广东省珠海市2020届高三下学期普通高中学生学业质量监测数学（文）试题

广东省珠海市2020届高三下学期普通高中学生学业质量监测数学（文）试题

珠海市2020届第二学期普通高中学生学业质量监测 数 学（文科）‎ 第I卷（选择题)‎ 一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）‎ ‎1．已知集合，则( 　　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数在复平面上对应的点为，则( 　　 )‎ A．是实数 B．是纯虚数　　C．是实数 　 D．是纯虚数 ‎3．不等式的解集为( 　　 )‎ A．　 B．　‎ C．　 D．或 第4题图 ‎4．某同学用如下方式估算圆周率，他向图中的正方形中随机撒豆子100次，其中落入正方形的内切圆内有68次，则他估算的圆周率约为( 　　 )‎ A．3.15 B．‎2.72　　‎　 C．1.47　　　D．3.84‎ ‎5．函数的零点个数为( 　　 )‎ A．1 B．‎2 ‎C．3　　　 D．4‎ ‎6．设，则( 　　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知点和圆，过作的切线有两条，则的取值范围是( 　　 )‎ A． 　 B．　　 C． D．‎ 第8题图 ‎8．如图，正方体，点为对角线上的点，当点由点向点运动过程中，下列说法正确的是( 　　 )‎ A．的面积始终不变 B．始终是等腰三角形 C．在面内的投影的面积先变小再变大 D．点到面的距离一直变大 ‎9．函数的图象可能是( 　　 )‎ ‎　‎ A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．‎ ‎　‎ C． 　　　　　　　　　　　D．‎ ‎10．已知是双曲线的一个焦点，点在上，过点作的垂线与轴交于点，若为等腰直角三角形，则的面积为( 　　 )‎ A． B．　　　　　　 C． D． ‎ ‎11．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”… …依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”… …依此类推．1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命,这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”．1949新中国成立，请推算新中国成立的年份为( )‎ A．己丑年 　　　　　B．己酉年　　　　　 C．丙寅年　　　　　 D．甲寅年 ‎12．设函数.若只存在唯一非负整数，使得，则实数取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题（本大题共４小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．函数在处的切线方程为____________．‎ ‎14．在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，是以为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．‎ ‎15．已知正项等比数列的前n项和为，，，则＝_______．‎ ‎16．等腰直角三角形，，．，分别为边，上的动点，设，，其中，且满足，，分别是，的中点，则的最小值为_____．‎ ‎ ‎ 三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题 ‎17．(本题12分)随机调查某城市80名有子女在读小学的成年人，以研究晚上八点至十点时间段辅导子女作业与性别的关系，得到下面的数据表：‎ ‎　　　　是否辅导 性别 辅导 不辅导 合计 男 ‎25‎ ‎60‎ 女 合计 ‎40‎ ‎80‎ ‎（1）请将表中数据补充完整；‎ ‎（2）用样本的频率估计总体的概率，估计这个城市有子女在读小学的成人女性晚上八点至十点辅导子女作业的概率；‎ ‎（3）根据以上数据，能否有99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导子女作业与性别有关？”．‎ 参考公式：，其中．‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 第18题图 ‎18．(本题12分)如图所示，在中，点在线段上，，，，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断是否为等腰三角形．‎ 第19题图 ‎19．(本题12分)如图所示，梯形中，，平面平面，且四边形为矩形，，，，．‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求点到平面的距离．‎ ‎20．(本题12分)已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为轴，其准线为．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)设直线，对任意的抛物线C上都存在四个点到直线l的距离为，求的取值范围．‎ ‎21．(本题12分)设函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）若存在满足，证明成立．‎ ‎（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．(本题10分)在平面直角坐标内，直线过点，且倾斜角．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为．‎ ‎(1)求圆的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线与圆交于两点，求的值．‎ ‎23．(本题10分)已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）当，时，证明：.‎ 数学（文科）参考答案 第I卷（选择题)‎ 一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）‎ ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D由，所以 ‎2．已知复数在复平面上对应的点为，则( )‎ A．是实数 B．是纯虚数 C．是实数 D．是纯虚数 ‎【答案】Ｃ由题意可知z＝1－i, 所以z＋i是实数，故选C.‎ ‎3．不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．或 ‎【答案】D不等式得解集或 ‎4．某同学用如下方式估算圆周率，他向图中的正方形中随机撒豆子100次，其中落入正方形的内切圆内有68次，则他估算的圆周率约为（ ）‎ A．3.15 B．2.72‎ C．1.47 D．3.84‎ ‎【答案】B根据几何概型得2.72‎ ‎5．函数的零点个数为（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎【答案】A由的零点转化为方程的根，由与的图象只有一个交点，可得只有一个零点 ‎6．设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A由得 ‎7．已知点和圆，过作的切线有两条，则 的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D由得，则得，要使过作的切线有两条，则点在圆外，从而得，所以.‎ ‎8．如图，正方体，点为对角线上的点，当点由点向点运动过程中，下列说法正确的是（ ）‎ A．的面积始终不变 B．始终是等腰三角形 C．在面内的投影的面积先变小再变大 D．点到面的距离一直变大 ‎【答案】B的面积始终不变先变小再变大，Ａ不对；由于，始终是等腰三角形所以Ｂ正确；在面内投影的面积不变，所以Ｃ不对；点到面的距离先变大再变小，所以Ｄ不对。‎ ‎9．函数的图象可能是（　　　）‎ ‎　　　　　　‎ A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．‎ ‎　　　　　　‎ C． 　　　　　　　　　　　D．‎ ‎【答案】C函数为偶函数且，排除Ａ、Ｂ，而，所以选Ｃ ‎10．已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，过点作的垂线与轴交于点，若为等腰直角三角形，则的面积为（ ）‎ A． B．　　　　　　C． D． ‎ ‎【答案】A取点为左焦点，在第一象限，如图可设，代入双曲线得解得：，得 ‎ ‎11‎ ‎．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”… …依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”… …依此类推．