【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第16讲定积分与微积分基本定理学案
第16讲 定积分与微积分基本定理
1.定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0
0)上的连续的偶函数,则-aa f(x)dx=20a f(x)dx;如果f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的奇函数,则-aa f(x)dx=0.
题组一 常识题
1.[教材改编] 12 ex-2xdx= .
2.[教材改编] 03π sin xdx= .
3.[教材改编] 已知14 f(x)dx=8,则12 f(x)dx+24 f(x)dx= .
4.[教材改编] 直线y=x-4、曲线y=2x及x轴所围成的封闭图形的面积是 .
题组二 常错题
◆索引:误解积分变量致错;定积分的值不一定是曲边梯形的面积;弄错原函数的定义域;f(x),g(x)的图像与直线x=a,x=b所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错.
5.定积分-12 (t2+1)dx= .
6.曲线y=-x2(x∈[-1,1])与x轴所围成的封闭图形的面积为 .
7.计算-2-1 1xdx= .
8.直线x=0,x=π2与曲线y=sin x,y=cos x所围成的封闭图形的面积S的定积分表达式是 .
探究点一 定积分的计算
例1 (1)已知函数f(x)=sinx,x∈[-π,0],1-x2,x∈(0,1],则-π1 f(x)dx=( )
A.2+π B.π2
C.-2+π2 D.π4-2
(2)[2018·湖北咸宁重点高中联考] 若01 (ex-2ax)dx=e,则a= .
[总结反思] (1)计算定积分的常用方法有三种:定义法、几何意义法、微积分基本定理法.
(2)使用微积分基本定理的关键是找到一个函数,使该函数的导数等于被积函数.
变式题 (1)[2018·曲靖一中月考] 已知0π2 sin(x-φ)dx=74,则sin 2φ=( )
A.34 B.916 C.-34 D.-34
(2)[2018·莱芜模拟] 12 2x+1xdx的值为 .
探究点二 利用定积分求曲边梯形的面积
例2 (1)[2018·贵阳模拟] 若函数f(x)=Asinωx-π6(A>0,ω>0)的部分图像如图2-16-1所示,则图中阴影部分的面积为 ( )
图2-16-1
A.12
B.14
C.2-34
D.2-32
(2)[2018·江西临川一中月考] 已知曲线y=x,y=2-x与x轴所围成的封闭图形的面积为S,则S= .
[总结反思] (1)利用定积分求曲边梯形的面积的基本步骤:画草图,解方程得积分上、下限,把面积表示为已知函数的定积分.
(2)注意:两曲线的上、下位置关系,分段表示的面积之间的关系.
变式题 (1)如图2-16-2所示的阴影部分的面积为 ( )
图2-16-2
A.42 B.22
C.2 D.22
(2)[2018·安徽江南十校联考] 直线l过抛物线E:y2=8x的焦点且与x轴垂直,则直线l与E所围成的封闭图形的面积为 ( )
A.13 B.113 C.323 D.283
探究点三 定积分在物理中的应用
例3 两点之间相距112 m,一质点从一点出发,沿直线向另一点做变速直线运动,其速度方程是v=t+1(v的单位:m/s,t的单位:s).
(1)计算该质点在前10 s所走的路程;
(2)计算该质点在第5 s到第10 s所经过的路程;
(3)计算该质点到达另一点所需要的时间,以及该质点在整个运动过程中的平均速度.
[总结反思] (1)做变速直线运动的物体在时间段[a,b]内所经过的路程S等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即S=ab v(t)dt.
(2)一物体在变力F=F(x)的作用下,在位移区间[a,b]内所做的功W是函数F=F(x)在区间[a,b]上的定积分,即W=ab F(x)dx.
变式题 一物体在变力F(x)=36x2(单位:N)的作用下沿力的正方向运动,求物体从x=8 m处运动到x=18 m处这一过程中,变力对物体所做的功.
第16讲 定积分与微积分基本定理
考试说明 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.
2.了解微积分基本定理的含义.
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.常数 limn→∞∑i=1nb-anf(ξi) 被积 下 上
2.a b 0
3.kab f(x)dx ab f(x)dx±ab g(x)dx ac f(x)dx+cb f(x)dx
4.F(b)-F(a)
对点演练
1.e2-2ln 2-e [解析] 12 ex-2xdx=(ex-2ln x) 12=e2-2ln 2-e.
2.2 [解析] 03π sin xdx=-cos x 03π=2.
3.8 [解析] 12 f(x)dx+24 f(x)dx=14 f(x)dx=8.
4.403 [解析] 画出图形(图略)可知,所求的面积S=04 2xdx+48 2xdx-48 (x-4)dx=223x32 04+223x32 48-12(x-4)2 48=403.
5.3t2+3 [解析] -12 (t2+1)dx=(t2+1)x -12=2(t2+1)+(t2+1)=3t2+3.
6.23 [解析] 所求面积S=--11 (-x2)dx=201 x2dx=23.
