2020年浙江新高考数学二轮复习教师用书：第3部分 2 抢分攻略二 考前必会的15个规律、结论及方法
抢分攻略二 考前必会的15个规律、结论及方法
集合运算的重要结论
(1)A∩B⊆A，A∩B⊆B，A＝A∩A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)若A⊆B，则A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，则A⊆B.若A⊆B，则A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，则A⊆B.
(3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
函数单调性的重要结论
(1)单调函数必有反函数，且反函数与原函数有相同的单调性．
(2)f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．
(3)k>0，函数f(x)与kf(x)的单调性相同；k<0，函数f(x)与kf(x)的单调性相反．
(4)当f(x)恒不为0时，函数f(x)与的单调性相反．
(5)当f(x)非负时，f(x)与具有相同的单调性．
(6)当f(x)，g(x)同时为增(减)函数时，f(x)＋g(x)为增(减)函数．
(7)设f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于0时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于0时，f(x)·g(x)是减(增)函数．
(8)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．
(9)复合函数的单调性
已知μ＝g(x)在[a，b]上是单调递增(减)函数，y＝f(μ)在区间[g(a)，g(b)](或区间[g(b)，g(a)])上是单调递增(减)函数，那么复合函数y＝f(g(x))在[a，b]上一定是单调的，具体分为以下四种情况，可记为“同增异减”.
μ＝g(x)
y＝f(μ)
y＝f(g(x))
增函数
增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
减函数
增函数
减函数
减函数
减函数
增函数
函数奇偶性的重要结论
(1)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称．
(2)f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．
(3)偶函数的和、差、积、商是偶函数；奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数；奇函数与偶函数的积、商是奇函数．
(4)函数f(x)与kf(x)，(f(x)≠0)的奇偶性相同(其中k为非零常数)．
(5)复合函数f(g(x))的奇偶性
若f(x)为偶函数，则f(g(x))为偶函数．
若f(x)为奇函数，则当g(x)为奇函数时，f(g(x))为奇函数；当g(x)为偶函数时，f(g(x))为偶函数．
(6)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0.
(7)存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0.
函数图象平移变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度(c>0时向左平移，c<0时向右平移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数)．
(2)把y＝f(x)的图象沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度(b>0时向上平移，b<0时向下平移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数)．
函数图象伸缩变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0
0)的图象．
(2)把y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(01)到原来的倍，而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b>0)的图象．
可导函数与极值点之间的关系
(1)定义域D上的可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，并且f′(x)在x0两侧异号，若“左负右正”，x0为极小值点，若“左正右负”，x0为极大值点．
(2)函数f(x)在点x0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数y＝|x|，结合图象知它在x＝0处有极小值，但它在x＝0处的导数不存在．
(3)f′(x0)＝0既不是函数f(x)在x＝x0处取得极值的充分条件也不是必要条件，且要注意对极值点进行检验．
三角恒等变换的常用技巧
(1)常值代换：①“1”的代换，如1＝sin2θ＋cos2θ，
1＝2sin ＝2cos ＝sin ，1＝tan ；
②特殊三角函数值的代换．
(2)角的变换：涉及角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，常见的拆角、拼角技巧有2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝－＝(α＋2β)－(α
＋β)，＋α＝－，20°＝30°－10°等．
(3)已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加法或二倍角后再加减，观察是不是特殊角，只要是特殊角就可以从此入手．
常见解三角形的题型及其解法
(1)已知两角和一边，由三角形内角和定理求得第三个角，再由正弦定理计算另两边．
(2)已知两边和其中一边的对角，应用正弦定理求出另一边对角的正弦值，进而确定这个角，由三角形内角和定理求出第三个角，再次应用正弦定理求出第三边．还可以利用余弦定理列出以未知边为元的一元二次方程来求解，而且可以根据一元二次方程根的判别式来判断三角形解的情况．
(3)已知两边和它们的夹角，先利用余弦定理求出第三边，再利用余弦定理的推论求其他角．
(4)已知三边，连续利用余弦定理的推论求出两较小边的对角，再由三角形内角和定理求第三个角．
用向量法求最值常用到的结论
(1)由a·b＝|a||b|cos θ可知
a·b≤|a||b|，当a与b同向时取等号．
|a·b|≤|a||b|，当a与b平行时等号成立．
(a·b)2≤|a|2|b|2，当a与b平行时等号成立．
(2)|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，当a与b反向且|a|≥|b|时左边不等式取等号，当a与b同向时右边不等式取等号．
|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当a与b同向且|a|≥|b|时左边不等式取等号，当a与b反向时右边不等式取等号．
10等差数列的重要规律与推论
设Sn为等差数列{an}的前n项和，则
(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，p＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an.
