河南省南阳市2019-2020学年高二上学期期中质量评估 数学

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2019 年秋期高中二年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1.本试卷分第 I 卷(选择題)和第 II 卷(非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡 的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素 笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 第 I 卷 选择题 (共 60 分） —、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1.不等式 1>1 x 的解集是 A. (-∞,l) B. (l,+ ∞) C. (0,1) D.(0，+∞) 2.在△ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c，若 sinA : sinB : sinC=3：4：6,则 有 A. cosAcosB>cosC C. cosB>cosA>cosC D. cosC>cosA>cosB 3.已知 Rcba ,, ，且 b>a ，则下列不等式一定成立的是 A. b 1<1 a B. 22 bc>xa C. 33 b>a D. 22 b>a 4.在等差数列{ na }中，若 24,4 83  Sa ,则 6a A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5.若实数 yx, 满足约束条件       0 043 043 yx yx yx ,则 yxz 23  的最大值是 6.已知数列{ na }为等比数列， nS 为其前 n 项和，且 tS 201920202018n   ，则常数 t A. 2017 2016 B. 2018 2017 C. 2019 2018 D. 2020 2019 7.在△ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c.若 060B ，BC 边上的中线 AD=b，则 a: b: c= A. 1:72 ： B. 2: 7 :3 C. 2: 6 :3 D. 1:2:3 8.记 nS 为数列{ na }的前 71 项和，且满足 1S0,< n1  naa  0,若数列{ na }为递增数列，则 实数  的取值范围为 A. >1 B.  <0 C.0<  <1 D. >1 或  <0 9.设 Ra ，若关于 x 的不等式 012  axx 在区间[1，2]上有解，则 a 的取值范围是 A. 2a B. 2a C. 2 5a D. 2 5a 10.已知点 M(3,l)和 N(4,6)在直线 023  axx 的两侧，则实数 a 的取值范围是 A. 0>a B. -7a 或 -7232  xax 的解集为 ),()1,(  b . (1)求 b,a 的值； (2)当 0>0,> yx ，且满足 1 b y x a 时，有 22 2  kkyx 恒成立，求 k 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分） 设△ABC 的内角 A、B、C 随对的边长分别为 a、b、c，且 cAbBa 5 3coscos  . (1)求 B A tan tan 的值； (2)求 )tan( BA  的最大值. 19.(本小题满分 12 分） 已知数列{ na }为单调递增数列， nS 为其前 n 项的和， naS n  2 n2 . (1)求{ na }的通项公式 ； (2)若 2 n 1   nnaab ，记 nS 为数列{ nb }的前 n 项的和，求 nS . 20.(本小题满分 12 分） 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，如 CABCA sinsin1coscoscos 222  . (1)求角 B 的大小； (2)若 3b ，求 ca 2 的最大值. 21.(本小题满分 12 分） 甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液 300mL，从甲容器中取出 100mL 溶液，将其 倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出 lOOmL 溶液，将其倒人甲容器中搅匀，这称为一次 调 和.已知第一次调和后，甲、乙两容器中溶液的浓度分别为 a1=20%，b1=2%,第 n 次调和后，甲、 乙两容器中溶液的浓度分别为 nn ba , . (1)请用 na 和 nb 分别表示 11,  nn ba ； (2)问至少经过多少次调和后，甲、乙两容器中溶液的浓度之差小于 0. 1%? 22.(本小题满分 12 分） 数列{ na } 满足 ,...3,2,1),2sin)2cos1(,2,1 22 221   nnanaaa nn  . (1)求 43,aa ，并求数列{ na }的通项公式; (2)设 nn n n bbbSa ab   ...,2 21 2 1 n ，求 nS . 2019 年秋期高中二年级期中质量评估 数学试题参考答案 一、选择 1-5 CBCAC 6-10 CBBDC 11-12 AB 二、填空 13. 1 14. （或填写 ） 15． 16. 63 11、解析：令 ，则 ，先利用迭加法，然后再利用错 位相减法，可以求得 ，代入即得. 另法：直接利用递推式计算，只计算每一项的个位数字，易得第十项的个位 数字为 5. 12、解析： 16、解析：设小贩原有柑桔数为 个， 第一人所得为： 第二个人所得为： 第二个人所得为： …… 第六个人所得为： 故： 解之得： 或：逆向分析，第 6 个人买时只有 1 个柑橘，第 5 个人买时只有 3 个柑橘，…… 三、解答题： 17、【解析】（1）由题意， 和 为方程 的两根，则 ，解之得， . ……………………5 分 （2）由（1）知， ………………8 分 因为 恒成立，则 ，解之得： .………………………………………………10 分 18、【解析】（1）（法 1）由正弦定理得 即 所以 =4. ……………………6 分 （法 2）由射影定理得， 又 所以， ， ，两式相除并结合正弦定理得 =4. ……………………6 分 （2）由（1）得 tanA=4tanB，故 A、B 都是锐角，于是 tanB>0 tan(A-B)= = ……………………10 分 ≤ ，且当 tanB= 时，上式取等号， 因此 tan(A-B)的最大值为 ……………………12 分 19、【解析】 (1)当 n＝1 时，2S1＝2a1＝a 2 1＋1， 所以(a1－1)2＝0，即 a1＝1， 又{an}为单调递增数列，所以 an≥1．…………………………2 分 由 2Sn＝a 2 n＋n 得 2Sn＋1＝a 2 n＋1＋n＋1，所以 2Sn＋1－2Sn＝a 2 n＋1－a 2 n＋1， 则 2an＋1＝a 2 n＋1－a 2 n＋1，所以 a 2 n＝(an＋1－1)2． 所以 an＝an＋1－1，即 an＋1－an＝1， 所以{an}是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， 故 an＝n．………………………………………………6 分 （2）由（1）知， ……………………8 分 则 = = …………………………………………12 分 20、【解析】（1）因为 ，故 ， …………………………2 分 由正弦定理可得， ， ………………………………4 分 由余弦定理得， ，又因为 ， 故 .……………………………………………………6 分 （2）因为 ， ，则有 ，………………8 分 = ，其中 ，…………10 分 故 的最大值为 …………………………………………12 分 21、【解析】（1）由题意知 .……………………6 分 （2）由（1）可得 ， 即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，………………8 分 则 ， 令 ，得 ，则 ，由 ，得 ，所以 . 故至少经过 9 次调和后，两容器中溶液的浓度之差小于 .………………12 分 22、【解析】(1)因为 ………………2 分 一般地，当 时， ＝ ，即 所以数列 是首项为 1、公差为 1 的等差数列，因此 ………4 分 当 时， 所以数列 是首项为 2、公比为 2 的等比数列，因此 …………6 分 故数列 的通项公式为 ………………8 分 (2)由(Ⅰ)知， ………………9 分 ① ② ①－②得， 所以 …………………………12 分