7.-ln 2 [解析] 根据-2-1 1xdx的几何意义,可得-2-1 1xdx=-12 1xdx=-ln x 12=-ln 2.
本题若做成-2-1 1xdx=ln x -2-1则是错误的.
8.S=0π2 |sin x-cos x|dx
【课堂考点探究】
例1 [思路点拨] (1)根据定积分的几何意义、定积分的性质、微积分基本定理求解;(2)a是常量,确定原函数,建立关于a的方程求解.
(1)D (2)-1 [解析] (1)-π1 f(x)dx=-π0 sin xdx+01 1-x2dx,又-π0 sin xdx=-cos x -π0=-2,01 1-x2dx的几何意义是以原点为圆心,1为半径的圆的面积的14,故01 1-x2dx=14π,∴-π1 f(x)dx=π4-2,故选D.
(2)∵01 (ex-2ax)dx=(ex-ax2) 01=e-a-1=e,
∴-a-1=0,∴a=-1.
变式题 (1)B (2)3+ln 2 [解析] (1)根据微积分基本定理,得0π2 sin(x-φ)dx=-cos(x-φ) 0π2,即-cosπ2-φ+cos(-φ)=cos φ-sin φ=74,两边平方,得1-sin 2φ=716,所以sin 2φ=1-716=916,故选B.
(2)12 2x+1xdx=(x2+ln x) 12=4+ln 2-1-0=3+ln 2.
例2 [思路点拨] (1)由图像求出函数解析式,然后利用定积分求得图中阴影部分的面积;(2)先作出草图(可略),确定被积函数与积分区间,再利用定积分求面积.
(1)C (2)76 [解析] (1)由图像可知,A=1,T2=π3--π6=π2,即T=π,所以ω=2,所以f(x)=sin2x-π6.
所以图中阴影部分的面积S=-0π12 sin2x-π6dx=12cos2x-π6 0π12=12cosπ6-π6-cos-π6=121-32=2-34,故选C.
(2)由题意得,曲线y=x,y=2-x与x轴所围成的封闭图形的面积S=01 xdx+12 (2-x)dx=23x32 01+2x-12x2 12=23+2-32=76.
变式题 (1)B (2)C [解析] (1)根据定积分的几何意义可得,阴影部分的面积S=π45π4 (sin x-cos x)dx=(-cos x-sin x) π45π4=22,故选B.
(2)由题意得,直线l的方程为x=2,
将y2=8x化为y=±22x.
由定积分的几何意义得,所求面积S=202 (22x)dx=4202 x12dx=42×23x32 02=42×23×22=323.
例3 [思路点拨] 第(1)(2)问只要根据定积分的物理意义求解即可,第(3)问先求函数v=t+1在[0,x]上的定积分,再求使得这个定积分等于112时的x值,x的值即为质点的运动时间.
解:(1)该质点在前10 s所走的路程S1=010 (t+1)dt=12t2 010+t 010=60(m).
(2)该质点在第5 s到第10 s所经过的路程S2=510 (t+1)dt=12t2 510+t 510=42.5(m).
(3)设质点到达另一点所需要的时间为x,显然x>0,则根据题意有0x (t+1)dt=112,即12t2+t 0x=112,即12x2+x=112,即x2+2x=224,得x=14,则该质点到达另一点所需要的时间是14 s,整个运动过程中的平均速度是11214=8(m/s).
变式题 解:由题意得,变力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在[8,18]上的定积分,
即818 F(x)dx=-36x-1 818=(-36×18-1)-(-36×8-1)=(-2)--92=52.
从而可得变力F(x)在这一过程中所做的功为52 J.
【备选理由】 例1考查定积分的计算,特别是需要结合函数的奇偶性与定积分的几何意义进行分析,有一定的综合性;例2考查根据图像求解函数解析式的能力以及分段计算定积分的方法;例3在知识点的交汇处命题,将利用定积分求面积与几何概型结合起来考查.
例1 [配合例1使用] [2019·深圳外国语学校月考] 给出下列函数:①f(x)=xsin x;②f(x)=ex+x;③f(x)=ln(1+x2-x).存在a>0,使得-aa f(x)dx=0的函数是 ( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
[解析] B 对于①,f(x)=xsin x是偶函数,当x∈(0,π)时,f(x)>0,当x∈(π,2π)时,f(x)<0,作出f(x)=xsin x在[0,2π]上的图像,如图所示,设曲线y=xsin x(x∈[0,π])与x轴围成的图形的面积为S1,曲线y=xsin x(x∈[π,2π])与x轴围成的图形的面积为S2,由图可知S10(a>0),即不存在满足题意的a;对于③,f(x)=ln(1+x2-x)是奇函数,所以对于任意a>0,-aa f(x)dx=0都成立.综上可知,①③中的函数满足题意.故选B.
例2 [配合例1使用] 已知函数y=f(x)的图像为如图所示的折线ABC,则-11 [(x+1)f(x)]dx=( )
A.2 B.-2
C.1 D.-1
[解析] D 由图易知f(x)=-x-1,-1≤x≤0,x-1,0
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