2013年普通高等学校招生全国统一考试 理数（浙江卷）（含答案）

2013年普通高等学校招生全国统一考试 理数（浙江卷）（含答案）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 1、 已知是虚数单位，则（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎2.设集合，则（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎（2）已知为正实数，则（ ）‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎（3）已知函数，则“是奇函数”是的（ ）‎ A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ ‎ C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎（4）.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎（5）.已知，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ 的应用，考查学生的运算求解能力.‎ ‎(6).设是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有,则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎（7）已知为自然对数的底数，设函数，则（ ）‎ A. ‎ 当时，在处取得极小值 ‎ B. 当时，在处取得极大值 ‎ C. 当时，在处取得极小值 ‎ D. ‎ 当时，在处取得极大值 ‎ ‎【考点定位】此题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性求函数的极值.‎ ‎（8）.如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二、四象限的公共点。若四边形为矩形，则的离心率是（ ）A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】解决此类问题有三种思路，一是求出三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公式求解.二是求出或或之间关系，然后利用离心率的计算公式求解.三是构造出关于离心率的方程来求解。此题中关键是灵活的应用椭【考点定位】此题考查椭圆和双曲线的定义、性质的应用，考查了离心率的求法.‎ ‎（9）.在空间中，过点作平面的垂线，垂足为，记。设是两个不同的平面，对空间任意一点，,恒有，则（ ）‎ A. 平面与平面垂直 B. 平面与平面所成的（锐）二面角为 ‎ C. 平面与平面平行 D.平面与平面所成的（锐）二面角为 ‎ ‎【考点定位】此题是信息类题目，考查线面垂直和面面垂直的知识点，考查学生的自学能力和运用所学知识解决问题的能力.‎ 二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分.‎ ‎11、设二项式的展开式中常数项为，则________。‎ ‎12、若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】三视图问题关键是搞清楚几何体的直观图的构成，根据三视图的信息确定直观图中的边的长度和角的度数，然后利用体积公式求解。此题中的正视图和侧视图都是三角形，且俯视图是直角三角形，所以原图是直三棱柱被平面截后所剩余的几何体。注意长对正，宽相等，高平齐的法则。13、设，其中实数满足，若的最大值为12，则实数________。‎ 进行分类讨论即可解决.‎ ‎14、将六个字母排成一排，且均在的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】此题中的和都是特殊元素，要对特殊的位置和特殊元素首先考虑，在分类讨论时要注意不重不漏.对特殊元素进行分类讨论即可，即在第1,2,3，4,5,6，位置上讨论，其中在第1和第6位置上，在第2和第5位置上，在第3和第4位置上结果是相同的，在第1位置上有种，15、设为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点为线段的中点，若，则直线的斜率等于________。‎ 点斜式的应用，考查学生的运算求解能力.‎ 16、 ‎ 中，,是的中点，若，则________。‎ 生的运算求解能力.‎ 16、 设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于________。‎ 最大值为4，所以答案是2.‎ ‎【考点定位】此题考查向量的数量积的计算和性质，考查二次函数的性质和换元法的应用.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 18、 在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列。‎ ‎（Ⅰ）求;‎ ‎（Ⅱ）若，求 所以，综上所述：.‎ ‎【解析】：此题的第（Ⅰ）问根据题目的已知条件成等比数列得到 19、 设袋子中装有个红球，个黄球，个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分。‎ ‎（Ⅰ）当时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，.求分布列.‎ ‎（Ⅱ）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量为取出此球所得分数.若，求 时.所以的分布列是：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎【考点定位】此题考查概率与统计，考查离散型随机变量的分布列及期望和方差的计算.‎ 20、 如图，在四面体中，平面,.是的中点，是的中点，点在线段上，且.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面;‎ ‎（Ⅱ）若二面角的大小为，求的大小.‎ ‎【答案】证明（Ⅰ）方法一：如图6，取的中点，且是中点，所以。因为是中点，所以.又因为（Ⅰ）且，‎ 思想的应用，考查了学生空间想象能力、推理论证和运算求解能力.‎ 21、 如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程.‎ ‎（Ⅱ）求面积取最大值时直线的方程.‎ 方程即可求解.此题注意圆中半径的平方等于4，不是半 22、 已知，函数 ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程.‎ ‎（Ⅱ）当时，求的最大值.‎ ‎，‎ 当时，，所以，所以此时