北京市房山中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

北京市房山中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

房山中学高二年级第二期期中考试数学试卷 一、选择题：‎ ‎1.若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p1＝(　　)‎ ξ ‎－1‎ ‎2‎ ‎4‎ P p1‎ A. 0 B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分布列的性质：所有随机变量对应概率的和为列方程求解即可.‎ ‎【详解】因为所有随机变量对应概率的和为，‎ 所以， ，‎ 解得，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查分布列的性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题.‎ ‎2. 甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7，那么，在一次预报中，甲、乙预报都准确的概率为( )‎ A. 0.7 ‎B. ‎0.56 ‎C. 0.64 D. 0.8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可知，甲、乙两站的预报准确率是相互独立的，故所求事件的概率P＝0.8×0.7＝0.56.‎ 考点：相互独立事件的概率.‎ ‎3.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用条件概率的计算公式即可得出．‎ ‎【详解】设事件表示某地四月份吹东风，事件表示四月份下雨．‎ 根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率．‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查条件概率的计算，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键，属于 基础题.‎ ‎4.，则等于（ ）‎ A. 32 B. ‎-32 ‎C. -33 D. -31‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先令x=0得1=.再令x=-1即得解.‎ ‎【详解】令x=0得1=.‎ 令x=-1得32=,‎ 所以.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查二项式定理求系数和差的值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5.5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为(　　)‎ A. 240种 B. 120种 C. 96种 D. 480种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘即可得答案．‎ ‎【详解】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素共有种可能，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有种可能，所以不同的分法种数为种，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合与分步计数原理，属于一般题．‎ ‎6.设随机变量，若,,则参数，的值为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由于随机变量，可知，，联立方程组，解得，．选B.‎ 点睛：二项分布中 ‎7.质点按规律作直线运动，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的定义,以及导数的计算,即可求得结果.‎ 详解】根据题意,对函数,有,又由,则,则有.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查导数的定义,以及导数的计算,属基础题.‎ ‎8.下列结论正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据常见函数的求导公式和导数的运算法则进行解答.‎ ‎【详解】A.由于,则,故A错误; ‎ B.由于,则,故B错误; ‎ C.由于,则,故C正确; ‎ D.由于,则,故D错误.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查导函数求导的公式,考查学生对公式理解运用能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎9.函数的导数为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用复合函数的求导法则可得，运算求得结果.‎ ‎【详解】令,则 ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查复合函数求导公式,考查学生对公式的理解辨析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎10.设，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得导函数，由此解方程求得的值.‎ ‎【详解】依题意，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题.‎ ‎11.曲线f(x)＝x3＋x－2的一条切线平行于直线y＝4x－1，则切点P0的坐标为(　 　)‎ A. (0，－1)或(1,0) B. (－1，－4)或(0，－2)‎ C. (1,0)或(－1，－4) D. (1,0)或(2,8)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为 解得 ，所以 ‎ ‎ 或者 ‎ 故选C．‎ ‎12.若一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”.那么在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）‎ A. 48 B. ‎36 ‎C. 24 D. 18‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两个顶点确定的直线包括：正方体的棱、面对角线、体对角线．依次寻找与上述三条直线垂直的包含四个顶点的平面，可以得到“正交线面对”的个数．‎ ‎【详解】①正方体的每一条棱，都与两个侧面垂直，可得个“正交线面对”．正方体共条棱，可得“正交线面对”个 ‎②正方体的每一条面对角线，都与一个对角面垂直，可得个“正交线面对”．正方体共条面对角线，可得“正交线面对”个 ‎③不存在与包含正方体的四个顶点的平面与正方体的体对角线垂直 综上所述：共有个 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题主要考察了常见几何体中的线面垂直关系，对空间想象能力有一定要求，属于基础题型．