高中数学选修2-2课时练习第三章 2_1

高中数学选修2-2课时练习第三章 2_1

‎§2　导数在实际问题中的应用 ‎2．1　实际问题中导数的意义 ‎[学习目标]‎ ‎1．理解平均变化率与导数的关系．‎ ‎2．理解导数的实际意义．‎ ‎3．体会导数意义在实际生活中的应用．‎ ‎[知识链接]‎ 吹气球时，会发现：随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，能从数学的角度解释这一现象吗？‎ 答　根据题意V(r)＝πr3, 即r(V)＝ ，显然r′(V)＝′＝ ·V－>0，r(V)是单调递增函数，所以随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加．‎ 又(V－)′＝－·V<0，∴r′(V)是单调递减函数，因此增加得越来越慢．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．生活中的变化率问题 ‎(1)在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特．‎ ‎(2)在气象学中，通常把在单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨的一个重要指标．‎ ‎(3)在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本，f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本．‎ ‎2．导数在实际问题中的应用 在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合具体问题进行分析，在某一点处的导数的实际意义是当自变量在该点处的改变量趋近于零时，平均变化率所 趋近的值，问题不同有不同的意义．‎ ‎(1)功率是功关于时间的导数．‎ ‎(2)降雨强度是降雨量关于时间的导数．‎ ‎(3)边际成本是成本关于产量的导数．‎ ‎(4)速度是路程关于时间的导数．‎ ‎(5)线密度是质量关于长度的导数．‎ ‎(6)气球的膨胀率是气球半径关于体积的导数．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 要点一　导数在物理中的应用 例1　自由落体运动的运动方程为s＝gt2，①求t从3 s变到3.1 s时，s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；②求s′(3)(s的单位为m，t的单位为s)．‎ 解　①Δs＝s(3.1)－s(3)‎ ‎＝g×3.12－g×32＝‎0.305g(m)，‎ Δt＝3.1－3＝0.1(s)，‎ ‎∴＝＝‎3.05g(m/s)．‎ 它表示从t＝3 s到t＝3.1 s这段时间内，自由落体运动的物体的平均速度为‎3.05g(m/s)．‎ ‎②s′＝gt，∴s′(3)＝‎3g(m/s)．它表示自由落体运动的物体在t＝3 s时的瞬时速度为‎3g(m/s)．‎ 规律方法　函数的导数即函数的瞬时变化率，在不同的环境中可具有不同的实际意义，在本例中，t＝3时，即在3 s时的瞬时速度．‎ 跟踪演练1　高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝ s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．‎ 解　令t0＝，Δt为增量．则＝‎ ‎＝ ‎＝－4.9＋6.5，‎ ‎∴ ‎＝[－4.9＋6.5]＝0.‎ 即运动员在t0＝ s时的瞬时速度为‎0 m/s.‎ 说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．‎ 要点二　导数在经济生活中的应用 例2　东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600.‎ ‎(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；‎ ‎(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；‎ ‎(3)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义．‎ 解　(1)产量为1 000台时的总利润为 c(1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)，‎ 平均利润为＝5 000.6(元)．‎ ‎(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为＝＝2 000(元)．‎ ‎(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7 000x＋600)′＝－4x＋7 000，‎ ‎∴c′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)，‎ c′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)，‎ 说明：当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元．而当产量为 ‎1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元．‎ 规律方法　明确导数在实际问题中的意义是解答此类问题的关键，边际成本为生产成本y关于产量x的函数的导函数．‎ 跟踪演练2　已知某商品的成本函数为C(Q)＝100＋(Q为产品的数量)．‎ ‎(1)求Q＝10时的总成本、平均成本及边际成本；‎ ‎(2)当产量Q为多少时，平均成本最小？