江苏省海安高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含答案

江苏省海安高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含答案

‎2019-2020学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知向量，若，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4.函数的图象可能是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ）‎ ‎ A．a < b < c B．a < c < b C．b < a < c D．c < b < a ‎ ‎6.若正数满足，则的最小值为（ ）‎ A．3 B．‎6 ‎C．5 D．10‎ ‎7.“”是“，”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎8.数列，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数的前项和为，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.椭圆与双曲线在第一象限的交点为T，、为公共的左右焦点，且,若它们的离心率分别为则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.设集合，如果命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.给出下列四个说法：‎ ‎①命题“，都有”的否定是“，使得”；‎ ‎②已知，命题“若，则”的逆否命题是真命题；‎ ‎③是的必要不充分条件；‎ ‎④若为函数的零点，则.‎ 其中正确的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.设首项为1的数列的前n项和为，且，若，则正整数m的最小值为（ ）‎ A. 15 B. ‎16 ‎C. 17 D. 14‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13.设则的最小值为 ▲ ．‎ ‎14.已知等差数列中，前m项（m为奇数）和为77，其中偶数项之和为33，且，则数列 通项公式为 ▲ ．‎ ‎15.若抛物线的顶点是抛物线上到点的距离最近的点，则实数a的取值范围是 ▲ .‎ ‎16.不等式的解集为 ▲ ．‎ 三．解答题（本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ M ‎（第17题）‎ ‎ 如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点．‎ ‎ 求证：（1）平面；‎ ‎ （2）平面平面．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分10分）‎ 在中，角为钝角，，，.‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）求边的长. ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台16200元，第一年每台设备的维修保养费用为1100元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益8100元．‎ ‎（1）每台充电桩第几年开始获利？‎ ‎（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，且.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过点作直线，分别交抛物线于两点，若直线的倾斜角互补，‎ 求直线的斜率.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知正项数列的前项和满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎（3）是否存在实数使得对恒成立，若存在，求实数的取值范围，‎ 若不存在说明理由. ‎ ‎ ‎ 22. ‎（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左右焦点分别为,焦距为2， ‎ 一条准线方程为. P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若点P的坐标为(0,b),求过点三点的圆的方程;‎ ‎(3)若且,求的最大值.‎ ‎2019～2020高二数学期中检测 一、 选择题 ‎1. D ‎2. B ‎ ‎3． A ‎ ‎4． C ‎ ‎5. B ‎ ‎6． B ‎ ‎7. A ‎ ‎8． B ‎ ‎9. D ‎10.C ‎ ‎11. C ‎ ‎12. A ‎ 二、填空题：‎ ‎13. 8 ．‎ ‎14. -3n+23.‎ 15. ‎ .‎ ‎16. ．‎ 二．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．‎ ‎ 证明：（1）在三棱柱中，， …… 2分 ‎ 又平面，平面，‎ ‎ 所以平面． …… 5分 ‎ （2）在直三棱柱中，平面，‎ ‎ 又平面，所以． …… 6分 ‎ 因为，所以．‎ ‎ 又因为点为棱的中点，所以． …… 7分 ‎ 又，平面，‎ ‎ 所以平面． …… 8分 ‎ 又平面，‎ ‎ 所以平面平面． …… 10分 ‎18． ‎ 解：（1）在中，角为钝角，‎ 所以，‎ 所以，， ……2分 又，所以 ……3分 所以 ‎ ……5分 ‎（2）因为，且 ， 所以， ……6分 又，‎ 所以，在中，‎ ‎ ……8分 由正弦定理得，，又 所以 ……10分 ‎19． ‎ 解：（1）每年的维修保养费用是以1100为首项，400为公差的等差数列，设第n年时累计利润为，‎ ‎ …… 2分 ‎ ‎ 开始获利即，∴，即，…… 4分 解得，‎ 所以公司从第3年开始获利； …… 6分 ‎ ‎（2）每台充电桩年平均利润为 ‎ 当且仅当，即时，等号成立． …… 11分 ‎ 即在第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元． …… 12分 ‎ ‎ ‎20．‎ 解：（1）由题意得，‎ 则，， …… 1分 因为，所以，①‎ 因为点在抛物线上，所以，即.②‎ 联立①②得， …… 3分 解得或（舍去），‎ 所以抛物线的标准方程为. …… 4分 ‎（2）由题知直线，的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数 设，，直线 由，‎ 得， …… 6分 ‎ 则，‎ 又点在抛物线上，所以 同理得. …… 8分 ‎ 则，，‎ ‎， …… 10分 ‎ 所以 即直线的斜率为-1. …… 12分 ‎21． ‎ 解：（1）当时， ……1分 当时， ‎ 整理可得：， ……2分 ‎ 是以为首项，为公差的等差数列 ……3分 ‎ ……4分 ‎（2）由（Ⅰ）得 ……6分 ‎ ……8分 ‎（3）由题意得对一切正整数恒成立， ……9分 即对一切正整数恒成立，令 ……10分 由数列的单调性可得，当n=3时有最小值 ……11分 所以. ……12分 ‎ ‎ ‎22.‎ 解:（1）由题意得，解得，所以.‎ 所以椭圆的方程为. ……2分 （2） 因为，所以的方程为x-y+1=0.‎ 由解得或所以Q点的坐标为. ……4分 设过三点的圆的方程为，则 解得 所以圆的方程为 ……6分 ‎ ‎ （3） 设则 因为所以 ……8分 ‎ ‎ 所以，解得 ……10分 ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ……12分 ‎ ‎ 因为，所以当且仅当即时取等号， ……13分 所以.即最大值为. ……14分 ‎ ‎