【数学】2020届一轮复习人教版（理）第三章第五节　正弦定理和余弦定理作业

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第三章第五节　正弦定理和余弦定理作业

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)‎ A级　基础夯实练 ‎1．(2018·广东广州调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos B＝，则△ABC的面积为(　　)‎ A．3　　　　　　　 B． C．9 D． 解析：选B.由余弦定理b2＝c2＋a2－2accos B，得7＝16＋a2－‎6a，解得a＝3，∵cos B＝，∴sin B＝，∴S△ABC＝casin B＝×4×3×＝.故选B.‎ ‎2．(2018·河南三市联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sin A∶sin B＝1∶，c＝2cos C＝，则△ABC的周长为(　　)‎ A．3＋3 B．2 C．3＋2 D．3＋ 解析：选C.因为sin A∶sin B＝1∶，所以b＝a，‎ 由余弦定理得cos C＝＝＝，‎ 又c＝，所以a＝，b＝3，所以△ABC的周长为3＋2，故选C.‎ ‎3．(2018·成都外国语学校二模)在△ABC中，sin‎2A≤sin2B＋sin‎2C－sin Bsin C，则A的取值范围是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选C.由正弦定理及sin‎2A≤sin2B＋sin‎2C－sin Bsin C可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理可得cos A＝≥＝，又0＜A＜π，所以0＜A≤.故A的取值范围是.故选C.‎ ‎4．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　)‎ A．a＝2b B．b＝‎‎2a C．A＝2B D．B＝‎‎2A 解析：选A.因为A＋B＋C＝π，sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，所以sin(A＋C)＋2sin Bcos C＝2sin Acos C＋cos Asin C，所以2sin B cos C＝sin Acos C.‎ 又cos C≠0，所以2sin B＝sin A，所以2b＝a，故选A.‎ ‎5．(2018·东北三校联考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B等于(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选C.根据正弦定理＝＝＝2R，‎ 得＝＝，‎ 即a2＋c2－b2＝ac，‎ 得cos B＝＝，又0＜B＜π，‎ 所以B＝，故选C.‎ ‎6．(2018·长沙模拟)在△ABC中，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为________．‎ 解析：因为b2sin C＝4sin B，所以b‎2c＝4b，即bc＝4，故S△ABC＝bcsin A＝×4×＝2.‎ 答案：2‎ ‎7．(2018·山西大同联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(bcos A＋acos B)＝c2，b＝3，3cos A＝1，则a的值为________．‎ 解析：由正弦定理可得 ‎2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝csin C，‎ ‎∵2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝2sin(A＋B)＝2sin C，∴2sin C＝csin C，∵sin C＞0，∴c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝22＋32－2×2×3×＝9，∴a＝3.‎ 答案：3‎ ‎8．(2018·辽宁沈阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5，B＝，△ABC的面积为，则cos ‎2A＝________．‎ 解析：由三角形的面积公式，得S△ABC＝acsin B＝×a×5×sin＝××‎5a＝，解得a＝3.‎ 由b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋52－2×3×5×＝49，得b＝7.由＝⇒sin A＝sin B＝sin ＝，∴cos ‎2A＝1－2sin‎2A＝1－2×＝.‎ 答案： ‎9．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.‎ ‎(1)求sin Bsin C；‎ ‎(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．‎ 解：(1)由题设得acsin B＝，即csin B＝.‎ 由正弦定理得sin Csin B＝.‎ 故sin Bsin C＝.‎ ‎(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，‎ 即cos(B＋C)＝－.‎ 所以B＋C＝，故A＝.‎ 由题设得bcsin A＝，a＝3，即bc＝8.‎ 由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，由bc＝8，‎ 得b＋c＝.‎ 故△ABC的周长为3＋.‎ ‎10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.‎ ‎(1)证明：sin Asin B＝sin C.‎ ‎(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B．