【数学】2020届一轮复习（文理合用）第8章第9讲第3课时定点、定值、探索性问题作业

【数学】2020届一轮复习（文理合用）第8章第9讲第3课时定点、定值、探索性问题作业

对应学生用书[练案64理][练案59文]‎ 第三课时　定点、定值、探索性问题 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋＝(　A　)‎ A．4　　　 B．2　　　‎ C．2　　　 D．3‎ ‎[解析]　设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设点P在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.又|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，所以在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos，化简得3a＋a＝4c2，两边同除以c2，得＋＝4.故选A．‎ ‎2．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点(　A　)‎ A．(－3,0)　　　 B．(0，－3)　　　‎ C．(3,0)　　　 D．(0,3)‎ ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝，所以·＝.又y＝2x1，y＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点(－3,0)．‎ ‎3．(2019·长春监测)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝(　A　)‎ A．1　　　 B．2　　　‎ C．4　　　 D． ‎[解析]　如图所示，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，从而|QF2|＝2，在△F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|＝1.故选A．‎ ‎4．(2019·沧州模拟)设点Q是直线l：x＝－1上任意一点，过点Q作抛物线C：y2＝4x的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k1，k2，F是抛物线的焦点，直线QF的斜率为k0，则下列结论正确的是(　D　)‎ A．k1－k2＝k0　　　 B．k1k2＝2k0‎ C．k1－k2＝2k0　　　 D．k1＋k2＝2k0‎ ‎[解析]　设点Q(－1，t)，由过点Q的直线y－t＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x相切，联立方程得整理得k2x2＋2(k2＋kt－2)x＋(k＋t)2＝0，则Δ＝4(k2＋kt－2)2－4k2(k＋t)2＝0，化简得k2＋tk－1＝0.显然k1，k2是关于k的方程k2＋tk－1＝0的两个根，所以k1＋k2＝－t.又k0＝－，故k1＋k2＝2k0.‎ 二、填空题 ‎5．(2019·山西重点中学联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1·k2的值为__3___.‎ ‎[解析]　由题意知，e＝＝＝2⇒b2＝3a2，则双曲线方程可化为3x2－y2＝3a2，设A(m，n)，M(x，y)(x≠±m)，则B(－m，－n)，k1·k2＝·＝＝＝3.‎ ‎6．直线m与椭圆＋y2＝1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为　－ 　.‎ ‎[解析]　由点差法可求出k1＝－·，‎ ‎∴k1·＝－，即k1k2＝－.‎ 三、解答题 ‎7．(2019·安徽模拟)设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．‎ ‎(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．‎ ‎[解析]　(1)因为焦距为1，所以2a2－1＝，解得a2＝.‎ 故椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝.‎ 由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝，‎ 直线F2P的斜率kF2P＝.‎ 故直线F2P的方程为y＝(x－c)．‎ 当x＝0时，y＝，即点Q坐标为(0，)．‎ 因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝.‎ 由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝·＝－1.‎ 化简得y＝x－(2a2－1)．①‎ 将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上．‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎[解析]　(1)依题意知F(0，)，圆心Q在线段OF的垂直平分线y＝上，‎ 因抛物线C的准线方程为y＝－.‎ 所以＝，即p＝1.‎ 因此抛物线C的方程为x2＝2y.‎ ‎(2)假设存在点M(x0，)(x0>0)满足条件，抛物线C在点M处的切线斜率为y′|x＝x0＝(‎ )′|x＝x0＝x0，‎ 所以直线MQ的方程为y－＝x0(x－x0)．‎ 令y＝，得xQ＝＋.‎ 所以Q(＋，)．又|QM|＝|OQ|，‎ 故(－)2＋(－)2＝(＋)2＋.‎ 因此(－)2＝.‎ 又x0>0，所以x0＝，此时M(，1)．‎ 故存在点M(，1)，使得直线MQ与抛物线C相切于点M.‎ B组能力提升 ‎1．(2019·大连模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于(　A　)‎ A．－4　　　 B．4　　　‎ C．p2　　　 D．－p2‎ ‎[解析]　①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝，则x1x2＝；②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设直线AB：y＝k(x－)，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，则x1x2＝.