高考理科数学专题复习练习14.1几何证明选讲

高考理科数学专题复习练习14.1几何证明选讲

第十四章选修模块 ‎14.1几何证明选讲 专题2‎ 相似三角形的判定与性质 ‎■(2015辽宁大连二十四中高考模拟,相似三角形的判定与性质,解答题,理22)如图,☉O的半径为6,线段AB与☉O相交于点C,D,AC=4,∠BOD=∠A,OB与☉O相交于点E.‎ ‎(1)求BD的长;‎ ‎(2)当CE⊥OD时,求证:AO=AD.‎ ‎(1)解:∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,‎ ‎∴∠OAC=∠ODB.‎ ‎∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC.∴BDOC‎=‎ODAC.‎ ‎∵OC=OD=6,AC=4,∴BD‎6‎‎=‎‎6‎‎4‎,∴BD=9.‎ ‎(2)证明:∵OC=OE,CE⊥OD,‎ ‎∴∠COD=∠BOD=∠A.‎ ‎∴∠AOD=180°-∠A-∠ODC=180°-∠COD-∠OCD=∠ADO.‎ ‎∴AD=AO.‎ 专题4‎ 圆周角、弦切角及圆的切线 ‎■(2015沈阳一模,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题,理22)如图,已知AB是圆O的直径,C,D是圆O上的两个点,CE⊥AB于E,BD交AC于G,交CE于F,CF=FG.‎ 求证:(1)C是劣弧BD的中点;‎ ‎(2)BF=FG.‎ 证明:(1)∵CF=FG,∴∠CGF=∠FCG.‎ ‎∴AB是圆O的直径,∴∠ACB=∠ADB=π‎2‎.‎ ‎∵CE⊥AB,∴∠CEA=π‎2‎.‎ ‎∵∠CBA=π‎2‎-∠CAB,∠ACE=π‎2‎-∠CAB,‎ ‎∴∠CBA=∠ACE.‎ ‎∵∠CGF=∠DGA,‎ ‎∴∠DGA=∠ABC.∴π‎2‎-∠DGA=π‎2‎-∠ABC.‎ ‎∴∠CAB=∠DAC.‎ ‎∴C为劣弧BD的中点.‎ ‎(2)∵∠GBC=π‎2‎-∠CGB,∠FCB=π‎2‎-∠GCF,‎ ‎∴∠GBC=∠FCB.∴CF=FB.‎ 又∵CF=GF,∴BF=FG.‎ ‎■(2015辽宁鞍山一模,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题,理22)如图,AB是圆O的直径,C是半径OB的中点,D是OB延长线上一点,且BD=OB,直线MD与圆O相交于点M,T(不与A,B重合),连接MC,MB,OT.‎ 求证:(1)M,T,C,O四点共圆;‎ ‎(2)MD=2MC.‎ 证明:(1)设DN与圆O相切于点N,‎ 因为MD与圆O相交于点T,‎ 所以由切割线定理可得DN2=DT·DM,DN2=DB·DA,‎ 即DT·DM=DB·DA.‎ 设半径OB=r(r>0),‎ 因为BD=OB,且BC=OC=r‎2‎,‎ 所以DB·DA=r·3r=3r2,DO·DC=2r·‎3r‎2‎=3r2,‎ 所以DT·DM=DO·DC.‎ 所以M,T,C,O四点共圆;‎ ‎(2)由(1)可知M,T,C,O四点共圆,‎ 所以∠DMC=∠DOT.‎ 因为∠DMB=‎1‎‎2‎∠TOB=‎1‎‎2‎∠TOD,‎ 所以∠DMB=∠CMB,‎ 所以MB是∠DMC的平分线,‎ 所以MDMC‎=‎DBBC=2,所以MD=2MC.‎ 专题6‎ 圆的切线的性质与判定 ‎■(2015东北哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校一模,圆的切线的性质与判定,解答题,理22)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边上的中点,连接OD交圆O于点M.‎ ‎(1)求证:DE是圆O的切线;‎ ‎(2)求证:DE·BC=DM·AC+DM·AB.‎ 证明:(1)连接BE,OE,‎ ‎∵AB是直径,∴∠AEB=90°.‎ ‎∵∠ABC=90°=∠AEB,∠A=∠A,∴△AEB∽△ABC,‎ ‎∴∠ABE=∠C.‎ ‎∵BE⊥AC,D为BC的中点,‎ ‎∴DE=BD=DC,‎ ‎∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO,∠DBE=∠DEB,‎ ‎∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°,‎ ‎∴∠OED=90°,∴DE是圆O的切线.‎ ‎(2)∵O,D分别为AB,BC的中点,‎ ‎∴DM=OD-OM=‎1‎‎2‎(AC-AB),‎ ‎∴DM·AC+DM·AB=DM·(AC+AB)‎ ‎=‎1‎‎2‎(AC-AB)·(AC+AB)=‎1‎‎2‎(AC2-AB2)‎ ‎=‎1‎‎2‎BC2=DE·BC.