
)(1 £ n £ 98)；
n+1 n
2 n n-1
（3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.
20．在平面直角坐标系 xOy 中，对于直线l : ax + by + c = 0 和点 P1 (x1 , y1 )、
P2 (x2 , y2 )，记h= (ax1 + by1 + c )(ax2 + by2 + c )，若h< 0 ，则称点 P1 , P2 被直线 l
分隔，若曲线 C 与直线 l 没有公共点，且曲线 C 上存在点 P1 , P2 被直线 l 分隔， 则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线.（12 分）
（1）求证：点 A(1, 2) 、 B(-1, 0) 被直线 x + y -1 = 0 分隔；
（2）若直线 y = kx 是曲线 x2 - 4 y2 = 1的分隔线，求实数k 的取值范围；
（3）动点 M 到点Q(0, 2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1，设点 M 的轨迹为 E， 求 E 的方程，并证明 y 轴为曲线 E 的分隔线.
21．已知函数 f (x) = 1 ax2 - x + 2a2 ln x(a ¹ 0)（12 分）
2
（1）讨论 f (x) 的单调性.
（2）若 f (x) 存在两个极值点 x ， x ，证明：
f (x1 ) - f (x2 ) £ 1 + 1 .
1 2 x - x x x
1 2 1 2
ìx = -1+ t cosa,
î
22．在直角坐标系中，直线l 的参数方程为í y = 1+ t sina （t 为参数，0
0，即(a - m)éëa - (m - 5)ùû > 0 ，解得 a < m - 5 或a > m ，所以，命题 q : a < m - 5或 a > m .
则 Ø p : - < a <
ìïm - 5 £ -
3 ， Ø q : m - 5 £ a £ m ，
所以， í
ïîm ³
，解得 £ m £ 5 -
18（1）证明：取 BC 的中点 H ，连结OH 、 FH 、OE ， 因为 FB = FC ，所以 FH ^ BC ，
因为平面 FBC ^ 平面 ABCD ，平面 FBC I 平面 ABCD = BC ， FH Ì 平面 FBC ，
所以 FH ^ 平面 ABCD ，
因为 H 、O 分别为 BC 、 AC 的中点，所以OH / / AB 且OH = 1 AB = 2 3 .
2 3
又 EF / / AB ， EF = ，所以 EF / /OH ，所以四边形OEFH
为平行四边形， 所以OE / / FH ，所以OE ^ 平面 ABCD.
（2）解：因为菱形 ABCD ，所以OA = OC = OE = FH = 2.
所以OA， OB ， OE 两两垂直，建立空间直角坐标系O - xyz ，如图所示，
则 A(2, 0, 0)， B(0, 2 3 , 0) ， C(-2, 0, 0)， E(0, 0, 2) ，
3
所以Q(1, 0,1) ，
uuur
所以 BC = (-2, -
, 0)， CQ = (3, 0,1) ，
3
设平面 BCQ 的法向量为m = (x, y, z)，
ìBC × v = 0 ì-2x - y = 0
由 íuuuv m 得 ï ，
îCQ × v = 0 í 3
m ïî3x + z = 0
取 x = 1，可得 m = (1, - 3, -3) ，
平面 ABC 的一个法向量为 n = (0, 0,1) ， 设二面角Q - BC - A 的平面角为q，
则cosq=
m × n
ur r =
m n
-3 =
13 ，
所以二面角Q - BC - A 的余弦值为 3 13 .
13
19（1）由题意可知，随机变量 X 的可能取值有3 、 4 、5 、6，
3
P ( X = 3) = =
1 ， P ( X = 4) = C1 × = 3 ，
ç ÷ 3 ç ÷
è ø è ø 8
3
P ( X = 5) = C 2 × =
3 ， P ( X = 6) = = 1 .
3 ç ÷ ç ÷
è ø 8 è ø
所以，随机变量 X 的分布列如下表所示：
X
3
4
5
6
P
1
8
3
8
3
8
1
8
所以， E ( X ) = 3´ 1 + 4 ´ 3 + 5´ 3 + 6 ´ 1 = 9 ；
8 8 8 8 2
（2）依题意，当1 £ n £ 98 时，棋子要到第(n +1)站，有两种情况：
由第 n 站跳1站得到，其概率为 1 P ；
2 n
可以由第(n -1)站跳 2 站得到，其概率为 1 P .
2 n-1
所以， P
= 1 P + 1 P .
n+1
2 n 2 n-1
同时减去 P 得 P - P = - 1 P + 1 P
= - 1 (P - P
) (1 £ n £ 98)；
n n+1 n
2 n 2
n-1
2 n n-1
（3）依照（2）的分析，棋子落到第99站的概率为 P = 1 P
+ 1 P ，
99 2 98
由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有 P = 1 P .
2 97
100 2 98
所以 P100 < P99 ，即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平.
