2017-2018学年重庆市第四十二中学高二上学期期中考试数学试题 含部分解析

2017-2018学年重庆市第四十二中学高二上学期期中考试数学试题 含部分解析

重庆市第四十二中学校2017—2018学年度上期半期考试 高二数学试题 ‎（考试时间：120分钟；满分：150分；命题人：晏 佳；审题人：龙 浩）‎ 一、单选题（共12题；共60分）‎ ‎1、一个几何体的正视图、侧视图和俯视图形状都相同,大小均相等,则这个几何体不可以是(　　)‎ A、球 B、三棱锥 C、正方体 D、圆柱 ‎2、若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（    ） ‎ A、相交 B、异面 C、平行 D、异面或相交 ‎3、直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是（   ） ‎ A、重合 B、平行 C、垂直 D、相交但不垂直 ‎4、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几 何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）‎ ‎ A、14斛 ‎ B、22斛 ‎ C、36斛 ‎ ‎ D、66斛 ‎5、一个水平放置的图形的斜二测画的直观图是一个底角45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那原面积是( )‎ ‎ A、2+ B、 C、 D、1+‎ ‎ 6、给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题:①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数为(　 　)‎ A、3 B、2 C、1 D、0 ‎ ‎7、如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（    ） ‎ A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 ‎8、直线2x-y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是(　　 )‎ A、x+2y-1=0 B、2x+y-1=0 C、2x+y-5=0 D、x+2y-5=0‎ ‎9、 如图所示,在立体图形DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是(　 　)‎ A、平面ABC⊥平面ABD ‎ B、平面ABD⊥平面BDC C、平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE ‎ D、平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE ‎10、如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,‎ 在平面ADD1A1内与平面D1EF平行的直线(　 　)‎ A、有无数条 　　　 B、有2条 ‎ C、有1条 　　　 D、不存在 ‎11、已知两点M（2，-3）,N（-3，-2）,直线l过点P（1，1）且与线段MN相交，则斜率k的取值范围（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12、三棱锥S﹣ABC,△ABC是直角三角形,其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） ‎ A、64π B、68π C、72π D、100π 二、填空题（共4题；共20分）‎ ‎13、已知点P(a,2)(a<2)到直线x=2的距离为1,则点P到直线x-y+2=0的距离为　　　　. ‎ ‎14、已知圆锥的轴截面面积为4 cm2,底面面积为4π cm2,则其母线长为　　　　. ‎ ‎15、在△ABC中,AB=5,AC=7,∠A=60°,G为重心,过G的平面α与BC平行,AB∩α=M，AC∩α=N，‎ MN=　　　　. ‎ ‎16、如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D为AA1的中点．M、N分别是BB1、CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N． 当M、N运动时，下列结论中正确的是______（填上所有正确命题的序号）． ①平面DMN⊥平面BCC1B1；‎ ‎②三棱锥A1﹣DMN的体积为定值； ③△DMN可能为直角三角形；‎ ‎④平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为 ．‎ 三、解答题（共6题；共70分）‎ ‎17、求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.‎ ‎18、已知一个空间组合体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，请说出该组合体由哪些几何体组成，并且求出该组合体的表面积和体积． ‎ ‎19、设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．‎ ‎(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．‎ ‎． ‎ ‎20、如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点． （1）若平面ABC⊥平面BCC1B1 ,求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1 ． ‎ ‎21.如图，函数f(x)＝x＋的定义域为(0，＋∞)．设点P是函数图像上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M，N.‎ ‎(1)证明：|PM|·|PN|为定值；‎ ‎(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．‎ ‎22、如图，在四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA 底面ABCD，E是SC上的一点。‎ ‎（1）证明：平面EBD 平面SAC。‎ ‎（2）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离。（文科做） ‎ ‎（2）若AB=2，求当SA的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120度，并说明理由。(理科做）‎ ‎ ‎ ‎‎ 重庆市第四十二中学校2017—2018学年度上期半期考试 高二数学答案（高2019级）‎ 一、单选题 ‎1、【答案】D 2、【答案】D 3、【答案】B 4、【答案】B 5、【答案】A ‎6、【答案】C.【解析】①当异面直线l、m满足l⊂α,m⊂β时,α、β也可以相交,故①为假命题.‎ ‎②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l、m平行或异面,故②为假命题.‎ ‎③如图所示,设几何体三侧面分别为α、β、γ.交线l、m、n,若l∥γ,则l∥m,l∥n,‎ 则m∥n,③为真命题.故选C.‎ ‎7、【答案】D 【考点】确定直线位置的几何要素，直线的截距式方程 【解析】【解答】解：∵直线Ax+By+C=0可化为y=﹣ x﹣ ，又AB＜0，BC＜0 ∴AB＞0，∴﹣ ＞0，﹣ ＞0，∴直线过一、二、三象限，不过第四象限．