1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命,这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”．1949新中国成立，请推算新中国成立的年份为（ ）‎ A．己丑年 　　　　　B．己酉年　　　　　 C．丙寅年　　　　　 D．甲寅年 ‎【答案】Ａ根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则，则1949年的天干为己，，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年.‎ ‎12．设函数.若只存在唯一非负整数，使得，则实数取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A令，，则，‎ ‎，令，解得或，‎ ‎，时有 ‎，时有 ‎，时有，‎ 可以描绘出的草图 为过点的直线 如图可知：当不成立 当时，，‎ 所以，得 所．‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题（本大题共４小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．函数在处的切线方程为____________．‎ ‎【答案】（方程其它形式均可得分）求导得，得，切点为所以．‎ ‎14．在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，是以为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．‎ ‎【答案】由题意可知的中心就是圆心，可知算得，所以可得外接球的表面积为 ‎15．已知正项等比数列的前n项和为，，，则 ‎＝_______．‎ ‎【答案】∵为等比数列，，∴，‎ ‎∴，，此时，‎ ‎16．等腰直角三角形，，．，分别为边，上的动点，设，，其中，且满足，，分别是，的中点，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】本题如图建坐标系，，，得，又，可知点在单位圆上，所以最小的最小值为．‎ 三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题 ‎17．(本题12分)随机调查某城市80名有子女在读小学的成年人，以研究晚上八点至十点时间段辅导孩子作业与性别的关系，得到下面的数据表：‎ ‎　　　　是否辅导 性别 辅导 不辅导 合计 男 ‎25‎ ‎60‎ 女 合计 ‎40‎ ‎80‎ ‎（1）请将表中数据补充完整；‎ ‎（2）用样本的频率估计总体的概率，估计在这个城市所有成人女性晚上八点至十点辅导孩子作业的概率；‎ ‎（3）根据以上数据，能否有99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导孩子作业与性别有关？”‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 解（1）‎ 辅导 不辅导 合计 男 ‎25‎ ‎35‎ ‎60‎ 女 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 合计 ‎40‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎--------------------------------------------------4分(答任意对２个得2分)‎ ‎（2）在样本中有20位女士，其中有15位辅导孩子作业，其频率为 所以估计成人女士晚上八点至十点辅导孩子作业的概率为；---------7分 ‎（3）---------11分 可知有99%的把握认为“晚上八点至十点时间是否段辅导孩子作业与性别有关” ------------------12分 第18题图 ‎18．(本题12分)如图所示，在中，点在线段上，，，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断是否为等腰三角形．‎ 解：（1）因为，‎ 所以--------------------2分 在中，由正弦定理得：‎ ‎，即： ‎ 解得．--------------------5分 ‎（2）在中因为，所以 所以--------------------7分 ‎------11分 得，------11分 所以梯形是为等腰梯形．--------------------12分 第19题图 ‎19．如图所示，梯形中，，平面平面，且四边形为矩形，，，，．‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求点到平面的距离．　‎ 解：（1）‎ 又平面平面，且平面平面，面 面--------------------2分 又平面平面，‎ ‎，--------------------3分 在，，．‎ 在中，，，‎ ‎--------------------5分 又，面 面--------------------6分 ‎(2)由(1)可知为，且，‎ ‎ ‎ 作于，则 由已知平面平面，且平面平面，‎ ‎--------------------8分 在中，，，‎ ‎--------------------10分 设点到平面的距离为，则 ‎，解得：‎ 所以点到平面的距离为--------------------12分 ‎20．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为轴，其准线为.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)设直线，对任意的，抛物线C上都存在四个点到直线l的距离为，求的取值范围．‎ 解：(1)由题意可设：，则得，所以----------2分 ‎(2)设与直线平行的直线，要满足题设条件“对任意的抛物线C上都有四个点到直线l的距离为”，则有当与抛物线相切时，点到距离大于4恒成立，‎ 得：---------------------------------------5分 得 点到距离 所以不等式恒成立， ‎ 代入得 整理得：-------------------------------------9分 ‎①得，求得-------------------------------------10分 ‎②得 -------------------------------------11分 所以-------------------------------------12分 ‎21．设函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）若存在满足，证明成立.‎ 解：解：（1）由得 当时，从而得在上单调递增没有极值；-------------------------1分 当时，得；‎ ‎ 得；‎ ‎ 得；‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ 此时有极小值．-------------------------------------4分 ‎（2）由得：，从而得 ‎　　由(1)知当时，从而得在上单调递增，所以此时不成立------5分 可知此时，由于的极小值点为，可设 设 ‎　　　‎ ‎　　　-------------------------------------7分 ‎，仅当时取得“”‎ 所以在为单调递增函数且-------------------------------------9分 当，时有，即 又由，所以-------------------------------------11分 又由(1)知在上单调递减，且，‎ 所以从而得证成立。-------------------------------------12分 ‎（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．在平面直角坐标内，直线过点，且倾斜角以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为．‎ ‎(1)求圆的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线与圆交于两点，求的值．‎ 解：（1）由得，…………………2分 从而有即：…………………4分 ‎（2）由题意设直线的参数方程为即：…………………5分 代入圆的方程得…………………7分 整理得：‎ ‎，‎ 由且…………………9分 可知…………………10分 ‎23．已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）当，时，证明：.‎ 解：（1）由得 当时，得即：；…………………2分 当时，得即：；…………………4分 ‎（2）由…………………5分 由绝对值不等式得…………………7分 又因为同号，所以…………………8分 由基本不等式得：…………………9分 所以…………………10分