2018-2019学年湖北省随州市高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年湖北省随州市高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省随州市高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题“，”的否定为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】全称命题的否定为特称命题，易得命题的否定为，.‎ ‎【详解】‎ 因为命题“，”为全称命题，‎ 所以命题的否定为特称命题，即，，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查含有一个量词的命题的否定，注意“任意”要改成“存在”.‎ ‎2．若为纯虚数，则实数的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据纯虚数的定义，得到关于的方程，解出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为为纯虚数，‎ 所以，‎ 解得.‎ 故选D项 ‎【点睛】‎ 本题考查纯虚数的定义，属于简单题.‎ ‎3．下列求导运算正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用导数运算公式，对每个选项进行一一判断.‎ ‎【详解】‎ 对A，因为，故A错；对B，，故B正确；‎ 对C，，故C错；对D，，故D错.‎ 所以本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 熟记导数公式，特别是复合函数的求导，即，不能漏了前面的负号.‎ ‎4．已知，，则“”是“表示椭圆”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】先要理解椭圆方程的基本形式，再利用两个命题的关系即可得出必要不充分。‎ ‎【详解】‎ 当且时，表示圆，充分性不成立；当表示椭圆时，且，必要性成立，所以“”是“表示椭圆”的必要不充分条件，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆方程的基本形式，以及命题之间的关系。‎ ‎5．已知空间向量1，，，且，则　　‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x的方程，即可求解x的值．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，空间向量1，，，且，‎ 所以，所以，即，解得.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎6．一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】C ‎【解析】通过假设法来进行判断。‎ ‎【详解】‎ 假设甲说的是真话，则第一名是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，第一名不是甲；‎ 假设乙说的是真话，则第一名是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，第一名也不是乙；‎ 假设丙说的是真话，则第一名是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，第一名也不是乙；‎ 假设丁说的是真话，则第一名不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是第一名，同时乙也说谎，说明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假设成立，第一名是丙。本题选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了推理能力。解决此类问题的基本方法就是假设法。‎ ‎7．若双曲线的一条渐近线为，则实数（　　）‎ A. B.2 C.4 D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，根据双曲线的一条渐近线求得m的值．‎ ‎【详解】‎ 双曲线中，，令，得，‎ 所以；又双曲线的一条渐近线为，‎ 则，解得，所以实数．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用双曲线的标准方程求渐近线方程的应用问题，是基础题．‎ ‎8．设，，，……，，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，依次求出f1（x）、f2（x）、f3（x）、f4（x）的值，分析可得fn+4（x）＝fn（x），据此可得f2019（x）＝f3（x），即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，＝sinx，f1（x）＝＝cosx，‎ f2（x）＝＝﹣sinx，‎ f3（x）＝＝﹣cosx，‎ f4（x）＝＝sinx，‎ 则有f1（x）＝f4（x），f2（x）＝f5（x），……‎ 则有fn+4（x）＝fn（x），‎ 则f2019（x）＝f3（x）＝﹣cosx；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的计算，涉及归纳推理的应用，关键是掌握导数的计算公式．‎ ‎9．在平面几何中有如下结论：正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体的内切球体积为 ‎，外接球体积为，则为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】平面图形类比空间图形,二维类比三维,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.‎ ‎【详解】‎ 设正四面体P-ABC的边长为a，设E为三角形ABC的中心，H为正四面体P-ABC的中心，则HE为正四面体P-ABC的内切球的半径r,BH=PH且为正四面体P-ABC的外接球的半径R，所以BE=，‎ 所以在中 ，，‎ 解得，所以R=PE-HE=，所以，‎ 根据的球的体积公式有，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查类比推理，常见类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.