2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把答案一律用2B铅笔涂在答题卡上。）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出和中的不等式的解集，然后取交集即可。‎ ‎【详解】由题意，，‎ 则，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的简单运算，属于基础题。‎ ‎2.已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆的半径为，可知其内接正方形的边长，然后利用弧长公式可以求得圆心角的弧度数。‎ ‎【详解】设圆的半径为，则该圆的内接正方形的边长为，即这段圆弧长为，则该圆弧所对的圆心角的弧度数.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题是一道关于求圆心角的弧度数的题目，弧长公式(是圆心角的弧度数)是解答本题的关键。‎ ‎3.已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用幂函数图象过点可以求出函数解析式，然后求出即可。‎ ‎【详解】设幂函数的表达式为，则，解得，‎ 所以，则.‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】本题考查了幂函数，以及对数的运算，属于基础题。‎ ‎4.若，则所在象限是（ ）‎ A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题中不等式得出在第二象限，然后求出的范围，即可判断其所在象限。‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，故在第二象限，‎ 即，‎ 故，‎ 当为偶数时，在第一象限，‎ 当为奇数时，在第三象限，‎ 即所在象限是第一、三象限。‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的象限角，属于基础题。‎ ‎5.在中，下列关系恒成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为，逐个去分析即可选出答案。‎ ‎【详解】由题意知，在三角形ABC中，，‎ 对A选项，，故A选项错误；‎ 对B选项，，故B选项错误；‎ 对C选项，，故C选项错误；‎ 对D选项，，故D选项正确。‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数诱导公式，属于基础题。‎ ‎6.已知表示不超过实数的最大整数，是方程的根，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的零点的范围，进而判断的范围，即可求出.‎ ‎【详解】由题意可知是的零点，‎ 易知函数是（0，）上的单调递增函数，‎ 而，，‎ 即 所以，‎ 结合的性质，可知.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题。‎ ‎7.函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正切函数的性质，可以得到函数的周期，进而可以求出解析式，然后求出即可。‎ ‎【详解】由题意知函数的周期为，则，所以，则.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了正切函数的性质，属于基础题。‎ ‎8.已知函数，若，，，则，，的大小关系为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式先判断函数的单调性和奇偶性，然后根据指数和对数的运算法则进行化简即可．‎ ‎【详解】∵f（x）=x3，∴函数f（x）是奇函数，且函数为增函数，‎ a=﹣f（log3）=﹣f（﹣log310）=f（log310），‎ 则2＜log39.1＜log310，20.9＜2，‎ 即20.9＜log39.1＜log310，‎ 则f（20.9）＜f（log39.1）＜f（log310），‎ 即c＜b＜a，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数值的大小的比较，根据函数解析式判断函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键．‎ ‎9.已知函数的定义域为，若是奇函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由为奇函数，可得，求得，代入计算可得所求值．‎ ‎【详解】是奇函数，‎ 可得，且时，‎ ‎，可得，‎ 则，‎ 可得，‎ 则，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于基础题．‎ ‎10.若在是减函数，则的最大值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值 详解：因为，‎ 所以由得 因此，从而的最大值为，选A.‎ 点睛：函数的性质： ‎ ‎(1). (2)周期 (3)由 求对称轴， (4)由求增区间; ‎ 由求减区间.‎ ‎11.已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由辅助角公式可得，由函数关于直线对称，可得，可取．从而可得，由此结合，可得一个最大值一个最小值，从而可得结果.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 函数关于直线对称，‎ ‎，‎ 即，，故可取．‎ 故，，‎ 即可得：‎ ‎，‎ 故可令，，‎ ‎，，即，，其中，，‎ ‎，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用、三角函数的最值、三角函数的对称性，转化与划归思想的应用，属于难题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.‎ ‎12.已知是奇函数，且满足，当时，，则在内是（ ）‎ A. 单调增函数，且 B. 单调减函数，且 C. 单调增函数，且 D. 单调减函数，且 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据f（x+1）=f（x﹣1）求出函数的周期，然后根据函数在x∈（0，1）时上的单调性和函数值的符号推出在x∈（﹣1，0）时的单调性和函数值符号，最后根据周期性可求出所求．‎ ‎【详解】∵f（x+1）=f（x﹣1），‎ ‎∴f（x+2）=f（x）即f（x）是周期为2的周期函数 ‎∵当x∈（0，1）时，＞0，且函数在（0，1）上单调递增，y=f（x）是奇函数，‎ ‎∴当x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，且函数在（﹣1，0）上单调递增 根据函数的周期性可知y=f（x）在（1，2）内是单调增函数，且f（x）＜0‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的周期性和函数的单调性，同时考查了分析问题，解决问题的能力，属于基础题．‎ 二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分。请把答案填在答题卡上指定位置处。）‎ ‎13.在中，，则_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值。‎ ‎【详解】由，结合正弦定理可得，‎ 故设，，()，由余弦定理可得，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题。‎ ‎14._____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数与对数的运算性质，进行计算即可。‎ ‎【详解】.‎ ‎【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质，需要注意，属于基础题。