2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：9-4　双曲线及其性质（讲解部分）

2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：9-4　双曲线及其性质（讲解部分）

9.4 　双曲线及其性质 高考理数 考点一    双曲线的定义及标准方程 考点清单 考向基础 1.定义 在平面内到两定点 F 1 , F 2 的距离的 差的绝对值 等于常数(小于| F 1 F 2 |且大于 零)的点的轨迹叫做双曲线,定点 F 1 , F 2 叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离 叫做焦距. 注意　(1)设双曲线上的点 M 到两焦点 F 1 , F 2 的距离之差的绝对值为2 a ,即 || MF 1 |-| MF 2 ||=2 a ,其中0<2 a <| F 1 F 2 |,这一条件不能忽略. ①若2 a =| F 1 F 2 |,则点 M 的轨迹是分别以 F 1 , F 2 为端点的两条射线; ②若2 a >| F 1 F 2 |,则点 M 的轨迹不存在; ③若2 a =0,则点 M 的轨迹是线段 F 1 F 2 的垂直平分线. (2) 若将双曲线定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉 , 则 点的集合是双曲线的一支 , 具体是左支 ( 上支 ) 还是右支 ( 下支 ) 视情况而定 . 2.标准方程 (1)中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为   -   =1 ( a >0, b >0); (2)中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为   -   =1 ( a >0, b >0). 注意　(1)焦点位置的判断:在双曲线的标准方程中,看 x 2 项与 y 2 项的系数正 负,若 x 2 项的系数为正,则焦点在 x 轴上;若 y 2 项的系数为正,则焦点在 y 轴上,即 “焦点位置看正负,焦点随着正的跑”. (2) a , b , c 满足 c 2 = a 2 + b 2 ,即 c 最大( c 为半焦距). 3.焦点三角形问题 (1) P 为双曲线上的点, F 1 , F 2 为双曲线的两个焦点,且∠ F 1 PF 2 = θ ,则   =   = c | y P | .   (2)过焦点 F 1 的直线与双曲线的一支交于 A 、 B 两点,则 A 、 B 与另一个焦点 F 2 构成的△ ABF 2 的周长为 4 a +2| AB | .   (3)若 P 是双曲线右支上一点, F 1 、 F 2 分别为双曲线的左、右焦点,则| PF 1 | min = a + c ,| PF 2 | min = c - a . (4) P 是双曲线   -   =1( a >0, b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点, F 1 、 F 2 分别为双曲线的左、右焦点, I 为△ PF 1 F 2 内切圆的圆心,则圆心 I 的横坐标恒 为定值 a . 考向突破 考向一    双曲线的定义 例1     (2018江西赣南五校联考,10)已知双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的离心 率为2,左,右焦点分别为 F 1 , F 2 ,点 A 在双曲线 C 上,若△ AF 1 F 2 的周长为10 a ,则 △ AF 1 F 2 的面积为   (　　) A.2   a 2 　　　　    B.   a 2 　　　　    C.30 a 2 　　　　    D.15 a 2 解析 　由双曲线的对称性不妨设 A 在双曲线的右支上,由 e =   =2,得 c =2 a , ∴△ AF 1 F 2 的周长为| AF 1 |+| AF 2 |+| F 1 F 2 |=| AF 1 |+| AF 2 |+4 a , 又△ AF 1 F 2 的周长为10 a ,∴| AF 1 |+| AF 2 |=6 a , 又∵| AF 1 |-| AF 2 |=2 a ,∴| AF 1 |=4 a ,| AF 2 |=2 a . 在△ AF 1 F 2 中,| F 1 F 2 |=4 a ,∴cos∠ F 1 AF 2 =   =   =   .∴sin∠ F 1 AF 2 =   , ∴   =   | AF 1 |·| AF 2 |·sin∠ F 1 AF 2 =   × 4 a × 2 a ×   =   a 2 .故选B. 答案     B 考向二    双曲线的标准方程 例2     (2019内蒙古赤峰二中模拟,8)已知双曲线   -   =1( a >0, b >0)的左,右 焦点分别为 F 1 , F 2 ,点 P (2,   )在双曲线上,且| PF 1 |,| F 1 F 2 |,| PF 2 |成等差数列,则该 双曲线的方程为   (　　) A. x 2 - y 2 =1　　　　    B.   -   =1 C. x 2 -   =1　　　　    D.   -   =1 解析 　设| PF 1 |= m ,| F 1 F 2 |=2 c ,| PF 2 |= n . ∴ m - n =2 a . ∵| PF 1 |,| F 1 F 2 |,| PF 2 |成等差数列, ∴4 c = m + n . ∴ m = a +2 c =   , n =2 c - a =   , 联立解得 a =1, c =   , ∴ b 2 = c 2 - a 2 =1, ∴双曲线的标准方程为 x 2 - y 2 =1.