2019年高考数学总复习检测第52讲　空间角及其计算

2019年高考数学总复习检测第52讲　空间角及其计算

第52讲　空间角及其计算 ‎　‎ ‎1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1与平面BDD1B1所成的角为(A)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ ‎ 取B1D1的中点E，连接C1E，BE，‎ 因为C1E⊥平面BDD1B1，所以∠C1BE即为所求角θ.‎ 因为sin θ＝＝，所以θ＝30°，选A.‎ ‎2．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为(B)‎ A．3 B．6 ‎ C．9 D．18‎ ‎ 棱锥的底面对角线长为2×2cos 60°＝2，高为2sin 60°＝3，设底面边长为a，则a＝2，所以a＝，‎ 所以底面面积为a2＝6，‎ 所以其体积V＝×6×3＝6，所以选B.‎ ‎3．已知二面角αlβ的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(B)‎ A．30° B．60°‎ C．90° D．120°‎ ‎4．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，若AB＝12，则A′B′＝(B)‎ A. 4 B．6 ‎ C．8 D．9‎ ‎ 连接AB′，设AB＝a，可得AB与平面α所成的角为∠BAB′＝，在Rt△BAB′中，有AB′＝a.‎ 同理可得AB与平面β所成的角为∠ABA′＝，‎ 所以A′A＝a.‎ 因此在Rt△AA′B′中，A′B′＝＝a，‎ 因为AB＝12，所以A′B′＝6，故选B.‎ ‎5．长为2a的线段AB在平面α内的射影线段A1B1的长为a，则直线AB与平面α所成的角的大小为　60°　.‎ ‎ 设直线AB与平面α所成的角为θ，则cos θ＝＝，则θ＝60°.‎ ‎6．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于　　.‎ ‎　　 如图，O为底面正△ABC的中心，则OP⊥平面ABC，∠PCO即为所求角，‎ 设AB＝1，‎ 则PC＝2，OC＝，‎ 所以cos ∠PCO＝＝.‎ ‎7．(2017·天津卷)如图，在四棱锥PABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.‎ ‎(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；‎ ‎(2)求证：PD⊥平面PBC；‎ ‎(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎ (1)如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．‎ 因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，‎ 所以AD⊥PD.‎ 在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝，‎ 故cos∠DAP＝＝.‎ 所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为.‎ ‎(2)证明：由(1)知AD⊥PD.又因为BC∥AD，所以PD⊥BC.‎ 又PD⊥PB，PB∩BC＝B，所以PD⊥平面PBC.‎ ‎(3)过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．‎ 因为PD⊥平面PBC，所以PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．‎ 由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.‎ 由已知，得CF＝BC－BF＝2.‎ 又AD⊥DC，所以BC⊥DC.‎ 在Rt△DCF中，可得DF＝＝2，‎ 在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝.‎ 所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.‎ ‎8．(2014·新课程卷Ⅱ)直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为(C)‎ A. B. C. D. ‎ 取BC的中点D，连接MN，ND，AD，‎ 由于MN綊B1C1綊BD，因此ND綊BM，‎ 则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角．‎ 设BC＝2，则BM＝ND＝，AN＝，AD＝，‎ 因此，cos∠AND＝＝.‎ ‎9．已知正四面体ABCD的棱长为a.‎ ‎(1)AC与平面 BCD所成角的余弦值为 　　；‎ ‎(2)二面角ABDC的平面角的余弦值为 　　.‎ ‎ 设A在底面BCD上的射影为O，连接OA，连接OC并延长与BD相交于E，连接AE.‎ ‎(1)因为AO⊥平面BCD，所以∠ACO就是AC与平面BCD所成的角．‎ 因为△BCD是正三角形，‎ 所以O是△BCD的中心．‎ 在Rt△AOC中，OC＝×a＝a，‎ 所以cos∠ACO＝＝.‎ 所以AC与平面BCD所成角的余弦值为.‎ ‎(2)因为四面体ABCD为正四面体，‎ 所以△BCD和△ABD都为正三角形，‎ 所以OE⊥BD且AE⊥BD，‎ 所以∠AEO为二面角ABDC的平面角，‎ 所以OE＝×a＝，AE＝a，‎ 所以cos∠AEO＝＝.‎ 所以二面角ABDC的平面角的余弦值为.‎ ‎10．如图，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，且PC＝a，E为PA的中点．‎ ‎(1)求证：平面BED⊥平面ABCD；‎ ‎(2)求PB与平面PAC所成角的正弦值；‎ ‎(3)求二面角DPAB的平面角的余弦值．‎ ‎ (1)证明：设AC交BD于O，连接OE，因为O是AC的中点，E是PA的中点，‎ 所以OE∥PC，又PC⊥平面ABCD，‎ 所以OE⊥平面ABCD，‎ 因为OE⊂平面BED，所以平面BED⊥平面ABCD.‎ ‎(2)连接OP，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，‎ 又PC⊥平面ABCD，所以BD⊥PC，‎ PC∩AC＝C，所以BD⊥平面PAC，‎ 所以OP是BP在平面PAC上的射影，‎ 所以∠BPO即为所求角．‎ 在Rt△BPO中，OB＝a，PB＝a，‎ 所以sin∠BPO＝＝.‎ 所以PB与平面PAC所成角的正弦值为.‎ ‎(3)过D作DF⊥PA于F，连接BF，由(2)知BD⊥PA，‎ DF∩BD＝D，所以PA⊥平面BFD，BF⊂平面BFD，‎ 所以PA⊥BF，‎ 所以∠DFB即是所求二面角的平面角．‎ 在△DFB中，可考虑用余弦定理求∠DFB.‎ 因为PD＝PA＝a，‎ 取AD的中点G，连接PG，则PG⊥AD，‎ PG＝＝a，‎ 由等面积法知AD×PG＝PA×DF，‎ 得DF＝＝a，‎ BF＝DF＝a，BD＝a，‎ 所以cos∠DFB＝＝－.‎ 所以二面角DPAB的平面角的余弦值为－.‎