广东省湛江市第二十一中学2020届高三6月热身考试数学（文）试题

广东省湛江市第二十一中学2020届高三6月热身考试数学（文）试题

湛江市第二十一中学2020届6月月考试题 一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。‎ ‎1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{1，3，5}，则A∩B＝（　　）‎ A．{1，3} B．{1，3，5} C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4，5}‎ ‎2．复数z＝的虚部为（　　）‎ A．﹣i B．﹣ C．i D．‎ ‎3．若直线x+（a﹣1）y+1＝0与直线ax+2y﹣1＝0互相垂直，则实数a＝（　　）‎ A． B． C．﹣1 D．2‎ ‎4.已知函数y＝sin(ωx－)(ω>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则该函数图象是由y＝cos2x的图象经过怎样的变换得到?（ ）‎ A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 ‎ ‎5．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝，S3﹣a1＝，则S4＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题：（ ）‎ ‎①若m∥α，n∥α，则m∥n； ②若n⊥α，m⊥β，m∥n，则α∥β；‎ ‎③若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m∥n； ④若α∥β，m⊂α，m⊥n，则n⊥β．‎ 其中，正确的命题个数是（　　）‎ A．3 B．‎2 ‎C．1 D．0‎ ‎7． 函数 在的图像大致为（ ）‎ ‎8．若，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A.4＋π B. C. D.‎ ‎10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝3，且满足（‎2a﹣c）cosB＝bcosC，则的值为（　　）‎ A．2 B．‎3 ‎C．﹣1 D．﹣3‎ ‎11．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为a（0＜a＜r），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p，则圆周率π的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设F为拋物线C：y2＝4x的焦点，其准线l与x轴的交点为M，过点F且倾斜角为60°的直线交拋物线C于A，B两点，则△AMB的面积为（　　）‎ A． B． C．8 D．4‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知向量，满足：||＝2，||＝3，与夹角为120°，则|＋2|＝ 。‎ ‎14.已知正三棱锥P－ABC，AB＝2，PA＝2，则此三棱锥外接球的半径为 。‎ ‎15．已知函数f（x）＝lnx，f（a）+f（b）＝1，则a+b的最小值为　 　．‎ ‎16.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝absinC，acosB＋bsinA＝c，a＝，则b＝ 。‎ 三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题 ‎17．(本题12分)随机调查某城市80名有子女在读小学的成年人，以研究晚上八点至十点时间段辅导子女作业与性别的关系，得到下面的数据表：‎ ‎　　　　是否辅导 性别 辅导 不辅导 合计 男 ‎25‎ ‎60‎ 女 合计 ‎40‎ ‎80‎ ‎（1）请将表中数据补充完整；‎ ‎（2）用样本的频率估计总体的概率，估计这个城市有子女在读小学的成人女性晚上八点至十点辅导子女作业的概率；‎ ‎（3）根据以上数据，能否有99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导子女作业与性别有关？”．‎ 参考公式：，其中．‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 第18题图 ‎18．(本题12分)如图所示，在中，点在线段上，，，，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断是否为等腰三角形．‎ ‎19．(本题12分)如图所示，梯形中，，平面平面，且四边形为矩形，，，，．‎ 第19题图 ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求点到平面的距离．‎ ‎20．(本题12分)已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为轴，其准线为．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)设直线，对任意的抛物线C上都存在四个点到直线l的距离为，求的取值范围．‎ ‎21．(本题12分)设函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）若存在满足，证明成立．‎ ‎（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．(本题10分)在平面直角坐标内，直线过点，且倾斜角．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为．‎ ‎(1)求圆的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线与圆交于两点，求的值．‎ ‎23．(本题10分)已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）当，时，证明：.‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．A． 2．D．3 B． 4．C ‎ ‎5．解：正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a4＝，S3﹣a1＝，‎ ‎∴，q＞0，且q≠1，解得，‎ ‎∴S4＝＝．故选：D．‎ ‎6．解：已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，‎ ‎①若m∥α，n∥α，则直线m和n可能相交也可能异面，故m∥n错误．