故选A. 答案     A 考点二    双曲线的几何性质 考向基础 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形     标准方程   -   =1( a >0, b >0)   -   =1( a >0, b >0)   范围 | x | ≥ a | y | ≥ a 焦点 F 1 (- c ,0)、 F 2 ( c ,0) F 1 (0,- c )、 F 2 (0, c ) 顶点 A 1 (- a ,0)、 A 2 ( a ,0) A 1 (0,- a )、 A 2 (0, a ) 对称性 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点对称 实、虚轴长 实轴长为2 a ,虚轴长为2 b 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 e =   渐近线方程 y = ±   x y = ±   x 【常见结论】 (1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.双曲线为 等轴双曲线 ⇔ 双曲线的离心率 e =   ⇔ 两条渐近线互相垂直. (2)共轭双曲线的性质:①它们有共同的渐近线;②它们的四个焦点共圆; ③它们的离心率的倒数的平方和等于1. (3)焦点到渐近线的距离为 b . 考向突破 考向一    双曲线的渐近线 例1     (2019安徽宣城二模,10)已知双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的左、右焦 点分别为 F 1 、 F 2 , O 为坐标原点, P 是双曲线在第一象限内的点,直线 PO 交双 曲线 C 左支于点 M ,直线 PF 2 交双曲线 C 右支于点 N ,若| PF 1 |=2| PF 2 |,且∠ MF 2 N =60 ° ,则双曲线 C 的渐近线方程为   (　　) A. y = ±   x 　　　　    B. y = ±   x C. y = ± 2 x 　　　　    D. y = ± 2   x 解析 　连接 F 1 M .∵点 P 是双曲线 C 在第一象限内的点,∴| PF 1 |-| PF 2 |=2 a ,又知 | PF 1 |=2| PF 2 |,∴| PF 1 |=4 a ,| PF 2 |=2 a ,∵直线 PO 交双曲线 C 左支于点 M ,∴由对称 性可知,| PO |=| OM |,又∵| OF 1 |=| OF 2 |,∴四边形 PF 1 MF 2 为平行四边形,∴| MF 2 |= | PF 1 |=4 a .在△ POF 2 中,由余弦定理得4 a 2 =| PO | 2 + c 2 -2 c | PO |cos∠ POF 2 ①,在△ POF 1 中,由余弦定理得16 a 2 =| PO | 2 + c 2 +2 c | PO |cos∠ POF 2 ②,由①+②得20 a 2 = 2| PO | 2 +2 c 2 ,∴| PO | 2 =10 a 2 - c 2 ,即| PO |=   ,∴| PM |=2   ,又∵直线 PF 2 交双曲线 C 右支于点 N ,且∠ MF 2 N =60 ° ,∴∠ MF 2 P =120 ° .在△ PMF 2 中,由余 弦定理得4(10 a 2 - c 2 )=4 a 2 +16 a 2 -2 × 2 a × 4 a × cos 120 ° ,即 c 2 =3 a 2 ,又知 c 2 = a 2 + b 2 ,∴ a 2 + b 2 =3 a 2 ,∴   =2,∴   =   ,∴双曲线 C 的渐近线方程为 y = ±   x ,故选A. 答案     A 考向二    双曲线的离心率 例2     (2019新疆石河子第一中学月考,10)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双 曲线 C :   -   =1( b >0, a >0)的左焦点为 F ,点 B 的坐标为(0, b ),若直线 BF 与双曲 线 C 的两条渐近线分别交于 P , Q 两点,且   =5   ,则双曲线 C 的离心率为   (　　) A.   　　　　    B.   　　　　     C.   　　　　    D.2 解析 　∵左焦点为 F (- c ,0),点 B 的坐标为(0, b ), ∴直线 PQ 的方程为 y =   ( x + c ),与 y =   x 联立得 P   . 与 y =-   x 联立得 Q   . ∵   =5   ,则0-   =5   ⇒ 2 c =3 a ⇒ e =   .故选B. 答案     B 考点三    直线与双曲线的位置关系 考向基础 　　直线与双曲线的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他 综合问题.解决这样的问题,常用下面的方法: 将双曲线方程 C :   -   =1与直线方程 l : y = kx + m 联立消去 y ,整理得( b 2 - a 2 k 2 ) x 2 - 2 a 2 mkx - a 2 m 2 - a 2 b 2 =0.