【数学】2021届一轮复习人教版(文)第6章第2节 等差数列及其前n项和学案

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【数学】2021届一轮复习人教版(文)第6章第2节 等差数列及其前n项和学案

第二节 等差数列及其前n项和 ‎[最新考纲] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.‎ ‎1.等差数列的有关概念 ‎(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.用符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).‎ ‎(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫做a,b的等差中项.‎ ‎2.等差数列的通项公式与前n项和公式 ‎(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.‎ ‎(2)前n项和公式:Sn=na1+=.‎ ‎3.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 ‎(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d≠0时,an是关于n的一次函数;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.数列{an}是等差数列⇔an=pn+q(p,q为常数).‎ ‎(2)Sn=na1+d=n2+n,‎ 当d≠0时,Sn是关于n的二次函数(缺少常数项),‎ 数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).‎ ‎4.等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).‎ ‎(2)已知{an}是等差数列,若k+l=m+n,则ak+al=am+an;若2k=p+q ‎,则ap+aq=2ak,其中k,l,m,n,p,q∈N*.‎ ‎(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}和{a2n+1}也是等差数列,公差为2d.‎ ‎(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.‎ ‎(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.‎ ‎(6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.‎ ‎1.等差数列前n项和的最值 在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn有最大值,即所有正项之和最大,若a1<0,d>0,则Sn有最小值,即所有负项之和最小.‎ ‎2.两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则有=.‎ ‎3.等差数列{an}的前n项和为Sn,则数列也是等差数列.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列. (  )‎ ‎(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. (  )‎ ‎(3)已知等差数列{an}的通项公式为an=3-2n,则它的公差为-2. (  )‎ ‎(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. (  )‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×‎ 二、教材改编 ‎1.等差数列11,8,5,…中,-49是它的(  )‎ A.第19项        B.第20项 C.第21项 D.第22项 C [由题意知an=11+(n-1)×(-3)=-3n+14,令-3n+14=-49得n=21,故选C.]‎ ‎2.在等差数列{an}中a1=14.5,d=0.7,an=32,则Sn=(  )‎ A.600 B.603.5‎ C.604.5 D.602.5‎ C [由an=a1+(n-1)d得32=14.5+0.7(n-1),‎ 解得n=26,所以S26==13(14.5+32)=604.5.]‎ ‎3.小于20的所有正奇数的和为 .‎ ‎100 [小于20的正奇数组成首项为1,末项为19的等差数列,共有10项,因此它们的和S10==100.]‎ ‎4.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8= .‎ ‎180 [由a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450得 a5=90.‎ 所以a2+a8=2a5=180.]‎ 考点1 等差数列的基本运算 ‎ (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.‎ ‎(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.‎ ‎ (1)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则(  )‎ A.an=2n-5      B.an=3n-10‎ C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n ‎(2)(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则= .‎ ‎(1)A (2)4 [(1)设数列{an}的公差为d,由题意得 解得 所以an=-3+2(n-1)=2n-5,‎ Sn=n×(-3)+×2=n2-4n,故选A.‎ ‎(2)由a1≠0,a2=3a1,可得d=2a1.‎ 所以S5=5a1+d=25a1,‎ S10=10a1+d=100a1,‎ 所以=4.]‎ ‎(3)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.‎ ‎①若a3=4,求{an}的通项公式;‎ ‎②若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.‎ ‎[解] ①设{an}的公差为d.‎ 由S9=-a5得a1+4d=0.‎ 由a3=4得a1+2d=4.‎ 于是a1=8,d=-2.‎ 因此{an}的通项公式为an=10-2n.‎ ‎②由①得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.