2017-2018学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二10月月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二10月月考数学（文）试题（解析版）

佳一中2016级高二年级上学期10月月考数学文科试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 复数的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：,,故选D.‎ 考点：复数的运算与复数相关的概念.‎ ‎2. 到定点和的距离之和为8的点的轨迹是（ ）‎ A. 线段 B. 椭圆 C. 圆 D. 以上都不是 ‎【答案】A ‎【解析】，据此可得满足题意的点的轨迹是线段.‎ 本题选择A选项.‎ ‎3. 已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得抛物线的准线方程为：，‎ 则：，抛物线方程为，‎ 抛物线的焦点坐标为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．‎ ‎4. 双曲线的实轴长为（ ）‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】双曲线的标准方程为：，‎ 则：，‎ 即双曲线的实轴长为2.‎ 本题选择A选项.‎ ‎5. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得关于实数m的不等式组：‎ ‎，解得：，‎ 综上可得：的取值范围是.‎ 本题选择B选项.‎ ‎6. 已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（ ）‎ A. 4 B. 2 C. 1 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】点A到抛物线的准线：的距离为：，‎ 利用抛物线的定义可得：，‎ 求解关于实数的方程可得：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎7. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由抛物线的标准方程可得抛物线的焦点坐标为：，‎ 结合双曲线的性质可得双曲线中：，‎ 由离心率方程可得：，‎ 据此可得，在双曲线中：，‎ 双曲线的标准方程为：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎8. 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】很明显点P位于双曲线的右支，结合题意和双曲线的定义可得：‎ ‎，解得：，且：，‎ 本题选择D选项.‎ ‎9. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为2，则此椭圆长轴长的最小值是（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由焦点三角形面积公式可得：‎ 以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为，‎ 则长轴：，当且仅当时等号成立，‎ 此时，‎ 据此可得，椭圆长轴长的最小值是4.‎ 本题选择D选项.‎ ‎10. 已知双曲线方程是，过定点作直线交双曲线于两点，并使为的中点，则此直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】很明显点P在双曲线内，‎ 设直线与双曲线的交点坐标为：，‎ 则：，‎ 两式做差可得：，①‎ 利用中点坐标公式有：，‎ 代入①可得：，‎ 据此可得直线的斜率为：，‎ 则此直线方程为：，‎ 整理为一般式即：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ＞0或说明中点在曲线内部.‎ ‎11. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由抛物线的焦点为 ，准线方程为，设，则，因为，所以，解得，由抛物线的定义可得，故选A．‎ 考点：直线与圆锥曲线的位置关系．‎ ‎.....................‎ ‎12. 已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，．故选A．‎ 考点：椭圆的几何性质．‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 若方程的曲线过点，则__________.‎ ‎【答案】-2或3‎ ‎【解析】由题意可得：，‎ 即：,‎ 求解关于实数k的方程可得或.‎ ‎14. 已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上的动点，当最小时，点坐标是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，设抛物线的准线为，作于点，‎ 由抛物线的定义可得：，‎ 当且仅当三点共线时,取得最小值，‎ 此时点M的纵坐标为4，则：，‎ 即点M的坐标为.‎ 点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．‎ ‎15. 设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设椭圆上的点为(x,y)，则 ‎∵圆x2+(y−6)2=2的圆心为(0,6),半径为，‎ ‎∴椭圆上的点(x,y)到圆心(0,6)的距离为：‎ ‎∴P,Q两点间的最大距离是.‎ ‎16. 