四川省南充市白塔中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

四川省南充市白塔中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

白塔中学高二（上）期期中考试卷 数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项）．‎ ‎1.直线方程分别为,直线倾斜角分别为，则（ ）‎ A. B. C. D. 不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两条直线的斜率后可得它们的倾斜角的大小.‎ ‎【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 故，，因为，‎ 故，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】对于直线方程，其斜率为，注意直线的倾斜角与斜率的关系为：（1）当 时，；（2）当时，斜率不存在.‎ ‎2. 某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ）‎ A. 40 B. 36 C. 30 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：利用分层抽样的比例关系,设从乙社区抽取户，则，解得.‎ 考点：考查分层抽样.‎ ‎3.执行所示程序后输出的结果是：‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当n=5，S=0时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=5，n=4；‎ 当n=4，S=5时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=9，n=3；‎ 当n=3，S=9时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=12，n=2；‎ 当n=2，S=12时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=14，n=1；‎ 当n=1，S=14时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=15，n=0；‎ 当n=0，S=15时，不满足进入循环的条件，退出循环体后，输出n=0‎ 故选B.‎ ‎4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】根据框图的循环结构依次可得:‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎,‎ 跳出循环,输出.故C正确.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．‎ ‎5.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（ ）‎ A. 甲的极差是29 B. 甲的中位数是24‎ C. 甲罚球命中率比乙高 D. 乙的众数是21‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对．‎ ‎【详解】由茎叶图知 甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对 甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为故B不对 甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对 乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对 故选：B．‎ ‎【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．‎ ‎6.设点是点关于平面的对称点，则等于（ ）‎ A. B. 10 C. D. 38‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用空间中的两个点关于平面对称时的坐标关系可求的坐标，再利用两点之间的距离公式可求.‎ ‎【详解】因为点是点关于平面的对称点，故，‎ 故，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查空间中关于坐标平面对称的点的坐标关系，此类问题属于基础题.‎ ‎7.已知圆，那么两圆公切线的条数（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断两圆的位置关系，再根据它们的位置关系可得公切线的条数.‎ ‎【详解】由题设有：，，‎ 故，‎ 因为，故两圆相交，所以两圆的公切线条数为2.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】圆与圆的位置关系可以用圆心距和半径之和、半径之差的绝对值的关系来确定，当两圆相离时，它们由4条公切；当两圆相外切时，它们由3条公切线；当两圆相交时，它们有2条公切线；当两圆相内切时，有1条公切线；当两圆相内含时，无公切线．‎ ‎8. 从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是（ ）‎ A. A与C互斥 B. A与B互为对立事件 C. B与C互斥 D. 任何两个均互斥 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．‎ 解：从一批产品中取出三件产品，‎ 设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，‎ 事件A与C不能同时发生，是互斥事件，故A正确；‎ 事件A与B不能同时发生，但能同时不发生，故A与B是互斥但不对立事件，故B错误；‎ 事件B与C能同时发生，故B与C不是互斥事件，故C错误；‎ 由B与C不是互斥事件得D错误．‎ 故选：A．‎ 考点：互斥事件与对立事件．‎ ‎9. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．‎ 解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，‎ 解这个方程组需要用一些技巧，‎ 因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，‎ 设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；‎ ‎∴|x﹣y|=2|t|=4，‎ 故选D．‎ 考点：极差、方差与标准差．‎ ‎10.已知过点和的直线与直线平行，则的值为（ ）‎ A. 0 B. C. D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线的斜率为，再用表示直线的斜率，两者结合解方程后可得的值，从而得到的值.‎ ‎【详解】因为与直线平行，故.‎ 又，故，所以即.