‎ 由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.‎ 所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N*}.‎ ‎ a1和d是等差数列的两个基本量,求出a1和d进而解决问题,是常用的方法之一.‎ ‎ 1.(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(  )‎ A.-12   B.-10 C.10   D.12‎ B [法一:设等差数列{an}的公差为d,∵3S3=S2+S4,∴3=2a1+d+4a1+d,解得d=-a1,∵a1=2,∴d=-3,‎ ‎∴a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.故选B.‎ 法二:设等差数列{an}的公差为d,∵3S3=S2+S4,∴3S3=S3-a3+S3+a4,‎ ‎∴S3=a4-a3,∴3a1+d=d.∵a1=2,∴d=-3,∴a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.故选B.]‎ ‎2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=4,S4=22,an=28,则n=(  )‎ A.3    B.7 C.9    D.10‎ D [因为S4=a1+a2+a3+a4=4a2+2d=22,d==3,a1=a2-d=4-3=1,an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2,由3n-2=28,解得n=10.]‎ 考点2 等差数列的判定与证明 ‎ 等差数列的判定与证明的方法 方法 解读 适合题型 定义法 对于任意自然数n(n≥2),an-an-1(n≥2,n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中证明问题 等差中项法 ‎2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项公式法 an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前n项和公式法 验证Sn=An2+Bn(A,B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 ‎ 已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).‎ ‎(1)求证:数列{bn}是等差数列;‎ ‎(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.‎ ‎[解] (1)证明:因为an=2-(n≥2,n∈N*),bn=(n∈N*),‎ 所以bn+1-bn=- ‎=- ‎=-=1.‎ 又b1==-.‎ 所以数列{bn}是以-为首项,1为公差的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知bn=n-,‎ 则an=1+=1+.‎ 设f(x)=1+,‎ 则f(x)在区间和上为减函数.‎ 所以当n=3时,an取得最小值-1,‎ 当n=4时,an取得最大值3.‎ ‎[母题探究]‎ 本例中,若将条件变为a1=,nan+1=(n+1)an+n(n+1),试求数列{an}的通项公式.‎ ‎[解] 由已知可得 =+1,‎ 即-=1,又a1=,‎ ‎∴是以=为首项,1为公差的等差数列,‎ ‎∴=+(n-1)·1=n-,‎ ‎∴an=n2-n.‎ ‎ 求数列的最大项和最小项,实际就是求函数的最值问题,可借助函数的图象及函数的单调性求解.‎ ‎[教师备选例题]‎ 已知Sn是等差数列{an}的前n项和,S2=2,S3=-6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn;‎ ‎(2)是否存在正整数n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列?若存在,求出n;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解] (1)设数列{an}的公差为d,‎ 则 ‎∴∴an=4-6(n-1)=10-6n,‎ Sn=na1+d=7n-3n2.‎ ‎(2)由(1)知Sn+Sn+3=7n-3n2+7(n+3)-3(n+3)2‎ ‎=-6n2-4n-6,‎ ‎2(Sn+2+2n)=2(-3n2-5n+2+2n)=-6n2-6n+4,‎ 若存在正整数n使得Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列,‎ 则-6n2-4n-6=-6n2-6n+4,解得n=5,‎ ‎∴存在n=5,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列.‎ ‎ 1.数列{an}满足a1=1,an+1=,则数列的通项公式an= .‎  [由an+1=得=,‎ 即-=2.‎ 又=1,因此数列是首项为1,公差为2的等差数列,所以=1+2(n-1)=2n-1,‎ 所以an=.]‎ ‎2.在数列{an}中,a1=2,an是1与anan+1的等差中项.‎ 求证:数列是等差数列,并求{an}的通项公式.‎ ‎[证明] 由题意知2an=1+anan+1,‎ ‎∴- ‎== ‎==1.‎ 又a1=2,=1,‎ ‎∴数列是首项为1,公差为1的等差数列.‎ 考点3 等差数列性质的应用(多维探究)‎ ‎ 利用等差数列的性质解题的两个关注点 ‎(1)两项和的转换是最常用的性质,利用2am=am-n+am+n可实现项的合并与拆分,在Sn=中,Sn与a1+an可相互转化.‎ ‎(2)利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,可求S2m或S3m.‎ ‎ 等差数列项的性质 ‎(1)已知在等差数列{an}中,a5+a6=4,则log2=(  )‎ A.10    B.20    C.40    D.2+log25‎ ‎(2)已知数列{an}是等差数列,若a9=4,a5+a6+a7=6,则S14=(  )‎ A.84 B.70 C.49 D.42‎ 一般地am+an≠am+n,等号左右两边必须是两项相加,当然也可以是am-n+am+n=2am.‎ ‎ 等差数列前n项和的性质 ‎ (1)(2019·莆田模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5=7,S10=21,则S15等于(  )‎ A.35 B.42 C.49 D.63‎ ‎(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 018,-=6,则S2 020= .