已知双曲线的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且 ‎，则双曲线的渐近线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵右顶点为A，∴A(a,0)，‎ ‎∵F为抛物线x2=2py(p>0)的焦点，，‎ ‎∵|FA|=c，∴①，‎ 抛物线的准线方程为，‎ 由得，‎ ‎②，‎ 由①②,得,即c2=2a2，‎ ‎∵c2=a2+b2，‎ ‎∴a=b，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，‎ 故答案为：y=±x.‎ 点睛：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知直线恒过一定点.‎ ‎（1）求定点的坐标；‎ ‎（2）若，求与直线垂直且经过点的直线方程.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)整理直线方程，得到关于实数x,y的方程组，求解方程组可得直线恒过定点；‎ ‎(2)当a=2时，直线方程即：‎ ‎，设出直线系方程，然后求得参数值可得直线垂直且经过点的直线方程是.‎ 试题解析：‎ ‎（1），所以，解得，恒过点.‎ ‎（2）当a=2时，直线方程即：，‎ 设所求直线方程为：，直线过点，则：‎ ‎，‎ 据此可得，直线方程为：.‎ ‎18. 已知圆.‎ ‎（1）已知直线经过点，若直线与圆相切，求直线的方程；‎ ‎（2）若圆与圆相切，求的值.‎ ‎【答案】(1)；(2)，或.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得直线的方程是x=-1或；‎ ‎(2)分类讨论直线与圆内切、外切两种情况，解方程可得，或.‎ 试题解析：‎ ‎（1）若直线斜率不存在，直线与圆相切，符合题意.‎ 若直线斜率存在，设直线，则，解得.‎ 所以直线.‎ ‎（2）若圆与圆外切，则，解得.‎ 若圆与圆内切，则，解得.‎ 综上，或.‎ 点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．‎ 判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．‎ ‎19. 在直角坐标系中，一个动圆截直线和所得的弦长分别为8,4.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹方程;‎ ‎（2）在轨迹上是否存在这样的点：它到点的距离等于到点的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1)xy=10．(2)存在满足题意的点，其坐标为.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合点到直线距离公式得到关于x,y的等式，化简等式可得点M的轨迹方程为xy=10．‎ ‎(2)由题意得到关于点的坐标的方程，解方程可知存在满足题意的点，其坐标为.‎ 试题解析：‎ ‎(1)如图所示，设点M（x，y），由条件可得，AB=4，EC=2，‎ 由点到直线的距离公式可得，，‎ 由垂径定理可得，MA2+AB2=MC2+EC2，‎ ‎∴，化简可得，xy=10．‎ ‎∴点M的轨迹方程为xy=10．‎ ‎(2)假设存在满足题意的点，其坐标为，‎ 由题意可得：，‎ 解得：，据此可得：存在满足题意的点，其坐标为：.‎ ‎20. 已知椭圆，直线.‎ ‎（1）若与椭圆有一个公共点，求的值；‎ ‎（2）若与椭圆相交于两点，且等于椭圆的短轴长，求的值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)联立直线与椭圆的方程，由二次方程判别式等于零可得;‎ ‎(2)结合(1)的结论求得弦长，据此得到关于实数m的方程，解方程可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设，，‎ 联立，得，所以.‎ 解得;‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 解得.‎ ‎21. 已知抛物线，为抛物线上一点，为关于轴对称的点，为坐标原点.‎ ‎（1）若的面积为2，求点的坐标；‎ ‎（2）若过满足（1）中的点作直线交抛物线于两点，且斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.‎ ‎【答案】(1)；(2)直线过定点.‎ ‎【解析】本试题主要是考查了直线与抛物线的位置关系的运用。‎ ‎（1）由题意得，即 ‎（2）设直线的方程为，‎ 直线与抛物线联立得且 由，得到定点的坐标。‎ ‎22. 若椭圆上有一动点，到椭圆的两焦点 的距离之和等于，椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与椭圆交于不同两点，（0为坐标原点），且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得：，则椭圆方程为.‎ ‎(2)联立直线与椭圆的方程，结合平面向量的坐标运算法则和二次函数的性质得到关于实数t的不等式，求解不等式可得实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）解得所以椭圆方程.‎ ‎（2）由题意知直线的斜率存在.设，‎ 由得，‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵点在椭圆上，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴，∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴或 ‎∴实数取值范围为 ‎ ‎