(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)⇒ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.
(3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，构成的数列是等差数列．
(4)＝n＋是关于n的一次函数或常函数，数列也是等差数列．
(5)Sn＝＝＝＝….
(6)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.
(7)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.
(8)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．
11 等比数列的重要结论
(1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；反之，不一定成立(m，n，p，q∈N*)．
(3)a1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2…a3m，…，成等比数列(m∈N*)．
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…，成等比数列(n≥2，且n∈N*，k≥2，k∈N*，q≠－1)．
(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝q.
(6){an}，{bn}成等比数列，则{λan}，{}，{anbn}，{}成等比数列(λ≠0，n∈N*)．
(7)通项公式an＝a1qn－1＝·qn，从函数的角度来看，它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积，其图象是指数函数图象上一群孤立的点．
(8)与等差中项不同，只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数．
(9)三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个数成等比数列，通常设为，，xq，xq3.
12求数列通项公式的常用方法
(1)公式法：①等差数列的通项公式；②等比数列的通项公式．
(2)已知Sn(即a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：an＝
(3)已知a1·a2·…·an＝f(n)，求an，用作商法：an＝
(4)若an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)．
(5)若＝f(n)，求an，用累乘法：an＝··…··a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2)．
(6)构造等比数列法：若已知an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，设存在非零常数λ，使得an＋1＋λ＝p(an＋λ)，其中λ＝，则数列就是公比为p的等比数列，先求出数列
的通项公式，再求出数列{an}的通项公式即可．
[提醒] 1对通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求Sn时，要注意讨论n的奇偶性．
2在用等比数列的前n项和公式时，一定要分公比q＝1和q≠1两种情况进行讨论．
3用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求数列的通项公式时，需注意此等式成立的条件．
4一般地，当已知条件中含有an与Sn的关系时，常需运用关系式an＝Sn－Sn－1(n≥2)，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后求解．
5求数列{an}的通项公式，当遇到an＋1－an－1＝d或＝q(n≥2)时，要分奇数项、偶数项进行讨论，其结果多是分段形式．
13数列求和的常用方法
(1)公式法：①等差数列的求和公式；②等比数列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈N*.
(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．
(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项的和有其共性，则常考虑选用倒序相加法进行求和．
(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成的，那么常选用错位相减法将其和转化为“一个新的等比数列的和”，从而进行求解．
(5)裂项相消法：如果数列的通项可分裂成“两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用的裂项形式有①＝－；②＝.
14证明数列不等式的常用方法
(1)用比较法证明数列不等式
若待证不等式的两边均为关于n的整式多项式，常用作差比较法证明数列不等式．
(2)构造数列、利用数列单调性证明数列不等式
通过作差或作商的形式构造数列，其方法是将待证不等式一边变形为常数，另一边变形为关于n的关系式，且将该关系式构造关于n的数列后，能够判断该数列的单调性，
可以借助数列单调性证明不等式．
(3)与数列前n项和有关的不等式证明
与数列前n项和有关的不等式的证明方法主要有两种：一是若数列的通项能够直接求和，则先求和后，再根据和的性质证明不等式；二是若数列的通项不能够直接求和，则先放缩后再求和证明．
(4)用数学归纳法证明数列不等式
使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n＝k时不等式成立推证n＝k＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．
15二项式定理的性质
性质
内容
对称性
与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
当k<时，二项式系数逐渐增大；当k>时，二项式系数逐渐减小
最大值
当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn或Cn
各二项
式系数
的和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
特殊
赋值
设(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，记f(x)＝(a＋bx)n，则有f(0)＝a0，f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋an，f(－1)＝a0－a1＋a2－…＋(－1)nan，a0＋a2＋a4＋…＝[f(1)＋f(－1)]，a1＋a3＋a5＋…＝[f(1)－f(－1)]