‎ ‎15.将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则函数的解析式为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的图象变换规律，即可得到的解析式。‎ ‎【详解】函数的图象向右平移个单位，可得到，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，可得到.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换，属于基础题。‎ ‎16.函数的最大值为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式将化为，利用三角函数诱导公式将化为，然后利用二次函数的性质求最值即可。‎ ‎【详解】因为，‎ 所以当时，取到最大值.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数化简与求最值问题，属于中档题。‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17.在中，角所对的边分别为，满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且，求的面积．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理可以得到，即可求出角的大小；（2）利用余弦定理并结合（1）中的结论，可以求出，代入三角形面积公式即可。‎ ‎【详解】（1）由于，结合正弦定理可得，‎ 由于，可得，即，‎ 因为，故.‎ ‎（2）由，，且，代入余弦定理，‎ 即，解得，则的面积.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题。‎ ‎18.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ‎（1）请将上表数据补充完整；函数的解析式为 （直接写出结果即可）；‎ ‎（2）根据表格中的数据作出一个周期的图象；‎ ‎（3）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）数据补全见下表；；（2）详见解析；（3）当时，；当时，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由表中数据可以得到的值与函数周期，从而求出，进而求出，即可得到函数的解析式，利用函数解析式可将表中数据补充完整；（2）结合三角函数性质与表格中的数据可以作出一个周期的图象；（3）结合正弦函数单调性，可以求出函数的最值。‎ ‎【详解】（1）根据表中已知数据，解得，，，数据补全如下表：‎ 函数表达式为.‎ ‎（2）根据表格中的数据作出一个周期的图象见下图：‎ ‎（3）令，，则，‎ 则，，可转化为，，‎ 因为正弦函数在区间上单调递减，在区间（上单调递增，‎ 所以，在区间上单调递减，在区间（上单调递增，‎ 故的最小值为，最大值为，‎ 由于时，；时，，‎ 故当时，；当时，.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题。‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）求函数的对称轴和对称中心；‎ ‎（3）若，，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2），；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角函数的恒等变换，对函数的表达式进行化简，进而可以求出周期；（2）利用正弦函数对称轴与对称中心的性质，可以求出函数的对称轴和对称中心；（3）利用题中给的关系式可以求出和，然后将展开求值即可。‎ ‎【详解】（1）.‎ 所以函数的最小正周期.‎ ‎（2）由于，‎ 令，，得，‎ 故函数的对称轴为.‎ 令，，得，‎ 故函数的对称中心为.‎ ‎（3）因为，所以,‎ 即，‎ 因为，所以，‎ 则，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期、对称轴、对称中心，及利用函数的关系式求值，属于中档题。‎ ‎20.已知函数，．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）当时，方程恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；‎ ‎（3）将函数的图象向右平移个单位后所得函数的图象关于原点中心对称，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由余弦函数的单调性，解不等式，，即可求出；（2）利用函数的性质，结合在时的单调性与最值，可得实数的取值范围；（3）先求出的解析式，然后利用图象关于原点中心对称，是奇函数，可求出的最小值。‎ ‎【详解】（1）由余弦函数的单调性，解不等式，，‎ 得，所以函数的单调递增区间为；‎ ‎（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 则，，，‎ 所以当时，函数与函数的图象有两个公共点，‎ 即当时,方程恰有两个不同的实数根时。‎ ‎（3）函数的图象向右平移个单位,‎ 得到,则是奇函数，‎ 则，‎ 即，，‎ 则 因为，所以当时，.‎ ‎【点睛】本题综合考查了三角函数的性质，及图象的平移变换，属于中档题。‎ ‎21.已知函数的图象过点．‎ ‎（1）求的值并求函数的值域；‎ ‎（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若为偶函数，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）函数图象过，代入计算可求出的值，结合对数函数的性质可求出函数的值域；（2）构造函数，求出它在上的值域，即可求出的取值范围；（3）利用偶函数的性质，即可求出。‎ ‎【详解】（1）因为函数图象过点，所以，解得.‎ 则，‎ 因为，所以，‎ 所以函数的值域为.‎ ‎（2）方程有实根，即，有实根，‎ 构造函数，‎ 则，‎ 因为函数在R上单调递减，而在（0，）上单调递增，‎ 所以复合函数是R上单调递减函数。‎ 所以在上，最小值为，最大值为，即，‎ 所以当时，方程有实根。‎ ‎（3），是R上的偶函数，‎ 则满足，‎ 即恒成立，‎ 则恒成立，‎ 则恒成立，‎ 即恒成立，‎ 故，则恒成立，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，及对数函数的性质，属于中档题。‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）当时，求该函数的值域；‎ ‎（2）求不等式的解集；‎ ‎（3）若对于恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）或（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用换元法并结合二次函数的性质即可求出函数值域；（2）利用换元法并结合一元二次不等式的性质，即可求出不等式的解集；（3）将分离于不等式的一端，对另一端求它的最值，进而可以求出的取值范围。‎ ‎【详解】（1）令，，则，‎ 函数转化为，，‎ 则二次函数，在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5，‎ 故当时，函数的值域为.‎ ‎（2）由题得，令，‎ 则，即,‎ 解得或，‎ 当时，即，解得，‎ 当时，即，解得，‎ 故不等式的解集为或.‎ ‎（3）由于对于上恒成立，‎ 令，，则 即在上恒成立，‎ 所以在上恒成立，‎ 因为函数在上单调递增，也在上单调递增，‎ 所以函数在上单调递增，它的最大值为，‎ 故时，对于恒成立。‎ ‎【点睛】解决不等式恒成立问题，若不等式中的参数能够从其它变量中完全分离出来，且分离后不等式另一边的表达式的最值能够求出来，常用分离参数法。‎ ‎ ‎