‎ ‎②若n⊥α，m⊥β，m∥n，则直线m和n可以看成是平面α和β的法向量，由于m∥n，则α∥β，故正确；‎ ‎③若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m∥n也可能m⊥n，故错误；‎ ‎④若α∥β，m⊂α，m⊥n，没说明直线n的位置，也有可能n∥β，故n⊥β错误．‎ 故选：C．‎ ‎7．A．‎ ‎8．解：∵，‎ ‎∴．故选：B．‎ ‎9.D ‎10．解：∵（2a﹣c）cosB＝bcosC，由正弦定理得：（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC．‎ ‎∴2sinA•cosB﹣sinC•cosB＝sinBcosC，化为：2sinA•cosB＝sinC•cosB+sinBcosC，‎ ‎∴2sinA•cosB＝sin（B+C），‎ ‎∵在△ABC中，sin（B+C）＝sinA，∴2sinA•cosB＝sinA，得： cosB＝，∴B＝．‎ ‎∴＝||•||cosB＝﹣accos＝﹣2×3×＝﹣3，故选：D．‎ ‎11．解：圆形钱币的半径为rcm，面积为S圆＝π•r2；‎ 正方形边长为acm，面积为S正方形＝a2．在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是 p＝＝1﹣，则π＝．故选：A．‎ ‎12．解：拋物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），准线x＝﹣1，所以M（﹣1，0），‎ 过点F且倾斜角为60°的直线方程为：y＝（x﹣1），即x﹣y﹣＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 联立得3x2﹣10x+3＝0，所以x1+x2＝，x1x2＝1，‎ 所以|AB|＝＝2＝，‎ 点M（﹣1，0）到直线x﹣y﹣＝0的距离d＝＝，‎ 所以S△AMB＝|AB|•d＝＝．故选：A．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13． 14.‎ ‎15．解：因为f（x）＝lnx，f（a）+f（b）＝1，所以lna+lnb＝lnab＝1，‎ 故ab＝e，则a+b，当且仅当a＝b时取等号，‎ 故答案为：‎ ‎16．3‎ ‎17．解（1）‎ 辅导 不辅导 合计 男 ‎25‎ ‎35‎ ‎60‎ 女 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 合计 ‎40‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎--------------------------------------------------4分(答任意对２个得2分)‎ ‎（2）在样本中有20位女士，其中有15位辅导孩子作业，其频率为 所以估计成人女士晚上八点至十点辅导孩子作业的概率为；---------7分 ‎（3）---------11分 第18题图 可知有99%的把握认为“‎ 晚上八点至十点时间是否段辅导孩子作业与性别有关” ------------------12分 ‎18． ‎ 解：（1）因为，‎ 所以--------------------2分 在中，由正弦定理得：‎ ‎，即： ‎ 解得．--------------------5分 ‎（2）在中因为，所以 所以--------------------7分 ‎------11分 得，------11分 所以梯形是为等腰梯形．--------------------12分 第19题图 ‎19． 解：（1）‎ 又平面平面，且平面平面，面 面--------------------2分 又平面平面，‎ ‎，--------------------3分 在，，．‎ 在中，，，‎ ‎--------------------5分 又，面 面--------------------6分 ‎(2)由(1)可知为，且，‎ ‎ ‎ 作于，则 由已知平面平面，且平面平面，‎ ‎--------------------8分 在中，，，‎ ‎--------------------10分 设点到平面的距离为，则 ‎，解得：‎ 所以点到平面的距离为--------------------12分 ‎20． 解：(1)由题意可设：，则得，所以----------2分 ‎(2)设与直线平行的直线，要满足题设条件“对任意的抛物线C上都有四个点到直线l的距离为”，则有当与抛物线相切时，点到距离大于4恒成立，‎ 得：---------------------------------------5分 得 点到距离 所以不等式恒成立， ‎ 代入得 整理得：-------------------------------------9分 ‎①得，求得-------------------------------------10分 ‎②得 -------------------------------------11分 所以-------------------------------------12分 ‎21．解：（1）由得 当时，从而得在上单调递增没有极值；-------------------------1分 当时，得；‎ ‎ 得；‎ ‎ 得；‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ 此时有极小值．-------------------------------------4分 ‎（2）由得：，从而得 ‎　　由(1)知当时，从而得在上单调递增，所以此时不成立------5分 可知此时，由于的极小值点为，可设 设 ‎　　　‎ ‎　　　-------------------------------------7分 ‎，仅当时取得“”‎ 所以在为单调递增函数且-------------------------------------9分 当，时有，即 又由，所以-------------------------------------11分 又由(1)知在上单调递减，且，‎ 所以从而得证成立。-------------------------------------12分 ‎22． 解：（1）由得，…………………2分 从而有即：…………………4分 ‎（2）由题意设直线的参数方程为即：…………………5分 代入圆的方程得…………………7分 整理得：‎ ‎，‎ 由且…………………9分 可知…………………10分 ‎23．解：（1）由得 当时，得即：；…………………2分 当时，得即：；…………………4分 ‎（2）由…………………5分 由绝对值不等式得…………………7分 又因为同号，所以…………………8分 由基本不等式得：…………………9分 所以…………………10分