北京市北大附中荣誉班2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题

北京市北大附中荣誉班2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题

‎2018～2019学年北京海淀区北京大学附属中学荣誉班 高一上学期期中数学试卷 ‎1.已知集合，，则_______，‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合中的条件，求出对应的元素即可 ‎【详解】因为，当时，；当时，；当时，‎ 故集合 答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据限定条件求出集合中对应元素，考点较为基础，能读懂题是关键 ‎2.函数的定义域是_______，值域是_______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据表达式分析，应满足，解出范围即可，再根据范围求值域 ‎【详解】，‎ 所以的定义域是，值域是 ‎【点睛】本题考查复合函数的定义域和值域的求解，需注意三种基本形式对应的函数的定义域：分式（分母不为零）、二次根式（二次根式里面的整体大于等于零）、对数（真数大于零）‎ ‎3.已知函数在上是增函数，若，则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据增函数性质去“”即可 ‎【详解】在上是增函数，，根据增函数性质，可得，解得 答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据增函数的性质解不等式，相对简单，解题过程中需注意括号中的式子要满足函数的定义域的问题 ‎4.设函数满足，则的解析式为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用换元法，令，进行换元即可求解 ‎【详解】令，得，则 所以 ‎【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是求解解析式基本方法，需注意的是换元之后新元的取值范围，此题还可采用拼凑法求解 ‎5.为了提高同学们的学习兴趣，学校举办了数学、物理两科竞赛.高一年级(包括衔接班)共260名同学参加比赛，其中两科都取得优秀的有80人，数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人，物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人，则两科均未取得优秀的人数为_______.‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用韦恩图进行求解，设集合，‎ 集合，全集，再根据题意进行求解 ‎【详解】如图所示 设两科均未取得优秀的人数为，则 所以两科均未取得优秀的人数为20人 ‎【点睛】本题考查根据韦恩图求解具体集合元素的个数问题，方法相对简单，关键是能正确表示各集合中元素个数 ‎6.已知实数满足，实数满足，则是的_______.(填写“充分且不必要条件”，“必要且不充分条件”，“充分必要条件”或“既不充分也不必要条件”)‎ ‎【答案】必要且不充分条件 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出和，再根据充分和必要条件进行求解 ‎【详解】由实数满足 由实数满足，即：‎ 判断可知推不出 ，但能推出，‎ 所以是的必要且不充分条件 ‎【点睛】本题考查命题的否定改写及命题间的充分必要条件判断问题，若题目中涉及范围问题的判断，可简单记为：小推大成立，大推小不成立 ‎7.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则_______，_______.‎ ‎【答案】 (1). 0 (2). 0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 表达式为抽象函数，可通过赋值法求解具体的函数值 ‎【详解】当时，得，得，‎ 当时，得，即，又因是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，所以，解得 当时，得 当时，得 所以 答案为：，‎ ‎【点睛】本题考查根据抽象函数求解具体函数值的方法，常用解法为对赋值，通过递推的方式和函数性质来进行求解 ‎8.李老师每天开车上班，10月李老师共加了两次油，每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：‎ 加油时间 加油量(升)‎ 加油时的累计里程(千米)‎ ‎2018年10月1日 ‎12‎ ‎35000‎ ‎2018年10月30日 ‎48‎ ‎35600‎ 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米均耗油量为_______升.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，得出耗油量为‎48升，而这段时间内行驶的里程数35600-35000=600千米，通过计算即可得出答案 ‎【详解】因为第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量‎48升，‎ 而这段时间内行驶里程数35600-35000=600千米，所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为48÷(600÷100)=‎‎8升 答案：8‎ ‎【点睛】本题考查根据题意从表格提取信息的能力，是一道函数应用类题目，从统计图中获取信息是解题关键 ‎9.设全集，，.‎ ‎⑴当时，求.‎ ‎⑵若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出，再根据集合的交集运算进行求解即可 ‎（2）由可判断，再根据子集定义进行求解 ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎（2）由可得，即，解得 ‎【点睛】本题考查集合的混合运算，根据集合的包含关系求解参数问题，集合的混合运算应遵循有括号先算括号原则，对于子集类问题的求解要注意端点处等号取不取得到的问题 ‎10.已知函数，设函数.