2017-2018学年湖南省双峰县第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年湖南省双峰县第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题

‎2017-2018学年湖南省双峰县第一中学高二上学期期中考试 数学试卷（理科）‎ ‎(考试时间：115分钟 试卷满分：150分)‎ 一、单选题（本题共12小题, 每小题5分, 共60分.）‎ ‎3、某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（   ） ‎ A、 ‎ B、 C、 D、‎ ‎4、某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（   ） ‎ A、20 B、24 C、30 D、32‎ A、5 B、±5 C、10 D、±10‎ ‎7、设 ，为非零向量，则 “存在负数λ，使得 =λ ” 是 ” • ＜0”的（　） ‎ A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎8、已知等差数列的前项和为，满足，且，则中最大的是（　） ‎ ‎ ‎ ‎12、已知F1 ，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2= ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（   ） ‎ A、 B、 C、3 D、2 ‎ 二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分.）‎ ‎14、已知椭圆，过点P（3，1）作一弦，使弦在这点处被平分，则此弦所在的直线的斜率值为____________． ‎ ‎ ‎ 三、 解答题（本题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎ ‎ 18、 ‎(本小题12分) 如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ CAD= ，AC= ，cos∠ ADB=﹣． （1）求sin∠ C的值； （2）若BD=2DC，求边AB的长． ‎ 19、 ‎(本小题12分) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°． ‎ ‎（1）证明：直线BC∥平面PAD； （2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．‎ ‎ ‎ ‎20、(本小题12分) 已知数列{an}是非常值数列，且满足an+2=2an+1﹣an（n∈N*），其前n项和为sn，若s5=70，a2，a7，a22成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列 的前n项和为Tn，求证： ． ‎ ‎22、(本小题12分) 已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上（异于B点）． （1）若椭圆V过点（﹣， ），求椭圆C的方程； （2）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R， = ． ‎ 答案 一、单选题（本题共12小题, 每小题5分, 共60分.）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A A B C A A B B C B A 二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分.）‎ ‎13. 4 14. ‎ ‎15. 16. ‎ 三、 解答题（本题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 解：（1）正数x，y满足x+3y=5xy，∴=5．‎ ‎∴3x+4y=（3x+4y）=（13+≥=5，‎ 当且仅当x=1，y=时取等号．‎ ‎∴3x+4y的最小值为1．‎ ‎（2）∵正数x，y满足x+3y=5xy，‎ ‎∴5xy≥，‎ 解得：xy≥，当且仅当x=3y=时取等号．‎ ‎∴xy的最小值为．‎ 18. 解：（1）在△ABC中，因为cos∠ADB=﹣ 且∠ADB∈（0，π）， ‎ ‎ 所以sin∠ADB= ． 因为∠CAD= ，所以C=∠ADB﹣ ． 所以sin∠C=sin（∠ADB﹣ ）= = ． （2）在△ACD中，由正弦定理得 ，∴CD= ， ∵BD=2DC，∴BC= ， ∴AB= = 19. （1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， ∴直线BC∥平面PAD； （2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，则AB=BC=x，CD= ，O是AD的中点， 连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE， 则OE= ，PO= ，PE= = ， △PCD面积为2 ，可得： =2 ， 即： ，解得x=2，PE=2 ． 则V P﹣ABCD= × （BC+AD）×AB×PE= =4 ． 20. 解：（1）因为数列满足an+2=2an+1﹣an（n∈N*），所以{an}是等差数列且s5=70， ∴5a1+10d=70．① ∵a2 ， a7 ， a22成等比数列，∴ ， ‎ 即 ．② 由①，②解得a1=6，d=4或a1=14，d=0（舍去）， ∴an=4n+2． （2）证明：由（1）可得 ， 所以 ．则= = ． ∵ ，∴ ． ∵ ，∴数列{Tn}是递增数列，∴ ∴ ‎ ‎ ‎ 22. 解：（1）椭圆的离心率e= = = ，则a2=2b2 ， 将点（﹣ ， ）代入椭圆方程 ，解得：a2=4，b2=2， ∴椭圆的标准方程为： ， （2）由题意的对称性可知：设存在存在k＞0，使得 = ， 由a2=2b2 ， 椭圆方程为： ， 将直线方程代入椭圆方程，整理得：（1+2k2）x2+4kbx=0， 解得：x P=﹣ ，则丨BP丨= × ， 由BP⊥BQ，则丨BQ丨= ×丨 丨= • ， 由 = ．，则2 × = • ， 整理得：2k3﹣2k2+4k﹣1=0， 设f（x）=2k3﹣2k2+4k﹣1，由f（ ）＜0，f（ ）＞0， ‎ ‎∴ 函数f（x）存在零点， ∴存在k∈R， = ‎