最小为多少？‎ 解　(1)Q＝10时的总成本C(10)＝100＋＝125；‎ Q＝10时的平均成本＝＝12.5.‎ 边际成本即成本函数C(Q)对产量Q的导数，‎ 故边际成本C′(Q)＝Q，‎ Q＝10时的边际成本是C′(10)＝5.‎ ‎(2)由(1)得，平均成本＝＝＋，‎ 而＋≥2·＝10，‎ 当且仅当＝，即Q＝20时，等号成立，‎ 所以当产量Q为20时，平均成本最小，且平均成本的最小值是10.‎ 要点三　导数在日常生活中的应用 例3　一名工人上班后开始连续工作，生产的产品质量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数表示为y＝f(x)＝＋4.‎ ‎(1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义．‎ ‎(2)求f′(1)，f′(4)，并解释它的意义．‎ 解　(1)当x从1 h变到4 h时，‎ 产量y从f(1)＝ (g)变到f(4)＝ (g)，‎ 此时平均变化率为＝＝ (g/h)，‎ 它表示从1 h到4 h这段时间这个人平均每小时生产 g产品．‎ ‎(2) f′(x)＝＋，于是f(1)＝ (g/h)，‎ f′(4)＝ (g/h)，‎ 分别表示在第1小时和第4小时这个人每小时生产产品 g和 g.‎ 规律方法　在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合具体问题进行分析，在某一点处的导数的实际意义是当自变量在该点处的改变量趋近于零时，平均变化率所趋近的值，问题不同有不同的意义．‎ 跟踪演练3　某年高考，某考生在参加数学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝2.‎ ‎(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义；‎ ‎(2)求f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义．‎ 解　(1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为＝＝.‎ 它表示该考生前36分钟平均每分钟解答道题．‎ ‎(2)∵f′(x)＝，‎ ‎∴f′(64)＝，f′(100)＝.‎ 它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答和道题．‎ ‎1．物体运动规律是s＝s(t)，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.＝＝ B.＝ C.＝ ＝ D.＝ 答案　A ‎2.‎ 如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　)‎ A．1　　　　　　 B．－1‎ C．2 D．－2‎ 答案　B 解析　 ＝＝＝－1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎3．如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为(　　)‎ A．6 B．‎18 C．54 D．81‎ 答案　B 解析　瞬时速度v＝ ＝ ＝‎ ‎.‎ ‎4．已知函数f(x)＝，在x从4变化到4＋Δx时，函数的平均变化率为________，f′(4)＝________.‎ 答案　　 解析　Δy＝f(4＋Δx)－f(4)＝－，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴f′(4)＝ ＝ ＝.‎ 导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、基础达标 ‎1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　)‎ A．在[x0，x1]上的平均变化率 B．在x0处的变化率 C．在x1处的变化率 D．以上都不对 答案　A ‎2．已知函数f(x)＝2x2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则等于(　　)‎ A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D．4x 答案　B 解析　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2×12＋1＝4Δx＋2(Δx)2，∴＝＝4＋2Δx.‎ ‎3．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　s′＝.当t＝4时，s′＝·＝.‎ ‎4．运动员在某段时间内的平均速度为0，则运动员在这段时间内(　　)‎ A．可能静止 B．一定静止 C．一定运动 D．以上都不对 答案　A 解析　平均速度为0，则位移为0，但瞬时速度不一定为零．‎ ‎5．一物体沿直线运动的方程为s(t)＝t4－t3＋2t2，那么速度为0的时刻为________．‎ 答案　0 s,1 s,4 s 解析　s′(t)＝t3－5t2＋4t，根据导数的意义可知 v＝s′(t)，令t3－5t2＋4t＝0，解得t＝0或t＝1或t＝4.‎ ‎6．已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比．如果车轮启动后转动第一圈需要0.8秒，转动开始后1秒内的平均角速度为________．‎ 答案　弧度/秒 解析　设t秒时车轮旋转角度为θ，‎ 则θ(t)＝kt2(k>0)，‎ 由题意可知，当t＝0.8时，θ＝2π，‎ 所以k＝，于是θ(t)＝t2.‎ 转动开始后1秒内的平均角速度为＝ ‎＝(弧度/秒)．‎ ‎7．已知某厂生产x件产品的成本为c＝25 000＋200x＋x2(元)．