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文档介绍
【数学】2019届一轮复习人教A版第8章立体几何初步第2课时直线与平面的位置学案
第2课时 直线与平面的位置 关系(1) (对应学生用书(文)109 110页、(理)111 112页) 了解直线与平面的位置关系，了解线面平行的有关概念；除了能熟练运用线面平行的判定定理和性质定理外，还能运用定义判断位置关系． ① 要熟练掌握线面平行的定义、判定及性质.② 要注意线线关系、线面关系以及面面关系的转化．对于直线与平面所成的角，点到面的距离了解即可． 1. (必修2P35练习2改编)给出下列条件：① l∥α；② l与α至少有一个公共点；③ l与α至多有一个公共点．则能确定直线l在平面α外的条件为________．(填序号) 答案：①③ 解析：直线l在平面α外：l∥α或直线l与平面α仅有一个交点． 2. (必修2P35练习7改编)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系是________． 答案：平行或异面 解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面． 3. (必修2P35练习4改编)在正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的表面中，与A1F1平行的平面是________． 答案：平面ABCDEF、平面CC1D1D 解析：在正六棱柱中，易知A1F1∥AF，AF⊂平面ABCDEF，且A1F1⊄平面ABCDEF，所以A1F1∥平面ABCDEF.同理，A1F1∥C1D1，C1D1⊂平面CC1D1D，且A1F1⊄平面CC1D1D，所以A1F1∥平面CC1D1D.其他各面与A1F1均不满足直线与平面平行的条件．故答案为平面ABCDEF与平面CC1D1D. 4. (原创)P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出下列四个命题： ① OM∥平面PCD；② OM∥平面PBC；③ OM∥平面PDA；④ OM∥平面PBA. 其中正确命题的个数是________． 答案：2 解析：由已知OM∥PD，得OM∥平面PCD且OM∥平面PAD.故正确的只有①③. 5. (必修2P41习题5改编)在四面体ABCD中，点M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________． 答案：平面ABC、平面ABD 解析：如图，连结AM并延长交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，由＝＝，得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC，且MN∥平面ABD. 1. 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种： 位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 2. 直线与平面平行 判定定理 性质定理 文字 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号 图形 作用 线线平行⇒线面平行 线面平行⇒线线平行 , 1 基本概念辨析) , 1) 下列命题中真命题的个数为 Ｗ. ① 直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α； ② 若直线a在平面α外，则a∥α； ③ 若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α； ④ 若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线. 答案：1 解析：∵ 直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴ l不一定平行于α.∴ ①是假命题.∵ 直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴ a和α不一定平行.∴ ②是假命题.∵ 直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴ a不一定平行于α.∴ ③是假命题.∵ a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，∴ a可以与平面α内的无数条直线平行.∴ ④是真命题.综上可知，真命题的个数为1. 下列命题中正确的是 Ｗ.（填序号） ① 若直线a不在平面α内，则a∥α； ② 若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α； ③ 若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行； ④ 若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点； ⑤ 平行于同一平面的两直线可以相交. 