‎ 解：(1)证明：由正弦定理＝＝，可知原式可以化简为＋＝＝1，因为A和B为三角形的内角，所以sin Asin B≠0，‎ 则两边同时乘以sin Asin B，可得 sin Bcos A＋sin Acos B＝sin Asin B，‎ 由和角公式可知，sin Bcos A＋sin Acos B＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，∴sin C＝sin Asin B，故原式得证．‎ ‎(2)由b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理可知，‎ cos A＝＝.‎ 因为A为三角形内角，A∈(0，π)，sin A＞0，则sin A＝＝，即＝，由(1)可知＋＝＝1，所以 ‎＝＝1－＝1－＝，所以tan B＝4.‎ B级　能力提升练 ‎11．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　)‎ A. B． C．－ D．－ 解析：选C.如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，AB＝BC，AC＝BC，在△ABC中，由余弦定理的推论可知，cos∠BAC＝＝＝－，故选C.‎ ‎12．(2018·六安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＋sin A－＝0，则的值是(　　)‎ A．1 B． C. D．2‎ 解析：选B.因为cos A＋sin A－＝0，所以(cos A＋sin A)(cos B＋sin B)＝2，所以cos Acos B＋sin Asin B＋sin Acos B＋cos Asin B＝2，即cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2，所以cos(A－B)＝1，‎ sin(A＋B)＝1，又A，B分别为三角形的内角，所以A＝B，A＋B＝，所以a＝b，C＝，所以＝＝，故选B.‎ ‎13．(2017·浙江卷)已知△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．‎ 解析：由余弦定理得cos∠ABC＝＝，‎ ‎∴cos∠CBD＝－，sin∠CBD＝，‎ ‎∴S△BDC＝BD·BC·sin∠CBD＝×2×2×＝.‎ 又cos∠ABC＝cos 2∠BDC＝2cos2∠BDC－1＝，‎ ‎0＜∠BDC＜，‎ ‎∴cos∠BDC＝.‎ 答案：； ‎14．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin Acos‎2A－cos(B＋C)＝sin ‎3A＋.‎ ‎(1)求A的大小；‎ ‎(2)若b＝2，求△ABC面积的取值范围．‎ 解：(1)∵A＋B＋C＝π，∴cos(B＋C)＝－cos A①，‎ ‎∵‎3A＝‎2A＋A，‎ ‎∴sin ‎3A＝sin(‎2A＋A)＝sin 2Acos A＋cos 2Asin A②，‎ 又sin ‎2A＝2sin Acos A③，‎ 将①②③代入已知，得2sin 2Acos A＋cos A＝sin 2Acos A＋cos 2Asin A＋，‎ 整理得sin A＋cos A＝，即sin＝，‎ 又A∈，∴A＋＝，即A＝.‎ ‎(2)由(1)得B＋C＝，∴C＝－B，‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，∴－B∈且 B∈，‎ 解得B∈，‎ 在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ ‎∴c＝＝＝＋1，‎ 又B∈，∴∈(0，)，∴c∈(1，4)，‎ ‎∵S△ABC＝bcsin A＝c，∴S△ABC∈.‎ ‎15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan A＋tan B)＝＋.‎ ‎(1)证明：a＋b＝‎2c；‎ ‎(2)求cos C的最小值．‎ 解：(1)由题意知 ‎2＝＋，‎ 化简得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，‎ 即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B．‎ 因为A＋B＋C＝π，‎ 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.‎ 从而sin A＋sin B＝2sin C.‎ 由正弦定理得a＋b＝‎2c.‎ ‎(2)由(1)知c＝，‎ 所以cos C＝＝ ‎＝－≥，‎ 当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 故cos C的最小值为.‎ C级　素养加强练 ‎16．(2018·湖北八校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ ‎(1)若23cos‎2 A＋cos ‎2A＝0，且△ABC为锐角三角形，a＝7，c＝6，求b的值；‎ ‎(2)若a＝，A＝，求b＋c的取值范围．‎ 解：(1)∵23cos‎2 A＋cos ‎2A＝23cos‎2 A＋2cos‎2 A－1＝0，‎ ‎∴cos‎2 A＝，‎ 又A为锐角，∴cos A＝，‎ 而a2＝b2＋c2－2bccos A，即b2－b－13＝0，‎ 解得b＝5(负值舍去)，∴b＝5.‎ ‎(2)解法一：由正弦定理可得b＋c＝2(sin B＋sin C)＝2＝2sin，‎ ‎∵0＜B＜，∴＜B＋＜，‎ ‎∴＜sin≤1，∴b＋c∈(，2]．‎ 解法二：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得 b2＋c2－3＝bc，‎ 即(b＋c)2－3＝3bc≤(b＋c)2，当且仅当b＝c时取等号，‎ ‎∴b＋c≤2，又由两边之和大于第三边可得b＋c＞，∴b＋c的取值范围为(，2]．‎