黑龙江省鹤岗市工农区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

黑龙江省鹤岗市工农区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

鹤岗一中2019～2020学年度上学期期末考试 高二数学（理科）试题 一、单选题 ‎1. “p∨q为假”是“p∧q为假”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】p∨q为假，则p，q皆为假，p∧q为假；p∧q为假，则p，q中至少一个为假，p∨q不一定为假，所以“p∨q为假”是“p∧q为假”的充分不必要条件，选A.‎ ‎2.在上随机地取一个数，则事件“”的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用几何概型的概率求法，转化为事件的区间长度与随机数区间的长度比.‎ ‎【详解】设事件“”的概率为，‎ 则.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查几何概型的概率求法，属于基础题.‎ ‎3.2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择展馆恰为中国馆的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机事件的概率计算完成求解.‎ ‎【详解】可能出现的选择有种，满足条件要求的种数为种，则，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易.古典概型的概率计算公式：（目标事件的数量）（基本事件的总数）.‎ ‎4.下列说法中正确的是（ ）‎ A. “”是“”成立充分不必要条件 B. 命题，则 C. 为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为40‎ D. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为，则回归直线方程为.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对于A，取，时，不能推出，故错误；对于B，命题的否定为，故错误；对于C，为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为，故错误；对于D，因为回归直线的斜率的估计值为1.23，所以回归直线方程可写成，根据回归直线方程过样本点的中心，则，所以回归直线方程为，故正确.‎ 故选D.‎ ‎5.已知离散型随机变量的概率分布如表：则其数学期望等于（ ）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ P ‎0.5‎ m ‎0.2‎ A. 1 B. 0.6 C. D. 2.4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给的分布列，根据分布列中所有的概率之和是1，求出m的值，求期望即可．‎ ‎【详解】∵分布列中出现的所有的概率之和等于1，‎ ‎∴0.5+m+0.2＝1，‎ ‎∴m＝0.3，‎ ‎∴随机变量的数学期望E（ξ）＝1×0.5+3×0.3+5×0.2＝2.4．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查分布列的性质和方差，本题解题的关键是根据分布列的性质做出分布列中未知的字母，本题是一个基础题．‎ ‎6.《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为:公、侯、伯、子、男，共有五级.若给有巨大贡献的人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 先根据古典概型概率公式求出两人被封同一等级的概率,再用对立事件的概率公式可求得.‎ ‎【详解】给有巨大贡献的人进行封爵,总共有种,‎ 其中两人被封同一等级的共有5种,‎ 所以两人被封同一等级的概率为,‎ 所以其对立事件,即两人不被封同一等级的概率为:.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式.属于基础题.‎ ‎7. 的展开式中的系数等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 通项为，当时，系数为.‎ ‎8.从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（　　）‎ A. 24 B. 27 C. 30 D. 36‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两种情况讨论：选0或2，4，分别求出组成无重复数字的三位奇数的个数，再求和即可.‎ ‎【详解】第一类，从0，2，4中选一个数字，若选0，则0只能排在十位，故有个奇数， ‎ 第二类，从0，2，4中选一个数字，若不选0，先把奇数排个位，再排其它，故有个奇数， ‎ 综上可得，从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为个， 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.‎ ‎9.若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为(　　)‎ A. 3×2－2 B. 2－4 C. 3×2－10 D. 2－8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，则P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.‎ ‎10.某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是（ ）‎ A. 24 B. 16 C. 8 D. 