‎ ‎10．已知函数，则的大致图像是（ ）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用函数值的正负及在单调递减，选出正确答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，排除A，D；‎ ‎，在同一个坐标系考查函数与的图象，‎ 可得，在恒成立，所以在恒成立，‎ 所以在单调递减排除B，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 根据解析式选函数的图象是高考的常考题型，求解此类问题没有固定的套路，就是要利用数形结合思想，从数到形、从形到数，充分提取有用的信息.‎ ‎11．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则的面积的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用导数的知识，可得，即三角形 为直角三角形，利用基本不等式，可得当直线垂直轴时，面积取得最小值.‎ ‎【详解】‎ 设，过A，B的切线交于Q，‎ 直线的方程为：，‎ 把直线的方程代入得：，‎ 所以，则，‎ 由导数的知识得：，‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 因为，‎ 当时，可得的最大值为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题是一道与数学文化有关的试题，如果能灵活运用阿基米德三角形的结论，即当直线过抛物线的焦点，则切线与切线互相垂直，能使运算量变得更小.‎ ‎12．王老师在用几何画板同时画出指数函数（且）与其反函数的图象，当改变的取值时，发现两函数图象时而无交点，并且在某处只有一个交点，则通过所学的导数知识，我们可以求出当函数只有一个交点时，的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】当指数函数与对数函数只有一个公共点时，则在该点的公切线的斜率相等，列出关于的方程.‎ ‎【详解】‎ 设切点为，则，解得：故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运算及导数的几何意义，考查数形结合思想的应用，要注意根据指数函数与对数函数图象的凹凸性，得到在其公共点处公切线的斜率相等.‎ 二、填空题 ‎13．已知，则a与b的大小关系______．‎ ‎【答案】a＜b ‎【解析】可先利用作差法比较两数平方的大小，然后得出两数的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 而，‎ 所以得到.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了综合法与分析法比较两数的大小关系，解题时可先用分析法进行分析，再用综合法进行书写解题过程.‎ ‎14．计算：_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用定积分公式计算即可。‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了定积分计算，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎15．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是，且用料最省，则水桶的底面半径为____.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】设圆柱的高为h，半径为r,得πr2h＝27π，即，要使用料最省即求全面积的最小值，将S全面积表示为r的函数，令S＝f（r），结合导数可判断函数f（r）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径 ‎【详解】‎ 用料最省，即水桶的表面积最小.‎ 设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r＞0)，则πr2h＝27π，即水桶的高为，所以(r>0).求导数，得.令S′＝0，解得r＝3.‎ 当0＜r＜3时，S′＜0；当r＞3时，S′＞0.‎ 所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省.‎ 故答案为3‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的实际应用,圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决．‎ ‎16．已知椭圆：的离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边、、的中点分别为、、，且三条边所在直线的斜率分别、、，且、、均不为.为坐标原点，若直线、、的斜率之和为，则 ______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出椭圆方程，设出的坐标，利用椭圆中的结论：，，，结合直线的斜率之和为进行运算.‎ ‎【详解】‎ 因为椭圆的离心率为，所以，‎ 又，，，‎ 所以，，，‎ 所以.‎ 故答案为：-2‎ ‎【点睛】‎ 解析几何小题若能灵活利用一些二级结论，能使问题的求解更简便，计算量更小，本题等三个结论均可利用设而不求点差法证出.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎(I) 求的减区间;‎ ‎(II)当时, 求的值域.‎ ‎【答案】(I) (II) ‎ ‎【解析】(I)对函数进行求导，求出导函数小于零时，的取值范围即可。‎ ‎(II)利用导数求出函数的增区间，结合（1），判断当时，函数的单调性，然后求出最值。‎ ‎【详解】‎ 解: (I) 由函数, 求导 ‎ 当, 解得 即的减区间 ‎ ‎(II) 当, 解得 即在上递减, 在上递增 ‎ 故的值域 ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性及在闭区间上的最值问题。‎ ‎18．