‎ ‎⑴证明函数在上为增函数.‎ ‎⑵若方程有两个不相等的实根，有一根小于1，且另一根在内，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明详见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用增函数的定义进行求解即可 ‎（2）先表示出的表达式，，根据有一根小于1，且另一根在内，可得，化简求值即可 详解】（1）设，‎ ‎，‎ 函数在上为增函数 ‎（2）‎ 有一根小于1，且另一根在内，故满足，‎ 即，‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性的证明，根据二次函数根的分布情况求解参数问题，属于中档题，二次函数的参数问题一般通过判断已知点在函数图像中的与零点的关系来建立不等式 ‎11.已知函数对一切实数，都有成立，且.‎ ‎⑴求的值.‎ ‎⑵求的解析式.‎ ‎⑶已知，当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2） （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过对抽象函数赋值，可令进行求解 ‎（2）令可消去，再结合（1）中求得的值，进而求得解析式 ‎（3）可采用分离参数法转化成在恒成立问题，再进行求解 ‎【详解】（1）令，可得，又因，解得 ‎（2）令，得，又因，解得 ‎（3）当，，即在上恒成立，当，，所以 ‎【点睛】本题考查抽象函数中具体函数值的求法，抽象函数解析式的求法，根据二次函数在给定区间恒成立问题求参数问题，对于抽象函数的处理常采用赋值法进行求解，二次函数含参恒成立问题一般是通过分离参数进行求解，当然也可以根据判别式法进行求解，视具体情况而定 ‎12.对于两条平行直线、(在下方)和图象有如下操作:将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图象；将图象在直线上方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图象:再将图在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图象；再将图象在直线上方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图象；以此类推…；直到图象上所有点均在、之间(含、上)操作停止，此时称图象为图象关于直线、的“衍生图形”，线段关于直线、的“衍生图形”为折线段.‎ ‎(1)直线型 平面直角坐标系中，设直线，直线 ‎①令图象为的函数图象，则图象的解析式为 ‎②令图像为的函数图象，请你画出和的图象 ‎③若函数的图象与图象有且仅有一个交点，且交点在轴的左侧，那么的取值范围是_______.‎ ‎④请你观察图象并描述其单调性，直接写出结果_______.‎ ‎⑤请你观察图象并判断其奇偶性，直接写出结果_______.‎ ‎⑥图象所对应函数的零点为_______.‎ ‎⑦任取图象中横坐标的点，那么在这个变化范围中所能取到的最高点的坐标为（_______，_______），最低点坐标为（_______，_______）.‎ ‎⑧若直线与图象有2个不同的交点，则的取值范围是_______.‎ ‎⑨根据函数图象，请你写出图象的解析式_______.‎ ‎(2)曲线型 若图象为函数的图象，‎ 平面直角坐标系中，设直线，直线，‎ 则我们可以很容易得到所对应的解析式为.‎ ‎①请画出的图象，记所对应的函数解析式为.‎ ‎②函数的单调增区间为_______，单调减区间为_______.‎ ‎③当时候，函数的最大值为_______，最小值为_______.‎ ‎④若方程有四个不同的实数根，则的取值范围为_______.‎ ‎(3)封闭图形型 平面直角坐标系中,设直线,直线 设图象为四边形,其顶点坐标分别为,,,,四边形关于直线、的“衍生图形”为.‎ ‎①的周长为_______.‎ ‎②若直线平分的周长,则_______.‎ ‎③将沿右上方方向平移个单位,则平移过程中所扫过的面积为_______.‎ ‎【答案】（1）①；②函数图像见解析；③；④的单调递增区间为，，的单调递减区间为，；⑤偶函数；‎ ‎⑥；⑦，；⑧‎ ‎⑨‎ ‎（2）①详图见解析；②增区间和，减区间和 ‎③最大值为12，最小值为0；④‎ ‎（3）①；②；③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过对“衍生图形”概念的理解，需要先定位两条平行直线、，随着平行直线的变化，“衍生图形”最终也会发生相应的变化。‎ 解题过程中抓住两个核心：只要是第奇数次翻折，那么图像就要把位于下面的沿着向上翻折；只要是第偶数次翻折，图像就把位于上面的向下翻折，解题过程只要依据翻折的基本原理，结合函数的基本性质，逐步求解即可 ‎【详解】首先对于（1）直线型 两平行直线为直线，直线 对①，当发生第一次翻折，的图像相当于把轴下方图像沿着轴向上翻折，此时应满足 对②，图像如图所示 对③，，图像恒过，又因与图像有且仅有一个交点，且交点在轴的左侧，如图所示 若只有一个交点，应满足 对④，根据图像，的单调递增区间为，‎ 的单调递减区间为，‎ 对⑤，图像关于轴对称，为偶函数 对⑥，图像对应的零点为：‎ 对⑦，图像在上的最高点的坐标为，最低点的坐标为 对⑧，若直线与图象有2个不同的交点，由图像可知 则 对⑨，观察图像特点为偶函数，当，，当和时，，则 对于（2）曲线型 ‎，所对应的解析式为 对①，图像如图所示 对②，函数的单调增区间为和，单调减区间为和 对③，当时候，函数最大值为，最小值为 对④，④若方程有四个不同的实数根，即等价于与图像有四个交点 如图所示：‎ 要使两函数图像有四个交点，应满足，解得 ‎（3）封闭型曲线，根据题意先画出四边形的“衍生图形”，‎ 对①，的周长为 对②，‎ 要使被直线平分周长，则假设直线与交点，与直线交点为 ‎，则应满足 直线方程为：，直线方程为：‎ 联立直线得，‎ 联立直线得，‎ 由得，解得 对③，如图所示 平移之后扫过的面积应为 ‎【点睛】本题考查根据新定义求解函数和图像的基本性质，函数图像的画法，函数单调性与奇偶性的判断，函数最值的求解，函数零点的判断，根据函数图像的交点求解参数，函数解析式的求法，几何图形在函数中的应用等，整体难度不大，但综合性强，以 “衍生函数”作为载体，基本上对于函数的基本性质作了全面解读，在整个解析过程中所涉及的函数与图形转化的思想，值得每个数学学习者深思 ‎ ‎