新课标版高考数学复习题库考点29 离散型随机变量及其分布列、二项分布及其应用、离散型随机变量的均值与方差

新课标版高考数学复习题库考点29 离散型随机变量及其分布列、二项分布及其应用、离散型随机变量的均值与方差

‎ ‎ 考点29 离散型随机变量及其分布列、‎ 二项分布及其应用、离散型随机变量的均值与方差 ‎ ‎1．（2010·海南宁夏高考·理科T6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（ ）‎ ‎（A）100 （B）200 （C）300 （D）400 ‎ ‎【命题立意】本题主要考查了二项分布的期望的公式.‎ ‎【思路点拨】通过题意得出补种的种子数服从二项分布.‎ ‎【规范解答】选Ｂ.由题意可知，补种的种子数记为X，服从二项分布，即，所以X的数学期望.‎ ‎2．（2010·山东高考理科·Ｔ5）已知随机变量服从正态分布,若,则（ ）‎ ‎(A)0.477 (B)0.628 (C)0.954 (D)0.977‎ ‎【命题立意】本题考查正态分布的基础知识,考查考生的推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】先由服从正态分布得出正态曲线关于直线对称,于是得到 与的关系，最后进行求解.‎ ‎【规范解答】 选C.因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称,又,所以,所以0.954,‎ 故选C.‎ ‎3．（2010·江苏高考·Ｔ22）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元.设生产各种产品相互独立.‎ （1） 记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；‎ （1） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.‎ ‎【命题立意】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】利用独立事件的概率公式求解.‎ ‎【规范解答】（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且 ‎ P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18，‎ ‎ P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02.‎ ‎ 由此得X的分布列为：‎ X ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎-3‎ P ‎0.72‎ ‎0.18‎ ‎0.08‎ ‎0.02‎ ‎（2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件.‎ ‎ 由题设知，解得，‎ ‎ 又，得或.‎ 所求概率为.‎ 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192.‎ ‎4．（2010·安徽高考理科·Ｔ21）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令，‎ 则是对两次排序的偏离程度的一种描述.‎ ‎ (1)写出的可能值集合；‎ ‎(2)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列；‎ ‎(3)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，‎ ‎①试按(2)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；‎ ‎②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.‎ ‎【命题立意】本题主要考查离散型随机变量及其分布列，考查考生的计数能力，抽象概括能力，概率思想在生活中的应用意识和创新意识.‎ ‎【思路点拨】用列表或树形图表示1,2,3,4的排列的所有可能情况，计算每一种排列下的X值，‎ 即可得出其分布列及相关事件的概率.‎ ‎【规范解答】（I）X的可能值的集合为.‎ ‎（II）1,2,3,4的排列共24种，在等可能的假定下，计算每种排列下的X值，得到 X ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎（III）（i）‎ ‎（ii）由于是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X的结果的可能性很小，所以可以认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能,不是靠随机猜测.‎ ‎5．（2010·浙江高考理科·Ｔ19）如图，一个小球从M处投入，通过管道 自上而下落到A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个 管道的可能 性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到 A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．‎ ‎(1)已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随机变 量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望；‎ ‎(2)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量为获得 ‎1等奖或2等奖的人次，求．‎ ‎【命题立意】本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识.‎ ‎【思路点拨】（1）求分布列时，要先找出从M出发到相应的位置有几种路，然后再用独立事件的乘法公式.‎ 如从M到A有两种路，所以；（2）第（2）题是一个二项分布问题.‎ ‎【规范解答】 (Ⅰ)由题意得ξ的分布列为 ξ ‎50％‎ ‎70％‎ ‎90％‎ P 则Εξ=×50％+×70％+×90％=.‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)可知，获得1等奖或2等奖的概率为+=.‎ 由题意得η～B（3，）则P（η=2）=()2(1-)=.‎ ‎【方法技巧】1.独立事件的概率满足乘法公式，互斥事件的概率满足加法公式；‎ ‎2.n次独立重复试验是一个很重要的试验，要注意在实际问题中的应用.‎ ‎6．（2010·北京高考理科·Ｔ１7）某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；‎ ‎(Ⅱ)求，的值；‎ ‎(Ⅲ)求数学期望ξ.‎ ‎【命题立意】本题考查了对立事件、独立事件的概率及期望的求法.‎ ‎【思路点拨】（1）“至少”问题一般用对立事件求概率方便.（2）利用独立事件分别求出时的概率，联立方程解出的值.（3）求出，代入期望公式即可.‎ ‎【规范解答】事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知 ‎ ，，‎ ‎（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ，‎ ‎（II）由题意知 ‎ ‎ ‎ 整理得 ，‎ 由，可得，.‎ ‎（III）由题意知 ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ d =‎ ‎ ‎ ‎ =.‎ ‎【方法技巧】（1）“至少”“至多”问题，一般采用对立事件求概率较容易；‎ ‎（2）事件A与B独立，则.‎ ‎7．（2010·福建高考理科·Ｔ16）设S是不等式的解集，m，nS.‎ ‎ （I）记“使得m + n = 0 成立的有序数组（m , n）”为事件A，试列举A包含的基本事件；‎ ‎ （II）设＝，求的分布列及其数学期望.‎ ‎【命题立意】本题考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然、化归与转化思想.‎ ‎【思路点拨】第一步先求解出一元二次不等式的解集，得到集合S，进而求出A所包含的基本事件；第二步求出m的可能取值，再求出的可能取值，计算出所对应的概率，画出分布列，求出数学期望.‎ ‎【规范解答】（I），则 由有，因此A包含的基本事件为：‎ ‎；‎ ‎（II）的可能取值为，则的可能取值为 ‎，‎ 因此的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ 所以其数学期望为 ‎ ‎【方法技巧】有关概率统计的问题，利用枚举法求解越来越常见，枚举时一定要考虑全面，漏解是最常见的错误，如本题要求的是有序数组（m，n），坐标的位置是有序的，如（1,2）和（2,1）是不同的情况，不能当成同一种.因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，试题的难度为中等或中等偏易.‎ ‎8．（2010·山东高考理科·Ｔ20）某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有四个问题，规则如下：‎ ① 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；‎ ② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；‎ ③ 每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.‎ 假设甲同学对问题回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响.‎ ‎(1)求甲同学能进入下一轮的概率；‎ ‎（2）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望.‎ ‎【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了考生利用所学知识解决实际问题的能力.‎ ‎【思路点拨】(1)甲能进入下一轮有以下几种情形：前三个问题回答正确；第一个问题回答错误，后三个问题回答正确；只有第二个问题回答错误；只有第三个问题回答错误；第一、三错误，第二、四正确. (2)随机变量的可能取值为2，3，4.‎ ‎【规范解答】用表示甲同学第个问题回答正确，用表示甲同学第个问题回答错误.则与互为对立事件，由题意得P(M1) P(M2) P(M3) P(M4)所以P(N1) P(N2) P(N3)‎ (1) 记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，‎ Q=++++，‎ 由于每题答题结果相互独立，因此 P(Q)= P(++++)‎ ‎=++++‎ ‎=++++=.‎ ‎（2）由题意，随机变量的可能取值为2，3，4，由于每题答题结果相互独立，因此 P(‎ P(=3) =P(M‎1M‎2‎M3‎)+ P(M1N2N3)‎ P(=4) =1- P(=2)-P(=3)=1-‎ 所以的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 数学期望=++4=.‎ ‎9. （2010·天津高考理科·Ｔ１8）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响.‎ ‎（1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；‎ ‎（2）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；‎ ‎（3）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列.‎ ‎【命题立意】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.‎ ‎【思路点拨】利用二项分布及独立事件的概率公式求解.‎ ‎【规范解答】（1）设为射手在5次射击中击中目标的次数，则～.在5次射击中， ‎ 恰有2次击中目标的概率 ‎（2）设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则 ‎ ‎ ‎ ==‎ ‎（3）由题意可知，的所有可能取值为 P( ‎ P(‎ ‎ =‎ P(‎ P(‎ P(‎ 所以的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ P ‎ ‎