‎ ‎(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？‎ ‎(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？‎ 解　(1)设平均成本为y元，则 y＝＝＋200＋(x＞0)．‎ y′＝′＝－＋.‎ 令y′＝0，得x1＝1 000，x2＝－1 000(舍去)‎ 当在x＝1 000附近左侧时，y′＜0；在x＝1 000附近右侧时，y′＞0，故当x＝‎ ‎1 000时，y取得极小值．由于函数只有一个点使y′＝0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品．‎ ‎(2)利润函数为L＝500 x－＝300x－25 000－.∴L′‎ ‎＝(300x－25 000－)′＝300－；‎ 令L′＝0得x＝6 000，当x在6 000附近左侧时，L′＞0；当x在6 000附近右侧时L′＜0，故当x＝6 000时，L取得极大值．由于函数只有一个使L′＝0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．‎ 二、能力提升 ‎8．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线y＝4－x2上，则这种矩形中面积最大的矩形边长分别为(　　)‎ A．2， B.， C．2， D.，4‎ 答案　B 解析　设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x，y)，其中0＜x＜2，y＞0，则另一个在抛物线上的顶点为(－x，y)，在x轴上的两个顶点为(－x,0)，(x,0)．‎ 设矩形的面积为S，则S＝2x(4－x2)(0＜x＜2)，则S′＝8－6x2.‎ 令S′＝0，得x＝或x＝－(舍去)．‎ 当0＜x＜时，S′＞0；当＜x＜2时，S′＜0.‎ ‎∴当x＝时，S取得极大值，也就是最大值，此时，2x＝，4－x2＝.‎ ‎∴矩形的长和宽分别为和时，矩形的面积最大．‎ ‎9.如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)‎ 的图像为下图中的(　　)‎ 答案　D 解析　函数的定义域为[0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图像是上升的，且图像是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图像是上升的，且图像是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图像为平行于x轴的射线．‎ ‎10.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为、、，则三者的大小关系为________．‎ 答案　>> 解析　∵＝＝kOA；‎ ＝＝kAB；＝＝kBC.‎ 又∵kBC>kAB>kOA，‎ ‎∴>>.‎ ‎11．在自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位：m，t的单位：s)，求t＝20，Δt＝0.1,0.01时的Δs与.‎ 解　Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10(20＋Δt)＋5(20＋Δt)2－10×20－5×202＝5(Δt)2＋210Δt.‎ ＝5Δt＋210.‎ ‎∴当Δt＝0.1时，Δs＝5×0.12＋210×0.1＝21.05(m)，‎ ＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)．‎ 当Δt＝0.01时，Δs＝5×(0.01)2＋210×0.01‎ ‎＝2.100 5(m)，‎ ＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)，‎ 即当Δt＝0.1时，Δs＝‎21.05 m，＝‎210.5 m/s.‎ 当Δt＝0.01时，Δs＝2.100 ‎5 m，＝‎210.05 m/s.‎ ‎12．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么 ‎(1)在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？‎ ‎(2)若某种商品的p0＝5，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是多少？(精确到0.01)‎ 解　(1)∵ p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.‎ 根据基本初等函数导数公式，有p′(t)＝(1.05t)′‎ ‎＝1.05t·ln 1.05.‎ ‎∴p′(10)＝1.0510 ln 1.05≈0.08(元/年)．‎ 因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．‎ ‎(2)当p0＝5时，p(t)＝5×(1＋5%)t＝5×1.05t.‎ 由导数公式，p′(t)＝(5×1.05t)′＝5×1.05t×ln 1.05.‎ ‎∴p′(10)＝5×1.0510×ln 1.05≈0.40(元/年)．‎ 因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.40元/年的速度上涨．‎ 三、探究与创新 ‎13．日常生活中的饮用水通常是通过净化的，随着水纯净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝‎ (80

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