‎ ‎∴DE·BC=DM·AC+DM·AB.‎ ‎14.2坐标系与参数方程 专题3‎ 曲线的极坐标方程的求解 ‎■(2015辽宁鞍山一模,曲线的极坐标方程的求解,解答题,理23)在直角坐标系xOy中,曲线C的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,直线l的倾斜角为45°且经过点P(-1,0).‎ ‎(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于两点A,B,求|PA|2+|PB|2的值.‎ 解:(1)将x=ρcosθ,‎y=ρsinθ代入(x-1)2+(y-1)2=2,化简,得曲线C的极坐标方程为ρ=2‎2‎sinθ+‎π‎4‎.‎ ‎(2)因为直线l的倾斜角为45°且经过点P(-1,0),‎ 所以直线l的参数方程为x=-1+‎2‎‎2‎t,‎y=‎2‎‎2‎t,‎代入(x-1)2+(y-1)2=2,‎ 整理得‎2‎‎2‎t-2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎t-1‎‎2‎=2,‎ 化简,得t2-3‎2‎t+3=0,‎ 所以t1+t2=3‎2‎,t1·t2=3.‎ 故|PA|2+|PB|2‎ ‎=t‎1‎‎2‎‎+‎t‎2‎‎2‎=(t1+t2)2-2t1t2‎ ‎=12.‎ 专题5‎ 参数方程与普通方程的互化 ‎■(2015辽宁抚顺重点高中协作体高考模拟,参数方程与普通方程的互化,解答题,理23)在极坐标系中,圆C的方程为ρ=2acos θ(a≠0),以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线l的参数方程为x=3t+1,‎y=4t+3‎(t为参数).‎ ‎(1)求圆C的标准方程和直线l的普通方程;‎ ‎(2)若直线l与圆C恒有公共点,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)由x=3t+1,‎y=4t+3‎得,‎x-1‎‎3‎‎=t,‎y-3‎‎4‎‎=t,‎ 则x-1‎‎3‎‎=‎y-3‎‎4‎,‎ ‎∴直线l的普通方程为4x-3y+5=0.‎ 由ρ=2acos θ,得ρ2=2aρcos θ.‎ 又∵ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,‎ ‎∴圆C的标准方程为(x-a)2+y2=a2.‎ ‎(2)∵直线l与圆C恒有公共点,∴‎|4a+5|‎‎4‎‎2‎‎+(-3‎‎)‎‎2‎≤|a|.‎ 两边平方得9a2-40a-25≥0,∴(9a+5)(a-5)≥0.‎ ‎∴a的取值范围是a≤-‎5‎‎9‎或a≥5.‎ 专题6‎ 极坐标方程与参数方程的应用 ‎■(2015沈阳一模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=4cosθ,‎y=4sinθ(θ为参数),直线l经过点P(1,2),倾斜角α=π‎6‎.‎ ‎(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程;‎ ‎(2)设直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.‎ 解:(1)消去θ,得圆的标准方程为x2+y2=16.‎ 直线l的参数方程为x=t+tcosπ‎6‎,‎y=2+tsinπ‎6‎,‎ 即x=1+‎3‎‎2‎t,‎y=2+‎1‎‎2‎t(t为参数).‎ ‎(2)把直线l的参数方程x=1+‎3‎‎2‎t,‎y=2+‎1‎‎2‎t代入x2+y2=16,‎ 得‎1+‎3‎‎2‎t‎2‎‎+‎‎2+‎1‎‎2‎t‎2‎=16,‎ 即t2+(2+‎3‎)t-11=0.‎ 所以t1t2=-11,即|PA|·|PB|=11.‎ ‎■(2015辽宁大连二十四中高考模拟,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=π‎4‎,曲线C的参数方程为x=‎2‎cosθ,‎y=sinθ.‎ ‎(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A,B两点,若|MA|·|MB|=‎8‎‎3‎,求点M轨迹的直角坐标方程.‎ 解:(1)直线l的极坐标方程为θ=π‎4‎,所以直线斜率为1,即直线l为y=x;‎ 曲线C的参数方程为x=‎2‎cosθ,‎y=sinθ,‎消去参数θ,‎ 可得曲线C:x‎2‎‎2‎+y2=1.