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查斜率的计算以及两条直线的位置关系，一般地，对于直线方程，其斜率为，两条直线平行时，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，此类问题属于基础题.‎ ‎11.约束条件所确定当时的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为（ ）‎ A. 9 B. 13 C. 16 D. 18‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出不等式组对应可行域，考虑可行域内（含边界）整点的个数后可得正确的选项.‎ ‎【详解】当时，约束条件为，不等式组对应的可行域如图阴影部分所示：‎ 当时，因为，故整数；‎ 当时，因为，故整数；‎ 当时，因为，故整数；‎ 当时，只有整数；‎ 根据阴影部分的对称性可得可行域内整点的个数为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】对于非线性规划问题，我们要注意平面区域可能是由直线和某些曲线（如的图像、圆等）围成，此时表示函数的图像的上方，表示函数的图像的下方.‎ ‎12.直线与圆交于两点，为坐标原点，若直线的倾斜角分别为、，则=（ ）‎ A. B. 13 C. 17 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义可知，，令 ‎，联立直线方程和圆的方程，消去后可求的值即的值.‎ ‎【详解】设，‎ 因为直线的倾斜角分别为、，故，.‎ 由可得，‎ 故即.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系及三角函数的定义，当直线与圆相交时，我们应根据题设的条件和要解决的目标选择代数的方法（联立方程组并利用韦达定理）还是几何方法（如圆心到直线的距离、垂径定理等），该问题为中档题，有一定的知识综合度.‎ 二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）．‎ ‎13.在正方体，有一动点在此正方体内随机运动，则此动点在三棱锥内的概率为_________________________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正方体的棱长为，求出三棱锥的体积后可得所求的概率.‎ 详解】‎ 设正方体的棱长为，则正方体的体积为，.‎ 设为事件“动点在三棱锥内”，则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．‎ ‎14.若满足约束条件，则的最大值时最优解为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式对应的可行域，平移动直线可得取最大值时的最优解.‎ ‎【详解】不等式组对应的可行域如图所示：‎ 当动直线过时，取最大值，此时，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ，而则表示动点与的连线的斜率．‎ ‎15.若点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线PA、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)面积的最小值为________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB则要求SPAOB=2S△PAO=的最小值，转化为求PA最小值，由于PA2=PO2﹣4，当PO最小时，PA最小，结合点到直线的距离公式可知当PO⊥l时，PO有最小值，由点到直线的距离公式可求 ‎【详解】：由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB SPAOB=2S△PAO=‎ 又∵在Rt△PAO中，由勾股定理可得，PA2=PO2﹣4，当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小 点P是直线l：2x+y+10=0上的动点，‎ 当PO⊥l时，PO有最小值d=，PA=4‎ 所求四边形PAOB的面积的最小值为8‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系中的重要类型：相切问题的处理方法，解题中要注意对性质的灵活应用，体现了转化思想在解题中的应用．‎ ‎16.已知直线，和两点，给出如下结论其中真命题的序号是________‎ ‎①当变化时，与分别经过定点和；‎ ‎②不论为何值时，与都互相垂直；‎ ‎③如果与交于点，则的最大值是2；‎ ‎④为直线上的点，则的最小值是．‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线方程的形式可以得到它们各自经过的定点以及两条直线是相互垂直的，故可判断①②正确，又可判断在一个定圆上，从而可求的最大值为，故③错误，求出点 关于直线的对称点后可求的最小值，从而可判断④正确与否．‎ ‎【详解】因为直线的方程为即，故该直线过，‎ 同理直线过，所以当变化时，与分别经过定点和，①正确．‎ 因为，故直线与垂直，故②正确.‎ 因为直线与垂直，故，‎ 所以，‎ 根据基本不等式有，故，‎ 当且仅当时等号成立，故③错误.‎ 设点关于直线的对称点为，则，故，‎ 所以，‎ 当且仅当三点共线时等号成立，故④正确.‎ 故答案为：①②④.‎ ‎【点睛】本题考查交点直线系、直线与直线垂直的判断以及点关于直线的对称点的求法，当直线的方程含有参数时，可考虑动直线过定点，不同的直线方程含有相同参数时，我们先注意考虑两条直线隐含的关系（如平行、垂直、都过同一个定点等），定直线上的动点到两个不同的定点的距离的和、差的最值问题，往往利用对称、三角形两边之和（之差）与第三边的关系来处理.‎ 三．解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.(1)求与直线3x＋4y－7＝0垂直，且与原点的距离为6的直线方程；‎ ‎(2)求经过直线l1：2x＋3y－5＝0与l2：7x＋15y＋1＝0的交点，且平行于直线x＋2y－3＝0的直线方程．‎ ‎【答案】(1) 4x－3y±30＝0．(2) 9x＋18y－4＝0．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由设出所求直线4x－3y＋c＝0，利用点到直线的距离求得参数值，从而求得直线；（2）由两直线联立方程求得交点，由直线求得直线斜率，从而得到点斜式方程 试题解析：（1）设所求的直线方程为4x－3y＋c＝0．‎ 由已知：＝6，解得c＝±30，‎ 故所求的直线方程为4x－3y±30＝0．‎ ‎（2）设所求的直线方程为 ‎2x＋3y－5＋λ（7x＋15y＋1）＝0，‎ 即（2＋7λ）x＋（3＋15λ）y＋λ－5＝0，‎ 由已知－＝－，解得λ＝1．‎ 故所求的直线方程为9x＋18y－4＝0．‎ 考点：1．直线方程；2．直线平行垂直的位置关系 ‎18.已知点及圆.