高考数学 17-18版 附加题部分 第1章 第62课 课时分层训练6

高考数学 17-18版 附加题部分 第1章 第62课 课时分层训练6

课时分层训练(六)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，求ξ的方差．‎ ‎[解]　依题意，随机变量ξ服从超几何分布，ξ可能的取值为1,2,3.‎ P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3.‎ ξ的概率分布为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.‎ V(ξ)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(3－2)2＝0.4.‎ ‎2．现有一游戏装置如图622，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票，若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．‎ 图622‎ ‎(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；‎ ‎(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的概率分布及均值.‎ ‎ 【导学号：62172336】‎ ‎[解]　(1)由题意可知投一次小球，落入B槽的概率为2＋2＝.‎ ‎(2)落入A槽的概率为2＝，‎ 落入B槽的概率为，‎ 落入C槽的概率为2＝.‎ X的所有可能取值为0,5,10，‎ P(X＝0)＝3＝，‎ P(X＝5)＝＋×＋2×＝.‎ P(X＝10)＝＋×＋2×＝.‎ 所以X的概率分布为 X ‎0‎ ‎5‎ ‎10‎ P E(X)＝0×＋5×＋10×＝.‎ ‎3．(2017·南通二调)一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励(k∈N＋)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．‎ ‎(1)求概率P(X＝0)的值；‎ ‎(2)为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．‎ ‎(注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！) 【导学号：62172337】‎ ‎[解]　(1)事件“X＝0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，‎ 则P(X＝0)＝3××2＝.‎ ‎(2)依题意，X的可能值为k，－1,1,0，‎ 且P(X＝k)＝3＝，P(X＝－1)＝3＝，P(X＝1)＝3×2× ‎＝，P(X＝0)＝，‎ 结合(1)知，参加游戏者的收益X的数学期望为 E(X)＝k×＋(－1)×＋1×＝(元)．‎ 为使收益X的数学期望不小于0元，所以k≥110，即kmin＝110.‎ ‎4．(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：‎ ‎(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；‎ ‎(2)“星队”两轮得分之和X的概率分布和数学期望E(X)．‎ ‎[解]　(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，‎ 记事件B：“乙第一轮猜对”，‎ 记事件C：“甲第二轮猜对”，‎ 记事件D：“乙第二轮猜对”，‎ 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．‎ 由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC，‎ 由事件的独立性与互斥性，‎ P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋2×＝，‎ 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.‎ ‎(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.‎ 由事件的独立性与互斥性，得 P(X＝0)＝×××＝，‎ P(X＝1)＝2× ‎＝＝，‎ P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，‎ P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，‎ P(X＝4)＝2× ‎＝＝，‎ P(X＝6)＝×××＝＝.‎ 可得随机变量X的概率分布为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P 所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2016·南京盐城二模)甲、乙两人投篮命中的概率分别为与，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．‎ ‎(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；‎ ‎(2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．‎ ‎[解]　(1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：‎ 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．‎ 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率 P＝C23＋C2C3＋C3C3＝.‎ ‎(2)ξ的取值为0,1,2,3，所以ξ的概率分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.‎ ‎2．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．‎ ‎(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；‎ ‎(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：‎ 年入流量X ‎40＜X＜80‎ ‎80≤X≤120‎ X＞120‎ 发电机最多 可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ ‎[解]　(1)依题意，p1＝P(40＜X＜80)＝＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，‎ p3＝P(X＞120)＝＝0.1.‎ 由二项分布知，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝4＋4×3×＝0.947 7.‎ ‎(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．‎ ‎①安装1台发电机的情形．‎ 由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.‎ ‎②安装2台发电机的情形．‎ 依题意知，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：‎ Y ‎4 200‎ ‎10 000‎ P ‎0.2‎ ‎0.8‎ 所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.‎ ‎③安装3台发电机的情形．‎ 依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y＝3 400)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2－800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X＞120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X＞120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下：‎ Y ‎3 400‎ ‎9 200‎ ‎15 000‎ P ‎0.2‎ ‎0.7‎ ‎0.1‎ 所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.‎ 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．‎ ‎3．(2017·南通模拟)一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率为，购买B种商品的概率为，购买C种商品的概率为.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．‎ ‎(1)求该网民至少购买2种商品的概率；‎ ‎(2)用随机变量h表示该网民购买商品的种数，求h的概率分布和数学期望．‎ ‎[解]　(1)记“该网民购买i种商品”为事件Ai，i＝2,3，则：P(A3)＝××＝ ‎，‎ P(A2)＝××＋××＋××＝，‎ 所以该网民至少购买2种商品的概率为P(A3)＋P(A2)＝＋＝.‎ 该网民至少购买2种商品的概率为.‎ ‎(2)随机变量h的可能取值为0,1,2,3，‎ P(h＝0)＝××＝，‎ 又P(h＝2)＝P(A2)＝，P(h＝3)＝P(A3)＝，所以P(h＝1)＝1－－－＝.‎ 所以随机变量h的概率分布为：‎ h ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故数学期望E(h)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎4．(2017·苏州市期中)某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测式，共设置了A，B，C三个测试项目．假定张某通过项目A的概率为，通过项目B，C的概率均为a(0

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