20.（1）由题意得：h= (2 +1-1) ´ (-1+ 0 -1) = -4 < 0 ,
A(1, 2)、B(-1, 0) 被直线 x + y -1 = 0 分隔；
（2）由题意得：直线 y = kx 与曲线 x2 - 4 y2 = 1无交点,
ìx2 - 4 y2 = 1
í
î y = kx
,整理得(1- 4k 2 )x2 -1 = 0 无解,即1- 4k 2 £ 0
k Î æ -¥, - 1 ù U é 1 , +¥ ö ,
ç 2 ú ê 2 ÷
è û ë ø
又对任意的 k Î æ -¥, - 1 ù U é 1 , +¥ ö ，点(1, 0) 和(-1, 0) 在曲线 x2 - 2 y2 = 1上，满足
ç 2 ú ê 2 ÷
è û ë ø
h= (k - 0)(-k - 0) = -k 2 < 0，所以点(1, 0) 和(-1, 0) 被直线 y = kx 分隔，
所求的 k 的范围是æ -¥, - 1 ù È é 1 , +¥ ö .
ç 2 ú ê 2 ÷
è û ë ø
（3）由题意得：设 M (x, y) ,
x2 + ( y - 2)2 × | x |= 1,
化简得点 M 的轨迹方程为 éë x2 + ( y - 2)2 ùû × x2 = 1
Q对任意的 y0 Î R ，点(0, y0 )不是方程 éë x2 + ( y - 2)2 ùû × x2 = 1的解
直线 x = 0 与曲线 E 没有交点,
又曲线 E 上的两点(-1, 2) 和(1, 2) 对于直线 x = 0 满足h= -1´1 = -1 < 0,
即点(-1, 2) 和(1, 2)被直线 x = 0 分隔,
2a2
ax2 - x + 2a2
x Î (0, +¥)
21.（1）解： f ¢(x) = ax -1+ = ， .
x x
设 p(x) = ax2 - x + 2a2 (x > 0) ， D = 1- 8a3
当 a ³ 1 时， D £ 0， p(x) ³ 0 ，则 f ¢(x) ³ 0 ， f (x) 在(0, +¥)上单调递增
2
当0 < a < 1 时， D> 0，
2
p(x)
的零点为 x1 =
2a ， x2 = 2a ，
æ ö æ 1+
1- 8a3 ö
所以 f (x) 在ç 0, 2a
÷ ， ç
2a , +¥÷ 上单调递增
è ø è ø
æ 1-
1- 8a3 1+ 1- 8a3 ö
f (x) 在ç
,
2a 2a
÷ 上单调递减
è ø
p(x)
1- 1- 8a3
当 a < 0 时， D> 0，
æ ö
的零点为 ，
2a
ö
f (x) 在ç 0, 2a ÷ 上单调递增，在ç 2a , +¥÷ 上单调递减.
è ø è ø
（2）证明；由（1）知，当0 < a < 1 时， f (x) 存在两个极值点
2
不妨假设0 < x < x ，则 x + x = 1
1 2 1 2 a
要证 f (x1 ) - f (x2 ) < 1 +
1 ，只需证 f (x ) - f (x
) > (x1 - x2 )(x1 + x2 ) =
x1 - x2
x - x x x 1 2 x x x x
1 2 1 2 1 2 2 1
只需证 1 (x - x )éa (x + x )- 2ù + 2a2 ln x1 = - 1 (x - x
)+ 2a2 ln x1 > x1 - x2
2 1 2 ë 1 2 û
x 2 1 2
x x x
即 证 2a2 ln x1 - x1 + x2 > 1 (x - x )，
2 2 2 1
x2 x2 x1
2 1 2
设t = x1 (0 < t < 1) ，设函数 g(t) = 2a 2 ln t - t + 1 ， g¢(t) = - t 2 - 2a2t +1 ，
x2 t t 2
因为 D¢ = 4a4 - 4 < 0 ，所以t2 - 2a2t +1 > 0， g¢(t) < 0 ， 所以 g (t) 在(0,1) 上单调递减，则 g(t) > g(1) = 0
又 1 (x - x
) < 0，则 g(t) > 0 > 1 (x - x
)， 则 2a2 ln x1 - x1 + x2 > 1 (x - x )
2 1 2
从而 f (x1 ) - f (x2 ) <
x1 - x2
1 + 1
x1 x2
2 1 2
x2 x2 x1
2 1 2
22．（1）当 a = p时，直线l 的参数方程为
6
ìx = -1+
ï
í
p
tcos , 6
p
ì
ï x = -1+
í
3 t,
2 .
1
ï y = 1+ tsin ,
î 6
y = 1+ t,
î 2
消去参数 t 得 x - 3 y +1+ = 0.
由曲线 C 的极坐标方程为r2 =
得r2 + (rsinq)2 = 4，
4
1+ sin2q.
将 x2 + y2 = r2 ，及 y = rsinq代入得 x2 + 2 y2 = 4 ，
x2 + y2 =
4 2
（2）由直线l 的参数方程为 ìx = -1+ tcosa, （ t 为参数， 0 2
可得 f (x) < -2的解集为 ìx x > 3 ü
í 2 ý
î þ
（2）当 x, y Î R 时，
-2 + f ( y ) £
f (x) £ 2 + f ( y ) Û
f (x) - f ( y ) £ 2 Û éë f (x)ùûmax - éë f (x)ùûmin £ 2,
因为 x - 2 - x + a
£ (x - 2) - (x + a ) = a + 2 ，
所以 a + 2 - (- a + 2 ) £ 2.
所以 a + 2 £ 1，所以 -3 £ a £ -1.
所以 a 的取值范围是[-3，-1]