∵y＝2px1，y＝2px2，∴yy＝4p2x1x2＝p4.又∵y1y2<0，∴y1y2＝－p2.故＝－4.‎ ‎2．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　A　)‎ A．　　　 B． C．－1　　　 D．＋1‎ ‎[解析]　椭圆中“和”对应双曲线中“差”，故选A．事实上，设“黄金双曲线”方程为－＝1，‎ 则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)．‎ 在“黄金双曲线”中，‎ 因为⊥，所以·＝0.‎ 又＝(c，b)，＝(－a，b)．‎ 所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝ac.‎ 在等号两边同除以a2，解得e＝.‎ ‎3．已知直线y＝x与双曲线－＝1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝(　A　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．－　　　 D．－ ‎[解析]　由得x2＝1，得x＝±，不妨设A(，)，B(－，－)．因为P为双曲线上不同于A，B的点，设P(x0，y0)，则P(x0，y0)满足－＝1，kPA＝，kPB＝，所以kPA·kPB＝·＝＝＝＝.‎ ‎4．(2019·河南中原名校联考)直线l与抛物线y2＝4x交于两不同点A，B，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，若y1y2＝－36，则直线l恒过点的坐标是__(9,0)___.‎ ‎[解析]　设直线l的方程为x＝my＋n，则由得y2－4my－4n＝0，∴又y1y2＝－36，∴－4n＝－36，∴n＝9，∴直线l方程为x＝my＋9，恒过(9,0)．‎ ‎5．(2019·广东六校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，点P(2，－1)满足·＝1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设直线l经过点P且与C交于不同的两点M、N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)依题意，A1(－a,0)、A2(a,0)，又P(2，－1)，‎ ‎∴·＝(－a－2,1)·(a－2,1)＝5－a2，‎ 由·＝1，a>0，得a＝2，‎ ‎∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝1，‎ 故椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)存在．理由如下：假设存在满足条件的点Q(t,0)．‎ 当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意．‎ 因此直线l的斜率存在，设l：y＋1＝k(x－2)，‎ 由，消去y得 ‎(1＋4k2)x2－(16k2＋8k)x＋16k2＋16k＝0，‎ 则Δ＝[－(16k2＋8k)]2－4(1＋4k2)(16k2＋16k)＝－64k，‎ 由Δ>0，得k<0，‎ 设M(x1，y1)、N(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∵kQM＋kQN＝＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝，‎ ‎∴要使对任意k∈(－∞，0)，kQM＋kQN为定值，则t＝2，此时kQM＋kQN＝1.‎ 故在x轴上存在点Q(2,0)，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1.‎ ‎6．已知O为坐标原点，圆M：(x＋1)2＋y2＝16，定点F(1,0)，点N是圆M上一动点，线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q，点Q的轨迹为E.‎ ‎(1)求曲线E的方程；‎ ‎(2)已知点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E与y轴的交点分别为B1、B2，直线B1P和B2P分别与x轴相交于C、D两点，请问线段长之积|OC|·|OD|是不是定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由；‎ ‎(3)在(2)的条件下，若点C的坐标为(－1,0)，过点C的直线l与E相交于A、B两点，求△ABD面积的最大值．‎ ‎[解析]　(1)连接FQ，则|FQ|＝|NQ|，‎ ‎∴|MQ|＋|FQ|＝|MQ|＋|QN|＝|MN|＝4>|MF|，‎ 根据椭圆的定义得，E是以M(－1,0)，F(1,0)为焦点，4为长轴长的椭圆，‎ ‎∴2a＝4，即a＝2.‎ 又∵焦点为(1,0)，即c＝1，∴b2＝a2－c2＝4－1＝3.‎ 故点Q的轨迹E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)是定值 设P(x0，y0)(x0≠±2，y0≠±3)，‎ 不妨设B1在y轴负半轴上，‎ 则直线B1P的方程为y＝x－.‎ 令y＝0，得xC＝，同理得xD＝，‎ ‎∴|OC|·|OD|＝|xC|·|xD|＝||.‎ ‎∵点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点，‎ ‎∴＋＝1，即3x＝4(3－y)，‎ ‎∴|OC|·|OD|＝||＝4，‎ 因此|OC|·|OD|是定值，且定值为4.‎ ‎(3)当点C的坐标为(－1,0)时，点D(－4,0)，|CD|＝3，‎ 设直线l的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得 ‎(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ＝36(4m2＋4)，‎ y1,2＝，‎ ‎∴|y1－y2|＝，‎ ‎△ABD的面积S＝×|y1－y2|×3＝·＝＝.‎ ‎∵m2≥0，∴≥1，‎ 又函数y＝3x＋在[1，＋∞)上为增函数，‎ ‎∴3＋≥4，∴S≤，‎ ‎∴当m＝0，即直线AB的方程为x＝－1时，△ABD的面积最大，且最大值为.‎