答案：④⑤ 解析：如图①，a∩α＝A时，a⊄α，∴ ①错误；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，∴ ②错误；l∥α时，α内的直线与l平行或异面，∴ ③错误；l∥α，l与α无公共点，∴ l与α内任一直线都无公共点，④正确；如图②，长方体ABCDA1B1C1D1中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，∴ ⑤正确. , 2 线面平行的判定) , 2) 如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，点E是PC的中点.求证：PA∥平面BDE. 证明：如图，连结AC交BD于点O，连结OE. 在平行四边形ABCD中，O是AC的中点，又E是PC的中点， ∴ OE∥PA. ∵ PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE， ∴ PA∥平面BDE. 变式训练 如图，在三棱柱A1B1C1ABC中， E，F分别是A1B，AC1的中点.求证：EF∥平面ABC. 证明：如图，连结A1C，因为三棱柱A1B1C1ABC中，四边形AA1C1C是平行四边形，所以点F在A1C上，且为A1C的中点. 在△A1BC中，因为E，F分别是A1B，A1C的中点， 所以EF∥BC. 因为BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点.求证：AP∥平面C1MN. 证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中， 因为点M，P分别为棱AB，C1D1的中点，所以AM＝PC1. 又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1， 所以四边形AMC1P为平行四边形.从而AP∥C1M. 又AP⊄ 平面C1MN，C1M⊂平面C1MN， 所以AP∥平面C1MN. , 3 线面平行的性质) , 3) 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝4，M是棱CC1上的一点.若点N是AB的中点，且CN∥平面AB1M，求CM的长. 解：（解法1）如图①，取AB1的中点P，连结NP，PM. ① 因为点N是AB的中点，所以NP∥BB1. 因为CM∥BB1，所以NP∥CM，所以NP与CM共面. 因为CN∥平面AB1M，平面CNPM∩平面AB1M＝MP，所以CN∥MP. 所以四边形CNPM为平行四边形，所以CM＝NP＝CC1＝2. （解法2）如图②，设NC与CC1确定的平面交AB1于点P，连结NP，PM. ② 因为CN∥平面AB1M，CN⊂平面CNPM，平面AB1M∩平面CNPM＝PM，所以CN∥MP. 因为BB1∥CM，BB1⊄平面CNPM，CM⊂平面CNPM，所以BB1∥平面CNPM. 又BB1⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面CNPM＝NP， 所以BB1∥NP，所以CM∥NP，所以四边形CNPM为平行四边形. 因为点N是AB的中点，所以CM＝NP＝BB1＝CC1＝2. （解法3）如图③，取BB1的中点Q，连结NQ，CQ. ③ 因为点N是AB的中点，所以NQ∥AB1. 因为NQ⊄平面AB1M，AB1⊂平面AB1M， 所以NQ∥平面AB1M. 因为CN∥平面AB1M，NQ∩NC＝N，NQ，NC⊂平面NQC， 所以平面NQC∥平面AB1M. 因为平面BCC1B1∩平面NQC＝QC，平面BCC1B1∩平面AB1M＝MB1，所以CQ∥MB1. 因为BB1∥CC1，所以四边形CQB1M是平行四边形， 所以CM＝B1Q＝CC1＝2. （解法4）如图④，分别延长BC，B1M，设交点为S，连结AS. ④ 因为CN∥平面AB1M，CN⊂平面ABS， 平面ABS∩平面AB1M＝AS，所以CN∥AS. 由于AN＝NB，所以BC＝CS. 又CM∥BB1，同理可得SM＝MB1， 所以CM＝BB1＝CC1＝2. 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1.求证：点E是AB的中点. 证明：连结BC1，因为OE∥平面BCC1B1， OE⊂平面ABC1，平面BCC1B1∩平面ABC1＝BC1，所以OE∥BC1. 在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C是平行四边形，AC1∩A1C＝O， 所以点O是AC1的中点， 所以＝＝1，即点E是AB的中点. 1. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AC，点M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点.求证：A1N∥平面AMP. 证明：取C1B1的中点D，连结A1D，DN，DM，B1C.由于点D，M分别为C1B1，CB的中点，所以DM∥CC1且DM＝CC1，故DM∥AA1且DM＝AA1，则四边形A1AMD为平行四边形，所以A1D∥AM.又A1D⊄平面APM，AM⊂平面APM，所以A1D∥平面APM.由于D，N分别为C1B1，CC1的中点，所以DN∥B1C. 又点P，M分别为BB1，CB的中点，所以MP∥B1C. 所以DN∥MP. 又DN⊄平面APM，MP⊂平面APM， 所以DN∥平面APM. 