‎ ‎（1）若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程；‎ ‎（2）求过点的圆的弦的中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】(1) 或；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）直线与圆相交时，利用圆的半径，弦长的一半，圆心到直线的距离构成直角三角形的三边勾股定理求解；（2）求弦的中点的轨迹方程，首先设出动点坐标D（x，y），利用弦的中点与圆心的连线垂直于仙所在的直线得到动点的轨迹方程 试题解析：（1）解法一：如图所示，AB＝4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，‎ 在Rt△ACD中，可得CD＝2．‎ 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，‎ 即kx－y＋5＝0．‎ 由点C到直线AB的距离公式：‎ ‎＝2，得k＝．‎ k＝时，直线l方程为3x－4y＋20＝0．‎ 又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0．‎ ‎∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0．‎ ‎（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x，y），‎ 则CD⊥PD，即 ‎（x＋2，y－6）（x，y－5）＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0．‎ 考点：1．轨迹方程；2．直线与圆相交的相关问题 ‎19.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，．‎ 分数段 ‎1∶1‎ ‎2∶1‎ ‎3∶4‎ ‎4∶5‎ ‎(1)求图中的值；‎ ‎(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()与数学成绩相应分数段的人数()之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数.‎ ‎【答案】（1）；（2）73(分)；（3）10.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布表可求的值.‎ ‎（2）利用组中值可求语文的平均成绩.‎ ‎（3）先求出语文在，，，各分数段上的人数，再求出数学在相应分数段上的人数，最后利用总人数为100可求之外的人数.‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图知，解得.‎ ‎（2）由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为 ‎（分）．‎ ‎（3）由频率分布直方图知语文成绩在 ‎，，，各分数段的人数依次为：‎ 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为 ‎.‎ 故数学成绩在之外的人数为.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，注意直方图中，各矩形的高是，另外，在计算样本均值时应利用组中值来计算，在计算中位数时应考虑均分面积处对应的横轴的值.‎ ‎20.下表提供了某新生婴儿成长过程中时间（月）与相应的体重（公斤）的几组对照数据（与具有较好的线性关系）.‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎3‎ ‎3.5‎ ‎4.5‎ ‎5‎ ‎（1）请根据表中提供的数据，求出线性回归方程：；‎ ‎（2）由此推测当婴儿生长满五个月时的体重为多少？‎ ‎（参考公式和数据：）‎ ‎【答案】（1）；（2）推测当婴儿生长满五个月时的体重为公斤.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用公式可求回归方程.‎ ‎（2）利用（1）的回归方程可求推测值.‎ ‎【详解】解：（1），．‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎∴关于的线性回归方程为．‎ ‎（2）当时，．‎ 答：由此推测当婴儿生长满五个月时的体重为公斤．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程的求法及其应用，注意线性回归方程表示的直线经过，此类问题属于基础题.‎ ‎21.[2019·武邑中学]已知关于的一元二次方程，‎ ‎（1）若一枚骰子掷两次所得点数分别是，，求方程有两根的概率；‎ ‎（2）若，，求方程没有实根的概率．‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知本题是古典概型，计算基本事件（a，b）的总数，和“方程有两个正根”的事件数，计算所求的概率值； （2）由题意知本题是几何概型，计算试验的全部结果构成区域，和满足条件的事件组成区域，计算面积比即可．‎ ‎【详解】解：(1)由题意知，本题是一个古典概型，‎ 用表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件；‎ 依题意知，基本事件的总数共有36个； ‎ 一元二次方程有两根，‎ 等价于 即 ，即 .‎ 设“方程有两个根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为，，，，(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2),(6,3)(6,4)，(6,5)，（6，6）共22个， ‎ 因此，所求的概率为 ‎(2)由题意知本题是几何概型，试验的全部结果构成区域 ‎，，其面积为；‎ 满足条件的事件为：，，‎ 其面积为 ‎ 因此，所求的概率为 ‎【点睛】本题主要考查古典概型以及“面积型”的几何概型的应用，属于中档题. ‎ 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ ‎22.已知被直线分成面积相等的四部分，且截轴所得线段的长为2.‎ ‎(1)求的方程；‎ ‎(2)若存在过点的直线与相交于两点，且，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出的圆心坐标，再根据垂径定理可求的半径，从而得到的方程 ‎（2）设，根据点是的中点及在上可得，根据圆与圆的位置关系可得实数满足的不等式，从而可求实数的取值范围.‎ ‎【详解】解：(1)设的方程为，‎ 因为被直线分成面积相等的四部分，‎ 所以圆心一定是两互相垂直的直线的交点，‎ 由得，故交点坐标为，所以.‎ 又截轴所得线段的长为2，所以 所以方程为.‎ ‎(2)设，由题意易知点是的中点，所以.‎ 因为两点均在上，所以①‎ ‎，‎ 即②‎ 设， 由①②知与有公共点，‎ 从而，‎ 即，‎ 整理可得，‎ 解得或，‎ 所以实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】在求圆的标准方程时，我们需要利用一些几何性质确定圆心坐标和半径的大小，常用的几何性质有：（1）圆心在弦的中垂线上；（2）圆心在过切线且垂直于切线的直线上；（3）圆关于直径成轴对称图形．另外，直线与圆的位置关系中的存在性问题，可以转化不同几何对象之间的位置关系来讨论.‎ ‎ ‎