‎ ‎(1)B (2)2 020 [(1)由题意知,S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,‎ 即7,14,S15-21成等差数列,‎ ‎∴S15-21+7=28,‎ ‎∴S15=42,故选B.‎ ‎(2)由等差数列的性质可得也为等差数列,‎ 设其公差为d,则-=6d=6,‎ ‎∴d=1,‎ ‎∴=+2 019d=-2 018+2 019=1,‎ ‎∴S2 020=2 020.]‎ ‎ 本例T(2),也可以根据条件先求出a1,d,再求结果,但运算量大,易出错.‎ ‎ 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于(  )‎ A.63 B.45 C.36 D.27‎ B [由题意知,S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,‎ 即9,27,S9-S6成等差数列.‎ ‎∴S9-S6=45,即a7+a8+a9=45.]‎ ‎2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若am=10,S2m-1=110,则m= .‎ ‎6 [S2m-1===110,解得m=6.]‎ ‎3.等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若=,则= .‎  [=== ‎===.]‎ 考点4 等差数列的前n项和及其最值 ‎ 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 ‎(1)二次函数法 利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.‎ ‎(2)通项变号法 ‎①a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;‎ ‎②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.‎ ‎ (1)[一题多解]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ C [法一(通项变号法):由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a7>0,a8<0,故n=7时,Sn最大.‎ 法二(二次函数法):由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根据二次函数的性质,知当n=7时Sn最大.‎ 法三(图象法):根据a1=13,S3=S11,知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数,以及二次函数图象的对称性,可得只有当n==7时,Sn取得最大值.]‎ ‎(2)已知等差数列{an}的前三项和为-3,前三项的积为8.‎ ‎①求等差数列{an}的通项公式;‎ ‎②若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和Tn.‎ ‎[解] ①设等差数列{an}的公差为d,‎ 则a2=a1+d,a3=a1+2d.‎ 由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得 an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.‎ 故an=-3n+5或an=3n-7.‎ ‎②当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;‎ 当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.‎ 故|an|=|3n-7|= 记数列{3n-7}的前n项和为Sn,‎ 则Sn==n2-n.‎ 当n≤2时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-n2+n,‎ 当n≥3时,Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+an)=Sn-2S2=n2-n+10,‎ 综上知:Tn=n∈N*.‎ ‎ 当公差d≠0时,等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数,故在对称轴处Sn有最值,当对称轴不是正整数时,离对称轴最近的n值使Sn取得最值.‎ ‎[教师备选例题]‎ 在等差数列{an}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使Sn达到最大值的n是(  )‎ A.21   B.20   C.19   D.18‎ B [因为a1+a3+a5=3a3=105,a2+a4+a6=3a4=99,所以a3=35,a4=33,所以d=-2,a1=39.由an=a1+(n-1)d=39-2(n-1)=41-2n≥0,解得n≤,所以当n=20时Sn达到最大值,故选B.]‎ ‎ 1.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|= .‎ ‎130 [由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-10≥0得n≥5,所以n≤5时,an≤0,当n>5时,an>0,所以|a1‎ ‎|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4+a5)+(a6+…+a15)=S15-2S5=130.]‎ ‎2.(2019·北京高考)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.‎ ‎[解] (1)设{an}的公差为d.‎ 因为a1=-10,‎ 所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.‎ 因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,‎ 所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).‎ 所以(-2+2d)2=d(-4+3d).‎ 解得d=2.‎ 所以an=a1+(n-1)d=2n-12.‎ ‎(2)由(1)知,an=2n-12.‎ 则当n≥7时,an>0;当n≤6时,an≤0.‎ 所以Sn的最小值为S5=S6=-30.‎
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