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分3步进行分析：①、用捆绑法分析语文与化学，即将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，②、将这个整体与英语全排列，分析排好后的空位数目，③、在3个空位中安排数学、物理，分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，分3步进行分析：‎ ‎①、要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有A22＝2种情况，‎ ‎②、将这个整体与英语全排列，有A22＝2种顺序，排好后，有3个空位，‎ ‎③、数学与物理不相邻，有3个空位可选，有A32=6种情况，‎ 则不同排课法的种数是2×2×6＝24种；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，注意特殊问题如相邻问题与不能相邻问题的处理方法．‎ ‎11.袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，去除后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量的数字期望是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题需要“取到有两种不同颜色的球”，则既有可能是取三次（2白1其他颜色或者2黑1其他颜色），也有可能是取两次（1白1其他颜色或1黑1其他颜色或1红1其他颜色），通过上述计算出它们的概率，再算出它们的期望．‎ ‎【详解】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则的可能取值为，，，‎ 所以，所以随机变量的数字期望是，故选A ‎【点睛】本题考查的是概率以及期望，计算概率时首先要明白题目所给的限制条件，再根据条件得出满足条件的几种可能，再依次计算出概率．‎ ‎12.已知是抛物线的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 直线AB方程为：设，联立直线与抛物线方程可得：，，= ‎ 点睛：考察直线与抛物线的性质综合，通过求出直线联立方程得出韦达定理，而= 将韦达定理代入即可求得结果，本题要注意将问题转化为韦达定理的表达时从而求解 二、填空题 ‎13.抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400＜X＜450)＝0.3，则P(550＜X＜600)＝________.‎ ‎【答案】0.3‎ ‎【解析】‎ ‎∵某校高三学生成绩（总分750分）近似服从正态分布，平均成绩为500分 ∴正态分布曲线的对称轴为 ‎∵‎ ‎∴由下图可以看出.‎ 故答案为.‎ 点睛：本题主要考查正态分布知识的理解和运用.题目所给是服从正态分布，正态分布一般记为，为正态分布的均值，是正态分布是标准差，解题时，主要利用的正态分布的对称性，均值就是对称轴，标准差需要记忆的就是原理.‎ ‎14.的展开式中，的系数是________ .‎ ‎【答案】207‎ ‎【解析】‎ 由题可知：常数1和的五次项可以构成五次项，和的2次项构成5次项，故，所以的系数是252-45=207‎ 点睛：找到5次项形成的由来是解题关键，然后根据二项式定理展开求系数，最后合并同类项得结果 ‎15.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概型的概率计算问题，求出对应时间的比即可．‎ ‎【详解】由于地铁列车每10min一班，则两班列车停靠车站之间时间可用长度为10的线段表示．‎ 而列车在车站停1min，乘客到达站台立即乘上车的时间可用长度为1的线段表示．‎ 如图所示：‎ 则乘客到达站台立即乘上车的概率P 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是求对应时间的比值，属于基础题．‎ ‎16.设为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足，则这样的排列有_______个.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用和值为6，分解为4个非负数的和，最大值为3，最小值为0，列出所有情况即可．‎ ‎【详解】x1、x2、x3、x4为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|＝6，‎ 可得4个数的和为6，共有，0+0+3+3＝6；1+1+1+3＝6；0+1+2+3＝6；1+1+2+2＝6；‎ 所有x1、x2、x3、x4分别为：‎ ‎0+0+3+3＝6；类型有：‎ ‎4，2，3，1；‎ ‎1+1+1+3＝6；类型有：‎ ‎2，3，4，1；‎ ‎4，1，2，3；‎ ‎0+1+2+3＝6；类型有：‎ ‎4，1，3，2；‎ ‎4，2，1，3；‎ ‎3，2，4，1；‎ ‎2，4，3，1；‎ ‎1+1+2+2＝6；类型有：‎ ‎2，4，1，3；‎ ‎3，1，4，2；‎ 共9种．‎ 故答案为9．‎ ‎【点睛】本题考查排列组合的实际应用，考查计数原理的应用，难度比较大．‎ 三、解答题.‎ ‎17.（1）求焦点在轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；‎ ‎（2）求一个焦点为，渐近线方程为的双曲线标准方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆标准方程，由长轴长知；由焦距得到，解出后，代入椭圆方程即可得到结果；‎ ‎（2）设双曲线标准方程，由渐近线斜率可得，由焦点坐标可得，从而求得，代入双曲线方程可得到结果.‎ ‎【详解】（1）设椭圆标准方程为：‎ 由长轴长知： ‎ 由焦距知： ，解得：‎ 椭圆标准方程为：‎ ‎（2）双曲线焦点在轴上 可设双曲线标准方程为 双曲线渐近线方程为： ‎ 又焦点为 ，解得： ‎ 双曲线标准方程为：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程、双曲线方程的求解，椭圆和双曲线的简单几何性质的应用，属于基础题.‎ ‎18.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.‎ ‎(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;‎ ‎(2)若新产品研发成功,预计企业可获得万元,若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1)(2)详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析:(1)首先设出至少有一种新产品研发成功为事件A,包含情况较多,所以要求该事件的概率,考虑求其对立事件,即没有一种新产品研发成功,根据独立试验同时发生的概率计算方法即可求的对立事件的概率,再利用互为对立事件概率之间的关系,即和为,即可求的相应的概率.