2020届高考理科数学全优二轮复习训练：小题专项训练8

2020届高考理科数学全优二轮复习训练：小题专项训练8

小题专项训练 8 立体几何 一、选择题 1．若直线 a∥平面α，直线 b∥直线 a，点 A∈b 且 A∈α，则 b 与α的位置关系是( ) A．b∩α＝A B．b⊂α C．b∥α D．b∥α或 b⊂α 【答案】B 【解析】由 a∥α，b∥a⇒b∥α或 b⊂α.又 b 过α内一点，故 b⊂α. 2．(2019 年陕西模拟)已知平面α内有一个点 M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是 m＝(2， －1,2)，则下列点 P 中，在平面α内的是( ) A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1) C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4) 【答案】A 【解析】记 P(x，y，z)，则MP→ ＝(x－1，y＋1，z－2)，当MP→ ⊥α，即MP→ ·m＝2(x－1)－(y ＋1)＋2(z－2)＝0，即 2x－y＋2z＝7 时，点 P(x，y，z)在平面α内，验证知只有 A 满足．故选 A． 3．设平面α与平面β相交于直线 m，直线 a 在平面α内，直线 b 在平面β内，且 b⊥m，则“a ⊥b”是“α⊥β ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由α⊥β，b⊥m，得 b⊥α.又直线 a 在平面α内，所以 a⊥b；但直线 a，m 不一定 相交，所以“a⊥b”是“α⊥β ”的必要不充分条件．故选 B． 4．(2019 年江苏宿迁期末)如图，一个底面水平放置的倒圆锥形容器，它的轴截面是正三 角形，容器内有一定量的水，水深为 h.若在容器内放入一个半径为 1 的铁球后，水面所在的 平面恰好经过铁球的球心 O(水没有溢出)，则 h 的值为( ) A．2π 9 B． 2 C． 3 2 3 D．3 2 【答案】D 【解析】作 OD⊥AC，垂足为 D，则球的半径 r＝OD＝1，此时 OA＝2r＝2，倒圆锥的底 面半径 OC＝2tan 30°＝2 3 3 .放入小球之前，水深为 h.，则底面半径为 htan 30°＝ 3 3 h.由题意得 1 3π 3 3 h 2h＝1 3π 2 3 3 2×2－1 2 ×4 3π×13，解得 h＝3 2.故选 D． 5．如图，两个圆锥和一个圆柱分别有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一 球面上．若圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和，且该球的表面积为 16π，则圆柱的体积 为( ) A．2π B．8π 3 C．6π D．8π 【答案】C 【解析】设球的半径为 R，则 4πR2＝16，解得 R＝2.设圆锥的高 O1A＝O2B＝x，底面圆半 径 O1C＝O2D＝y，则圆锥的母线长 AC＝ x2＋y2，圆柱的高为 4－2x.由圆柱的侧面积等于两个 圆锥的侧面积之和，得 2πy(4－2x)＝2πy x2＋y2，则 y2＝3x2－16x＋16.在 Rt△OO1C 中，可得(2 －x)2＋y2＝4，解得 x＝4， y＝0 (舍去)或 x＝1， y＝ 3. 所以圆柱的体积为 V＝πy2(4－2x)＝6π.故选 C． 6．(2018 年广东珠海一模)如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，四边形 ABCD 为梯形， AD∥BC，AA1＝3，AB＝BC＝CD＝ 3，∠BCD＝120°，则直线 A1B 与 B1C 所成的角的余弦值 为( ) A．7 8 B．5 8 C． 3 8 D． 6 8 【答案】A 【解析】以 A 为原点，在平面 ABCD 中，过点 A 的 AD 的垂线为 x 轴，AD 为 y 轴，AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系，则 A1(0,0,3)，B 3 2 ， 3 2 ，0 ，B1 3 2 ， 3 2 ，3 ，C 3 2 ，3 3 2 ，0 ，A1B→ ＝ 3 2 ， 3 2 ，－3 ，B1C→ ＝(0，3，－3)．设直线 A1B 与 B1C 所成的角为θ，则 cos θ＝|A1B→ ·B1C→ | |A1B→ ||B1C→ | ＝ 21 2 12 ＝7 8.故选 A． 7．已知 ABCD 为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N 分别是对角线 AC 与 BD 的中点，则 MN 与( ) A．AC，BD 之一垂直 B．AC，BD 都垂直 C．AC，BD 都不垂直 D．AC，BD 不一定垂直 【答案】B 【解析】∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB.连接 AN，CN，MN，则 AN ＝CN.在等腰△ANC 中，∵M 为 AC 的中点，∴MN⊥AC.同理可得 MN⊥BD.故选 B． 8．(2018 年福建福州模拟)已知直线 a，b 异面，给出以下命题： ①一定存在平行于 a 的平面α使 b⊥α； ②一定存在平行于 a 的平面α使 b∥α； ③一定存在平行于 a 的平面α使 b⊂α； ④一定存在无数个平行于 a 的平面α与 b 交于一定点． 则其中真命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①，若存在平面α，使得 b⊥α，则有 b⊥a，而直线 a，b 未必垂直，∴①不 正确；对于②，注意到过直线 a，b 外一点 M 分别引直线 a，b 的平行线 a1，b1，显然由直线 a1，b1 可确定平面α，此时平面α与直线 a，b 均平行，∴②正确；对于③，注意到过直线 b 上 的一点 B 作直线 a2 与直线 a 平行，显然由直线 b 与 a2 可确定平面α，此时平面α与直线 a 平行， 且 b⊂α，∴③正确；对于④，在直线 b 上取一定点 N，过点 N 作直线 c 与直线 a 平行，经过 直线 c 的平面(除由直线 a 与 c 所确定的平面及直线 c 与 b 所确定的平面之外)均与直线 a 平行， 且与直线 b 相交于一定点 N，∴④正确．