当 b 2 - a 2 k 2 =0,即 k = ±   时,直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线平 行,直线 l 与双曲线 C 只有一个交点;当 b 2 - a 2 k 2 ≠ 0,即 k ≠ ±   时,设该一元二次 方程根的判别式为 Δ . (1)当 Δ >0时,直线与双曲线有两个公共点 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ),则可结合根与系 数的关系,代入弦长公式| MN |=   =   求弦长; (2)当 Δ =0时,直线与双曲线相切; (3)当 Δ <0时,直线与双曲线相离. 注意     有一个交点,可能相交,也可能相切. 【常见结论】 (1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为   . (2)设 P , A , B 是双曲线   -   =1( a >0, b >0)上的三个不同的点,其中 A , B 关于原 点对称,则直线 PA 与 PB 的斜率之积为   . (3)弦中点结论:设 AB 为双曲线不平行于 x 轴, y 轴的弦,点 M 为弦 AB 的中点. 标准方程 点差法结论   -   =1( a >0, b >0) k AB · k OM =     -   =1( a >0, b >0) k AB · k OM =   考向突破 考向    直线与双曲线的位置关系 例　 已知双曲线 C : x 2 - y 2 =1及直线 l : y = kx -1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A , B 两点, O 是坐标原点,且△ AOB 的面积为   ,求实数 k 的值. 解题导引   解析 　(1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点, 则方程组   有两个不同的解, 消去 y 整理得(1- k 2 ) x 2 +2 kx -2=0. ∴   解得-   < k <   且 k ≠ ± 1. 故当-   < k <   且 k ≠ ± 1时,双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点. (2)设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),直线 l 与 y 轴交于定点 D (0,-1), 由(1)得   当 A , B 两点在双曲线的一支上且| x 1 |>| x 2 |时, S △ OAB = S △ OAD - S △ OBD =   (| x 1 |-| x 2 |)=   | x 1 - x 2 |; 当 A , B 两点在双曲线的两支上且 x 1 > x 2 时, S △ OAB = S △ OAD + S △ OBD =   (| x 1 |+| x 2 |)=   | x 1 - x 2 |. 综上, S △ OAB =   | x 1 - x 2 |=   , ∴( x 1 - x 2 ) 2 =(2   ) 2 , 即   +   =8, 解得 k =0或 k = ±   . 又∵-   < k <   且 k ≠ ± 1, ∴当 k =0或 k = ±   时,△ AOB 的面积为   . 方法      求双曲线离心率的值或取值范围的方法 1.在解析几何中,解决范围问题,一般可从以下几个方面考虑:(1)与已知范 围联系,通过求函数值域或解不等式来完成;(2)通过一元二次方程的根的 判别式 Δ 的符号建立不等关系;(3)利用点在曲线内部或外部建立不等关系; (4)利用解析式的结构特点,如 a 2 ,| a |,   等的非负性来完成范围的求解. 2.求双曲线离心率的值或取值范围的常用方法 (1)由 a 、 b 或 a 、 c 的值,得 e =   =   =   . (2)列出含有 a , b , c 的齐次方程(或不等式),借助 b 2 = c 2 - a 2 消去 b ,然后转化成关 于 e 的方程(或不等式)求解. 方法技巧 (3)构造焦点三角形,利用定义转化为焦点三角形三边的关系,如图, e =   =   =   .   例     (2017课标Ⅰ,15,5分)已知双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的右顶点为 A ,以 A 为圆心, b 为半径作圆 A ,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M , N 两点.若∠ MAN =60 ° ,则 C 的离心率为 　　　     . 解题导引   解析 　解法一:不妨设点 M 、 N 在渐近线 y =   x 上,如图,△ AMN 为等边三角 形,且| AM |= b , 则 A 点到渐近线 y =   x 的距离为   b ,将 y =   x 变形为一般形式 bx - ay =0,则 A ( a , 0)到渐近线 bx - ay =0的距离 d =   =   ,所以   =   b ,即   =   ,所以双 曲线的离心率 e =   =   . 解法二:不妨设点 M 、 N 在渐近线 y =   x 上,如图,作 AC 垂直于 MN ,垂足为 C , 根据题意知点 A 的坐标为( a ,0),则| AC |=   =   ,在△ ACN 中, ∠ CAN =   ∠ MAN =30 ° ,| AN |= b ,所以cos∠ CAN =cos 30 ° =   =   =   =   =   ,所以离心率 e =   =   . 答案