由于A1D∩DN＝D，所以平面A1DN∥平面APM. 由于A1N⊂平面A1DN，所以A1N∥平面APM. 2. 如图，在四棱锥EABCD中，四边形ABCD为矩形，点M，N分别是AE，CD的中点.求证：直线MN∥平面EBC. 证明：取BE中点F，连结CF，MF. 因为点M是AE的中点，所以MF綊AB. 又点N是矩形ABCD边CD的中点，所以NC綊AB，所以MF綊NC， 所以四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF. 又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，所以MN∥平面EBC. 3. 如图，在正三棱柱ABCA′B′C′中，D是AA′上的点，点E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明. 解：点D为AA′的中点. 证明如下：如图，取BC的中点F，连结AF，EF， 设EF与BC′交于点O，连结DO，BE，C′F， 在正三棱柱ABCA′B′C′中，点E是B′C′的中点，所以 EF∥BB′∥AA′，且EF＝BB′＝AA′， 所以四边形A′EFA是平行四边形. 因为A′E∥平面DBC′，A′E⊂平面A′EFA，且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO， 所以A′E∥DO. 在正三棱柱ABC－A′B′C′中，点E是B′C′的中点， 所以EC′∥BC且EC′＝BF，所以四边形BFC′E是平行四边形，所以点O是EF的中点. 因为在平行四边形A′EFA中， A′E∥DO， 所以点D为AA′的中点. 4. 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点.求证：BE∥平面ACD1. 证明：如图，连结B1D1交A1C1于点E，连结BD交AC于点O，连结OD1. ∵ 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形， ∴ D1E∥BO且D1E＝BO， ∴ 四边形BED1O是平行四边形， ∴ BE∥OD1. ∵ OD1⊂平面ACD1，BE⊄平面ACD1， ∴ BE∥平面ACD1. 5. 如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD＝2AB＝2BC，点M，N分别是棱PA，CD的中点.求证：PC∥平面BMN. 证明：设AC∩BN＝O，连结MO，AN. 因为AB＝CD，AB∥CD，点N为CD的中点， 所以AB＝CN，AB∥CN， 所以四边形ABCN为平行四边形， 所以O为AC的中点. 又点M为PA的中点，所以MO∥PC. 因为MO⊂平面BMN，PC⊄ 平面BMN， 所以PC∥平面BMN. 1. 如图，在三棱锥PABC中，点M，N分别为AB，PA的中点.求证：PB∥平面MNC. 证明：因为点M，N分别为AB，PA的中点， 所以MN∥PB. 因为MN⊂平面MNC，PB⊄ 平面MNC， 所以PB∥平面MNC. 2. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D是AB的中点.求证：BC1∥ 平面A1CD. 证明：连结AC1，设交A1C于点O，连结OD. ∵ 四边形AA1C1C是矩形，∴ O是AC1的中点. ∵ 在△ABC1中， O，D分别是AC1，AB的中点， ∴ OD∥BC1. ∵ OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD， ∴ BC1∥平面A1CD. 3. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点P∈BB1（P不与B，B1重合）.PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N. 求证：MN∥平面ABCD. 证明：连结AC，A1C1， 在长方体ABCDA1B1C1D1中， AA1∥CC1，且AA1＝CC1， ∴ 四边形ACC1A1是平行四边形. ∴ AC∥A1C1. ∵ AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂ 平面A1BC1， ∴ AC∥平面A1BC1. ∵ AC⊂平面PAC，平面A1BC1∩ 平面PAC＝MN， ∴ AC∥MN. ∵ MN⊄平面ABCD， AC⊂平面ABCD， ∴ MN∥平面ABCD. 1. 判定或证明直线与平面平行的常用方法 （1） 利用直线与平面平行的定义（无公共点）. （2） 利用直线与平面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）. （3） 利用平面与平面平行的性质（α∥β，a⊂α⇒a∥β）. 注意不管用哪种方法，都应将相应的条件写全，缺一不可. 2. 直线与平面平行的性质定理的作用是证线线平行，应用时常常需构造辅助平面，和在平面几何中添加辅助线一样，在构造辅助平面时要确认这个平面的存在性. 3. 证明平行问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间的平行关系，实现“空间问题”与“平面问题”之间的转化. 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