‎ ‎(2)设点M(x0,y0)及过点M的直线l1为x=x‎0‎+‎2‎t‎2‎,‎y=y‎0‎+‎2‎t‎2‎.‎ 由直线l1与曲线C相交可得‎3‎t‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎tx0+2‎2‎ty0+x‎0‎‎2‎+2y‎0‎‎2‎-2=0.‎ 由|MA|·|MB|=‎8‎‎3‎‎⇒x‎0‎‎2‎‎+2y‎0‎‎2‎-2‎‎3‎‎2‎=‎‎8‎‎3‎,‎ 即x‎0‎‎2‎+2y‎0‎‎2‎=6.‎ 由x2+2y2=6表示一个椭圆,‎ 取y=x+m代入x‎2‎‎2‎+y2=1,‎ 得3x2+4mx+2m2-2=0.‎ 由Δ≥0得-‎3‎≤m≤‎3‎.‎ 故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线y=x±‎3‎之间的两段弧.‎ ‎■(2015东北哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校一模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cos θ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是x=‎3‎‎2‎t+m,‎y=‎1‎‎2‎t(t为参数).‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;‎ ‎(2)设点P(m,0),若直线l与曲线C交于A,B两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m的值.‎ 解:(1)曲线C的极坐标方程是ρ=2cos θ,化为ρ2=2ρcos θ,可得直角坐标方程:x2+y2=2x.‎ 直线l的参数方程是x=‎3‎‎2‎t+m,‎y=‎1‎‎2‎t(t为参数),消去参数t可得x=‎3‎y+m.‎ ‎(2)把x=‎3‎‎2‎t+m,‎y=‎1‎‎2‎t(t为参数)代入方程:x2+y2=2x化为t2+(‎3‎m-‎3‎)t+m2-2m=0,‎ 由Δ>0,解得-10,∴实数m=1±‎2‎.‎ ‎14.3不等式选讲 专题1‎ 含绝对值不等式的解法 ‎■(2015沈阳一模,含绝对值不等式的解法,解答题,理23)设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.‎ ‎(1)解不等式f(x)>0;‎ ‎(2)若f(x)+3|x-4|>m对一切实数x均成立,求m的取值范围.‎ 解:(1)当x≥4时,f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0,得x>-5,所以x≥4时,不等式成立.‎ 当-‎1‎‎2‎≤x<4时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0,得x>1,所以10,得x<-5,‎ 所以x<-5时,不等式成立.‎ 综上,原不等式的解集为{x|x>1或x<-5}.‎ ‎(2)f(x)+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-(2x-8)|=9,当x≥4或x≤-‎1‎‎2‎时等号成立.‎ 所以f(x)+3|x-4|的最小值为9,故m<9.‎ ‎■(2015辽宁抚顺重点高中协作体高考模拟,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|,x∈R.‎ ‎(1)解不等式f(x)≤5;‎ ‎(2)若不等式m2-3m1,‎‎2x+2≤5.‎ 可得-‎7‎‎2‎≤x<-3或-3≤x≤1或10;‎ ‎(2)若∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)不等式f(x)>0,即|2x-1|>|x+2|,‎ 即4x2-4x+1>x2+4x+4,‎ 即3x2-8x-3>0,求得它的解集为xx<-‎1‎‎3‎,或x>3‎.‎ ‎(2)f(x)=|2x-1|-|x+2|=‎‎-x+3,x<-2,‎‎-3x-1,-2≤x<‎1‎‎2‎,‎x-3,x>‎1‎‎2‎,‎ 故f(x)的最小值为f‎1‎‎2‎=-‎5‎‎2‎,‎ 根据∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,‎ 可得4m-2m2>-‎5‎‎2‎,即4m2-8m-5<0,‎ 求得-‎1‎‎2‎

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