综上，②③④正确．故选 C． 9．已知三棱锥 S－ABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形，SA 垂直于底面 ABC， SA＝3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为( ) A．3 4 B． 3 4 C． 5 4 D． 7 4 【答案】A 【解析】如图，建立空间直角坐标系 A－xyz，易知 S(0,0,3)，B(2,0,0)，C(1，3，0)．设平 面 SBC 的法向量为 n＝(x，y，z)， 则 n·BC→＝x，y，z·－1， 3，0＝0， n·BS→＝x，y，z·－2，0，3＝0， 可取 n＝(3， 3，2)．又AB→＝(2,0,0)，所以当θ为 AB 与平面 SBC 所成的角时，sin θ＝|cos 〈AB→，n〉|＝|AB→·n| |AB→||n| ＝ 6 2× 16 ＝3 4. 10．(2019 年江西模拟)如图所示，在棱长为 6 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E，F 分 别是棱 C1D1，B1C1 的中点，过 A，E，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为( ) A．18＋3 2 B．6 13＋3 2 C．6 5＋9 2 D．10＋3 2＋4 10 【答案】B 【解析】在平面 A1B1C1D1 中，双向延长 EF，分别与 A1D1，A1B1 的延长线交于点 P，Q， 连接 AP 交 DD1 于点 M，连接 AQ 交 BB1 于点 N，则过 A，E，F 三点该正方体的截面为五边 形 AMEFN.易得 D1P＝B1Q＝1 2AD＝2，则 DM＝BN＝4，D1M＝B1N＝2，所以 AM＝AN＝ 62＋42 ＝2 13，ME＝NF＝ 22＋32＝ 13，EF＝ 32＋32＝3 2.所以截面的周长为 6 13＋3 2.故选 B． 11．已知球 O1 和球 O2 的半径分别为 1 和 2，且球心距为 5.若两球体的表面相交得到一 个圆，则该圆的面积为( ) A．2π B．π C．4π 5 D．π 2 【答案】C 【解析】作出两球面相交的一个截面图如图所示，AB 为相交圆的直径．由条件知 O1A＝1， O2A＝2，O1O2＝ 5，∴△AO1O2 为直角三角形．由三角形面积公式，得 AC＝O1A·O2A O1O2 ＝ 2 5 ， ∴所求圆的面积为π· 2 5 2＝4π 5 . 12．(2018 年河北唐山模拟)设点 A，B，C 为球 O 的球面上三点，O 为球心，球 O 的表面 积为 100π，且△ABC 是边长为 4 3的正三角形，则三棱锥 O－ABC 的体积为( ) A．12 B．24 C．24 3 D．12 3 【答案】D 【解析】∵球 O 的表面积为 100π＝4πr2，∴球 O 的半径为 5.如图，取△ABC 的中心 H， 连接 OH，连接 AH 并延长交 BC 于点 M，则 AM＝ 4 32－ 4 3 2 2＝6，AH＝2 3AM＝4，∴ OH＝ OA2－AH2＝ 52－42＝3，∴三棱锥 O－ABC 的体积为 V＝1 3 × 3 4 ×(4 3)2×3＝12 3. 二、填空题 13．设一正方体外接球的体积为 V1，内切球的体积为 V2，则V1 V2 ＝________. 【答案】3 3 【解析】设正方体的边长为 1，则外接球半径 r1＝ 3 2 ，内切球半径 r2＝1 2 ，所以V1 V2 ＝ 4 3πr31 4 3πr32 ＝ 3 3. 14．已知平面α，β和直线 m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β. 当满足条件________时，有 m∥β.(填所选条件的序号) 【答案】③⑤ 【解析】根据面面平行的性质定理得，当 m⊂α，α∥β时，m∥β，故满足条件③⑤时，有 m∥β. 15．(2018 年辽宁沈阳三模)如图，将一块边长为 10 cm 的正方形铁片裁下四个全等的等腰 三角形(阴影部分)把余下的部分沿虚线折叠后围成一个正四棱锥，若被裁下阴影部分的总面积 为 20 cm2，则正四棱锥的体积为________cm3. 【答案】32 10 3 【解析】如图，设所截等腰三角形的底边边长为 x cm，由 4×1 2 ×5×x＝20，解得 x＝2. 所得四棱锥的底面边长为 4 2，四棱锥的斜高 EF＝ 25＋1－2 22＝3 2，四棱锥的高为 OE ＝ 3 22－2 22＝ 10，所以该容器的体积 V＝1 3 ×(4 2)2× 10＝32 10 3 . 16．(2018 年甘肃天水一模)四棱锥 P－ABCD 的三视图如图，且四棱锥 P－ABCD 的五个 顶点都在同一个球面上，E，F 分别是棱 AB，CD 的中点，直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2，则该球的表面积为________． 【答案】12π 【解析】将三视图还原为直观图如图中四棱锥 P－ABCD，可得四棱锥 P－ABCD 的五个 顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．设外接球的球心为 O，则 O 也是正方体的中心，设 EF 的中点为 G，连接 OG，OA，AG.∵直线 EF 被球面所截得的线段 长为 2 2，即正方体面对角线长也是 2 2，∴AG＝ 2＝ 2 2 a，得 a＝2.在 Rt△OGA 中，OG＝1 2a ＝1，AG＝ 2，则 AO＝ 3，即外接球半径 R＝ 3，∴所求外接球的表面积为 4πR2＝12π.