故选：D． 8、【答案】C 解析:由题意可知,直线2x-y+1=0与直线x=1的交点为(1,3),直线2x-y+1=0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补,因此它们的斜率互为相反数,直线2x-y+1=0的斜率为2,故所求直线的斜率为-2,所以所求直线的方程是y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.‎ ‎9、【答案】C 解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,而BE∩DE=E,所以AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面BDE.故选C.‎ ‎10、【答案】A 解析:平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由公理3知必有过该点的公共线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行.‎ ‎11、【答案】B 【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 【解析】解答：由于直线 到直线 的倾斜角从锐角 增大到钝角 ，而直线 ‎ 的斜率 ，直线 的斜率 所以斜率 或 分析：本题主要考查了直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，解决问题的关键是根据直线的运动变化情况结合有关斜率定义分析计算即可.‎ ‎12、【答案】D 【考点】球的体积和表面积，球内接多面体 【解析】【解答】解：如图所示， 直角三角形ABC的外接圆的圆心为AB中点D， 过D作面ABC的垂线，球心O在该垂线上， 过O作球的弦SC的垂线，垂足为E，则E为SC中点， 球半径R=OS= ∵ ，SE=3，∴R=5 棱锥的外接球的表面积为4πR2=100π，故选：D ‎ 二、填空题 ‎13、答案: 解析:由已知2-a=1,解得a=1.所以P(1,2).故点P到直线x-y+2=0的距离为d==. ‎ ‎14、答案:2 cm 解析:设圆锥底面半径为r,高为h,母线长为l.‎ 则由题意知解得 所以母线长l==2(cm).‎ ‎15、答案: 解析:如图所示,在△ABC中,由余弦定理知BC=.‎ ‎∵BC∥α,∴MN∥BC,又G是△ABC的重心,∴MN=2/3 BC=.‎ 16、 ‎【答案】①②④ 【解析】当M、N分别在BB1、CC1上运动时，若满足BM=C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1 ， ∴平面DMN⊥平面BCC1B1 ， ①正确；当M、N分别在BB1、CC1上运动时，△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，∴棱锥N﹣A1DM的体积不变，即三棱锥A1‎ ‎﹣DMN的体积为定值，②正确；若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1 ， 而此时DM，DN的长大于BB1 ， ∴△DMN不可能为直角三角形，③错误； 当M、N分别为BB1 ， CC1中点时，平面DMN与平面ABC所成的角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大，为∠C1BC，等于． ∴平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0， ]，④正确，∴正确的是①②④．故答案为：①②④． ‎ 三、解答题 ‎17、解:直线l1,l2的方程联立得解得即直线l1,l2的交点为(-1,2).由题意得直线l3的斜率k3=,又直线l⊥l3,所以直线l的斜率k=-,则直线l的方程是y-2=-(x+1),即5x+3y-1=0.‎ ‎18、【答案】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是上部为半球体， 下部为圆柱体的组合体； 且半球体与圆柱体的直径都是2， 圆柱体的高是1，； 所以，该几何体的表面积是： S=2π×12+2π×1×1+π×12=5π； 体积是：V=×π×13+π×12×1=． ‎ ‎19、【答案】　(1)3x＋y＝0或x＋y＋2＝0　(2)a≤－1‎ 解析　(1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零．∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.‎ 当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，∴＝a－2，即a＋1＝1.‎ ‎∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.因此直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.‎ ‎(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，‎ ‎∴∴a≤－1.综上可知a的取值范围是a≤－1.‎ ‎20、【答案】证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．       因为平面ABC⊥平面BCC1B1 ， 平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD⊂平面ABC， 所以AD⊥平面BCC1B1 ．                                  因为DC1⊂平面BCC1B1 ， 所以AD⊥DC1 ．                  （2）（证法一） 连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点． 因为D为BC的中点，所以OD∥A1B．                  因为OD⊂平面ADC1 ， A1B⊄平面ADC1 ， 所以A1B∥平面ADC1 ．                               （证法二） 取B1C1的中点D1 ， 连接A1D1 ， DD1 ， D1B．则D1C1BD． 所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B∥C1D． 因为C1D⊂平面ADC1 ， D1B⊄平面ADC1 ， 所以D1B∥平面ADC1 ． 同理可证A1D1∥平面ADC1 ． 因为A1D1⊂平面A1BD1 ， D1B⊂平面A1BD1 ， A1D1∩D1B=D1 ， 所以平面A1BD1∥平面ADC1 ．                         因为A1B⊂平面A1BD1 ， 所以A1B∥平面ADC1 ．        ‎ ‎21、解析　(1)设P(x0，x0＋)(x0>0)，则|PN|＝x0，|PM|＝＝，因此|PM|·|PN|＝1，即|PM|·|PN|为定值．‎ ‎(2)直线PM的方程为y－x0－＝－(x－x0)，即y＝－x＋2x0＋，‎ 解方程组得x＝y＝x0＋.连接OP，‎ S四边形OMPN＝S△NPO＋S△OPM＝|PN||ON|＋|PM||OM|‎ ‎＝x0(x0＋)＋··(x0＋)＝＋(x＋)≥1＋，‎ 当且仅当x0＝，即x0＝1时等号成立，因此四边形OPMN面积的最小值为1＋.‎ ‎22、‎