‎ ‎(2)根据题意,研发新产品的结果分为四种情况,利用独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率,再根据题意算出此时的利润,即可得到关于利润的分布列,再利用概率与对应的利润成绩之和即可得到数学期望.‎ ‎(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件为新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,则,再根据对立事件概率之间的概率公式可得,所以至少一种产品研发成功的概率为.‎ ‎(2)由题可得设该企业可获得利润为,则的取值有,,,,即,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:‎ ‎;;‎ ‎;;‎ 所以的分布列如下:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则数学期望.‎ 考点：分布列 数学期望 概率 ‎19.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C的普通方程 ‎ ‎（2）若直线l与曲线C交于AB两点，求|AB|．‎ ‎【答案】(1) （x﹣1）2+（y﹣2）2＝16 (2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．‎ ‎【详解】（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），整理得（x﹣1）2+（y﹣2）2＝16，‎ ‎（2）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程得．‎ 所以，t1•t2＝﹣15（t1和t2为A、B对应的参数），‎ 则：|AB|．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎20.某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.‎ ‎（1）求图中x的值；‎ ‎（2）求这组数据的平均数和中位数；‎ ‎（3）已知满意度评分值在内男生数与女生数3:2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.‎ ‎【答案】（1）0.02（2）平均数77，中位数（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图的性质列方程能求出x．‎ ‎（2）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数和中位数．‎ ‎（3）满意度评分值在[50，60）内有5人，其中男生3人，女生2人，记“满意度评分值为[50，60）的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A，利用古典概型能求出2人均为男生的概率．‎ ‎【详解】（1）由，解得.‎ ‎（2）这组数据的平均数为.中位数设为m，则，解得.‎ ‎（3）满意度评分值在内有人，‎ 其中男生3人，女生2人.记为 记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A 则总基本事件个数为 10个，A包含的基本事件个数为 3个，‎ 利用古典概型概率公式可知.‎ ‎【点睛】本题考查频率平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎21.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若，是曲线上两点，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将首先化为普通方程，再化为极坐标方程，代入点可求得，整理可得所求的极坐标方程；（2）将代入方程，从而将代入整理可得结果.‎ ‎【详解】（1）将的参数方程化为普通方程得：‎ 由，得的极坐标方程为： ‎ 将点代入中得：，解得：‎ 代入的极坐标方程整理可得：‎ 的极坐标方程为：‎ ‎（2）将点，代入曲线的极坐标方程得：‎ ‎，‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程的求解、极坐标中的几何意义的应用，关键是根据几何意义将所求的变为，从而使问题得以求解.‎ ‎22.已知椭圆的离心率为，焦点分别为，点P是椭圆C上的点，面积的最大值是2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆C交于M，N两点，点D是椭圆C上的点，O是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意得到的方程组，求出的值，即可得出椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，易求出四边形的面积；当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立直线与椭圆方程，结合判别式和韦达定理，可表示出弦长，再求出点到直线的距离，根据和点在曲线上，求出的关系式，‎ 最后根据，即可得出结果.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由解得 得椭圆的方程为. ‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为．‎ 当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程 ‎ ‎ ‎， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点到直线的距离是 ‎ 由得 因为点在曲线上，所以有整理得 ‎ 由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为 ‎ ‎ 由得, 故四边形的面积是定值，其定值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及椭圆中的定值问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，计算量较大，属于常考题型.‎ ‎ ‎ ‎ ‎