‎ 二、填空题 ‎13.已知函数，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用商的导数运算法则求出函数的导函数即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查导数的运算法则,解题关键是商的求导运算法则的应用,属于基础题.‎ ‎14.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有_____种.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 完成承建任务可分五步，由分步乘法计数原理可得结果.‎ ‎【详解】完成承建任务可分五步:‎ 第一步,安排1号有4种;‎ 第二步,安排2号有4种;‎ 第三步安排3号有3种;‎ 第四步,安排4号有2种;‎ 第五步,安排5号有1种.‎ 由分步乘法计数原理知,共有4×4×3×2×1=96种.‎ 故答案为96‎ ‎【点睛】本题考查分步乘法计数原理，正确分步是解题的关键，属于基础题.‎ ‎15.展开式的常数项为 ．（用数字作答）‎ ‎【答案】-160‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由，令得，所以展开式的常数项为.‎ 考点：二项式定理.‎ ‎16.一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位，若青蛙跳动次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为随机变量，则______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列举出所有的可能出现的情况,硬币4次都反面向上,则青蛙停止时坐标为,硬币3次反面向上而1次正面向上,硬币2次反面向上而2次正面向上,硬币1次反面向上而3‎ 次正面向上,硬币4次都正面向上,做出对应的坐标和概率,算出期望.‎ ‎【详解】所有可能出现的情况分别为 硬币4次都反面向上，则青蛙停止时坐标为,此时概率；‎ 硬币3次反面向上而1次正面向上,则青蛙停止时坐标为,此时概率；‎ 硬币2次反面向上而2次正面向上,则青蛙停止时坐标为,此时概率 硬币1次反面向上而3次正面向上，则青蛙停止时坐标为,此时概率；‎ 硬币4次都正面向上，则青蛙停止时坐标为,此时标率.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查学生分析问题的能力和计算求解能力,难度一般.‎ 三、解答题 ‎17.，且，，，；求的值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得导函数,根据已知条件代入解方程即可得出结果.‎ ‎【详解】解: ,‎ 由,可得;由,可得;，；可得,解得: ,则,即.‎ ‎【点睛】这是一道关于求三次函数解析式的题目,考查学生对导数公式的掌握,考查计算求解能力,属于基础题.‎ ‎18.若件产品中包含件废品，从中任取件产品．‎ ‎（1）求取出的件中至少有一件是废品的概率；‎ ‎（2）记件产品中废品数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】(1) (2)分布列见解析, .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)取出的件中至少有一件是废品的对立事件为取出的件全是合格品,求出对立的事件的概率,计算即可得出结果;‎ ‎(2)由题意可知件产品中废品数为可能取值为0,1,2,分别计算出概率即可得出结论.‎ ‎【详解】解:(1)设取出的件中至少有一件是废品为事件A,则取出的件全是合格品为,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(2)由已知可得X的可能取值为0,1,2.‎ ‎,,.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎.‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与期望,注意区分常见的分布（如二项分布、超几何分布等）,本题属于基础题.‎ ‎19.已知是曲线上动点以及定点，‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求面积的最小值，并求出相应的点的坐标．‎ ‎【答案】(1) ;(2) 的面积最小值为1,此时点坐标为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求得导函数,根据导数的几何意义,即可求得斜率和切点坐标,根据点斜式即可写出切线方程;‎ ‎(2)由坐标即可求得直线方程, 当点P为与平行且且与曲线相切的直线的切点时, 面积的最小值,根据导数的几何意义即可求得切点,利用点到直线距离公式即可求得P到AB的距离,进而求得面积.‎ ‎【详解】解: ,,.‎ ‎(1)当,,,即切点为,切线方程为,化简得: .‎ ‎(2)直线的方程为:,设与平行且与曲线相切的直线为即,解得:,则切点为,即点坐标为时, 的面积最小,, 到直线:的距离为,所以.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义,考查利用导数求切线方程和已知斜率求切点问题,难度较易.‎ ‎20.甲、乙两名运动员进行射击训练，已知他们击中环数都稳定在、、、环，且每次射击成绩互不影响．根据以往的统计数据，甲、乙射击环数的频率分布条形图如下：‎ 若将频率视为概率，回答下列问题：‎ ‎（1）甲、乙各射击一次，求甲、乙同时击中环的概率；‎ ‎（2）求甲射击一次，击中环以上（含环）的概率；‎ ‎（3）甲射击次，表示这次射击中击中环以上（含环）的次数，求的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】(1) ;(2) (3)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分别计算出甲乙各射击一次击中10环的概率,利用相互独立事件的概率公式计算即可;‎ ‎(2)甲射击一次,击中环以上（含环）即为甲射击一次,击中环和甲射击一次,击中10环,利用互斥事件的概率公式即可得出结果;‎ ‎(3)由(2)可知甲射击一次，击中环以上（含环）概率为0.8,可知.利用公式计算即可得出结果.‎ ‎【详解】(1) 设事件A表示甲运动员射击一次,恰好击中10环, 设事件B表示乙运动员射击一次,恰好击中10环, ,,所以甲、乙各射击一次,甲、乙同时击中环即.‎ ‎(2)设事件C表示甲运动员射击一次,恰好击中9环以上(含9环),则 ‎（3）由已知可得X可能取值为0,1,2,3,且 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.008‎ ‎0.096‎ ‎0.384‎ ‎0.512‎ 所以 ‎【点睛】本题考查相互独立事件的概率,考查二项分布的分布列和数学期望,考查运用概率知识解决实际问题的能力和计算求解能力,难度一般.‎ ‎ ‎