设命题：方程表示双曲线；命题：“方程表示焦点在轴上的椭圆”. ‎ ‎（1）若和均为真命题，求的取值范围;‎ ‎（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】（1）根据双曲线方程和椭圆方程的标准形式，可得同时成立，从而求出；‎ ‎（2）为真命题，为假命题，则、一真一假，再根据集合的交、补运算求得或.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若为真命题，则，解得：或.‎ 若为真命题，则，解得：.‎ 若和均为真命题时，则的取值范围为.‎ ‎（2）若为真命题，为假命题，则、一真一假.‎ 当真假时，解得：或 当假真时，，无解 综上所述：的取值范围为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题以椭圆、双曲线方程的标准形式为背景，与简易逻辑知识进行交会，本质考查集合的基本运算.‎ ‎19．某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在，按照区间，，，，进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀.‎ 完成表格，并判断是否有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；‎ ‎(2)从乙班，，分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自发言的人数为随机变量，求的分布列和期望.‎ ‎【答案】(1) 有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.‎ ‎(2)分布列见解析. ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）依题意得，则有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.‎ ‎（2）由题意可得随机变量的所有可能取值为且，据此可得分布列，计算数学期望.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意得 有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”‎ ‎（2）从乙班分数段中抽人数分别为2，3，2‎ 依题意随机变量的所有可能取值为 ‎，‎ 则分布列：‎ 所以 ‎20．如图，矩形和等边三角形中， ，平面平面．‎ ‎（1）在上找一点，使，并说明理由；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明过程见解析；（2）平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎【解析】试题分析：(1) 分别取的中点，利用三角形的中位线的性质，即可证明面，进而得到；（2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面法向量成的角去求解.‎ 试题解析：（1）为线段的中点，理由如下：‎ 分别取的中点，连接，‎ 在等边三角形中， ，又为矩形的中位线，‎ ‎，而，‎ 所以面，所以；‎ ‎（2）由（1）知两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示， ，三角形为等边三角形， ．‎ 于是，‎ 设面的法向量，所以，得，‎ 则面的一个法向量，又是线段的中点，‎ 则的坐标为，于是，且，‎ 又设面的法向量，‎ 由，得，取，则，‎ 平面的一个法向量，‎ 所以，‎ 平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎21．已知椭圆:经过点，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，若，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】（1）由椭圆的离心率可得，，从而使椭圆方程只含一个未知数，把点的坐标代入方程后，求得，进而得到椭圆的方程为；‎ ‎（2）因为直线过定点，所以只要求出直线的斜率即可，此时需对直线的斜率分等于0和不等于0两种情况进行讨论，当斜率不为0时，设直线的方程为，点、，利用得到关于的方程，并求得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设椭圆的焦距为，则，‎ ‎∴，，‎ 所以，椭圆的方程为，‎ 将点的坐标代入椭圆的方程得，‎ 解得，则，，‎ 因此，椭圆的方程为.‎ ‎（2）①当直线斜率为0时，与椭圆交于，，而.‎ 此时，故不符合题意.‎ ‎②当直线斜率不为0时，设直线的方程为，设点、，‎ 将直线的方程代入椭圆的方程，并化简得，‎ ‎，解得或，‎ 由韦达定理可得，，‎ ‎，同理可得，‎ 所以 ‎，即 解得：，符合题意 因此，直线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系并与向量进行交会，求解过程中要始终领会设而不求的思想，即利用坐标运算解决几何问题，考查运算求解能力.‎ ‎22．已知函数 讨论函数的单调性；‎ 当时，求函数在区间上的零点个数.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见解析 ‎【解析】（1）先对函数求导，分别讨论，，即可得出结果；‎ ‎（2）先由（1）得时，函数的最大值，分别讨论，，，即可结合题中条件求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1） ， ， ‎ ‎ ‎ 当时，， ‎ 当时，，‎ 当时，；当时，‎ 当时，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）由（1）得， ‎ 当，即时，函数在内有无零点； ‎ 当，即时，函数在内有唯一零点，‎ 又，所以函数在内有一个零点； ‎ 当，即时，由于，，‎ ‎，‎ 若，即时，，由函数单调性知 使得，使得,‎ 故此时函数在内有两个零点； ‎ 若，即时，，‎ 且，，‎ 由函数的单调性可知在内有唯一的零点，在内没有零点，从而在内只有一个零点 综上所述，当时，函数在内有无零点；‎ 当时，函数在内有一个零点；‎ 当时，函数在内有两个零点．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.‎