北京市东城区10-11学年高二数学下学期期末考试 理 新人教A版

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北京市东城区（南片）2010-2011学年下学期高二年级期末统一测试数学试卷（理科）‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题，共36分）‎ 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎ 1. 已知复数，，那么在复平面上对应的点位于 ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎ 2. 的值为 ‎ A. 32 B. ‎31 ‎ C. 30 D. 29‎ ‎ 3. 已知，，那么等于 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 4. 动点（为参数）的轨迹方程是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 5. 图中由函数的图象与轴围成的阴影部分面积，用定积分可表示为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎ 6. 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是 ‎ A. ③④ B. ①② C. ②③ D. ②④‎ ‎ 7. 一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有 ‎ A. 6 种 B. 12种 C. 36种 D. 72种 ‎ 8. 若，，则的周期为。类比可推出：设且，则的周期是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 9. 设函数是可导的函数，若满足，则必有 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共64分）‎ 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。）‎ ‎ 10. 由数字1，2，3，4组成没有重复数字的4位数，其中奇数共有____________个。‎ ‎ 11. 已知，经计算得，，，，，推测当时，有_____________。‎ ‎ 12. 随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎ 且，则_________；____________。‎ ‎ 13. 若，，则____________；___________。（其中是极点）‎ ‎ 14. 有甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为（单位：），其分布如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0.1‎ ‎0.8‎ ‎0.1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎ 则两种品牌中质量好的是____________。（填甲或乙）‎ ‎ 15. 曲线与轴的交点的切线方程为_______________。‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）‎ ‎ 16. （本小题满分8分）‎ ‎ 已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程（其中为参数）。‎ ‎ （Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）将圆的参数方程化为普通方程；‎ ‎（Ⅲ）求圆上的点到直线的距离的最小值。‎ ‎ 17. （本小题满分7分）‎ ‎ 有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上的数字记作，然后放回，再抽取一张，将其上的数字记作，令。‎ ‎ （Ⅰ）求所取各值的概率；‎ ‎（Ⅱ）求的分布列，并求出的数学期望值。‎ ‎ 18. （本小题满分8分）‎ ‎ 利用展开式 回答下列问题：‎ ‎ （Ⅰ）求的展开式中的系数；‎ ‎（Ⅱ）通过给以适当的值，将下式化简：；‎ ‎（Ⅲ）把（Ⅱ）中化简后的结果作为，求的值。‎ ‎ 19. （本小题满分8分）‎ ‎ 数列满足。‎ ‎ （Ⅰ）计算，并由此猜想通项公式；‎ ‎（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想。‎ ‎ 20. （本小题满分9分）‎ ‎ 已知函数。‎ ‎ （Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）求的极大值；‎ ‎（Ⅲ）求证：对于任意，函数在上恒成立。‎ ‎【试题答案】‎ 第Ⅰ卷（选择题，共36分）‎ 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ 题目 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 答案 A C B B D A B C A 第Ⅱ卷（非选择题，共64分）‎ 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。）‎ ‎ 10. 12 11. 12. ；2 ‎ ‎13. ，8 14. 甲 15. ‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）‎ ‎ 16. （本小题满分8分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）极点为直角坐标原点，，‎ ‎ 所以，可化为直角坐标方程：。 ……3分 ‎（Ⅱ）将圆的参数方程化为普通方程：。 ……………6分 ‎（Ⅲ）因为圆心为，‎ ‎ 所以点到直线的距离为，‎ ‎ 所以圆上的点到直线距离的最小值为。 ………………………8分 ‎ 17. （本小题满分7分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）；；‎ ‎；。 ………………………4分 ‎（Ⅱ）的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ 所以的数学期望为。…………………7分 ‎ 18. （本小题满分8分）‎ 解：（Ⅰ）因为 ‎ 所以，即的展开式中的系数为3360。………3分 ‎（Ⅱ）令，，得 ‎。 ………………………6分 ‎（Ⅲ）。 ………………………………………8分 ‎ 19. （本小题满分8分）‎ 解：（Ⅰ）当时，，所以。‎ 当时，，所以。‎ 同理：，。‎ 由此猜想 …………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）证明：①当时，左边，右边，结论成立。‎ ‎ ②假设时，结论成立，即，‎ ‎ 那么时，，‎ ‎ 所以，所以，‎ ‎ 这表明时，结论成立。‎ ‎ 由①②知对一切猜想成立。 ……………………………8分 ‎ 20. （本小题满分9分）‎ ‎ 解：定义域为，且 ‎（Ⅰ）当时，，令，‎ 解得或。故函数在，上单调递增。 …………2分 ‎（Ⅱ）令，即，‎ 当时，上式化为恒成立。故在上单调递增，无极值；‎ 当时，解得或。故在，上单调递增，在上单调递减。‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 ‎ 故在处有极大值。‎ ‎ 当时，解得或。故在，上单调递增，在上单调递减；‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 故在处有极大值。 ………………………7分 ‎（Ⅲ）证明：当时，由（2）可知在，上单调递增，在上单调递减。‎ 故在上的最大值为。‎ 要证函数在上恒成立 只要证在上的最大值即可。‎ 即证恒成立。‎ 因为，故。‎ 由此可知，对任意，在上恒成立。 ………………………9分 ‎ ‎