【数学】2020届一轮复习人教A版充分条件与必要条件作业
1.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:若a=2,则ax+2y=0即x+y=0,与直线x+y=1平行,反之若直线ax+2y=0与x+y=1平行,则-a2=-1,a=2,故选C.
答案:C
2.设甲:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R,乙:0
0的解集是实数集R,则a=0或a>0,Δ=4a2-4a<0,所以0≤a<1.所以甲是乙的必要不充分条件.
答案:B
3.“函数f(x)=cos x+m-1有零点”是“0≤m≤1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:令f(x)=0得cos x=-m+1,若函数有零点,则-1≤-m+1≤1,解得0≤m≤2,因此“函数f(x)=cos x+m-1有零点”是“0≤m≤1”的必要不充分条件.
答案:B
4.已知直线a,b,平面α,β,且a⊥α,b⫋β,则“a⊥b”是“α∥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:a⊥α,若α∥β,则a⊥β.因为b⫋β,所以a⊥b成立.而a⊥b,显然不能推出α∥β,所以“a⊥b”是“α∥β”的必要不充分条件.
答案:B
5.x1>3,x2>3是x1+x2>6,x1x2>9的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由x1>3,x2>3及不等式的性质,可得x1+x2>6,x1x2>9成立.但由x1+x2>6,x1x2>9不能推出x1>3,x2>3.故选A.
答案:A
6.平面向量a,b都是非零向量,a·b>0是a与b夹角为锐角的 条件.
解析:若a与b夹角为锐角,则a·b>0,反之当a·b>0时,若a,b方向相同,则a与b夹角不是锐角.
答案:必要不充分
7.导学号01844002下列四个命题为真命题的是 (填序号).
①“a>b”是“2a>2b”的充要条件;
②“a=b”是“lg a=lg b”的充分不必要条件;
③“函数f(x)=ax2+bx(x∈R)为奇函数”的充要条件是“a=0”;
④“定义在R上的函数y=f(x)是偶函数”的必要条件是“f(-x)f(x)=1”.
解析:①真,∵y=2x在R上是增函数,∴a>b⇔2a>2b;②假,当a=b≤0时,lg a,lg b无意义;③真,f(x)是奇函数⇔f(-x)+f(x)=0⇔ax2-bx+ax2+bx=0⇔ax2=0⇔a=0;④假,如f(x)=x2-1是偶函数,但f(1)=0,f(-1)f(1)无意义.
答案:①③
8.分别指出下列题目中p是q的什么条件.
(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;
(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等;
(3)p:m<-2,q:方程x2-x-m=0无实根;
(4)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等.
解(1)∵x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0,而(x-2)(x-3)=0,则x=2或x=3,故不能推出x-2=0,∴p是q的充分不必要条件.
(2)∵两个三角形相似不能推出两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似,∴p是q的必要不充分条件.
(3)∵m<-2⇒方程x2-x-m=0无实根,而方程x2-x-m=0无实根,则Δ=1+4m<0,即m<-14,故不能推出m<-2,∴p是q的充分不必要条件.
(4)∵矩形的对角线相等,∴p⇒q,而对角线相等的四边形不一定是矩形(如等腰梯形),
∴q不能推出p,∴p是q的充分不必要条件.
9.导学号01844003已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0,且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
证明(充分性)当q=-1时,a1=p-1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),当n=1时也成立.
又p≠0,且p≠1,于是an+1an=pn(p-1)pn-1(p-1)=p,故数列{an}为等比数列.
(必要性)当n=1时,a1=S1=p+q.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).
因为p≠0,且p≠1,
所以an+1an=pn(p-1)pn-1(p-1)=p(n≥2).
因为{an}为等比数列,
所以a2a1=an+1an=p,即p(p-1)p+q=p,
即p-1=p+q,故q=-1.
综上所述,数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
