天津市静海区瀛海学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

天津市静海区瀛海学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

数学试卷 一、选择题：（本大题共8小题，每题3分共24分）‎ ‎1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=‎ A. {1} B. {3，5} C. {1，2，4，6} D. {1，2，3，4，5}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据补集的运算得．故选C.‎ ‎【考点】补集的运算.‎ ‎【易错点睛】解本题时要看清楚求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．‎ ‎2.下列各组函数中和表示相同的函数的是（ ）.‎ A. ， B. ，‎ C. 且)， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断两函数是否定义域相同且解析式一样，即可得解.‎ ‎【详解】解：．的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是相同函数；‎ ‎，解析式不同，不是相同函数；‎ ‎．且，，解析式不同，不是相同函数；‎ ‎．的定义域为，的定义域为 ‎，解析式和定义域都相同，是相同函数．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同．‎ ‎3.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 由，所以，‎ 所以，故选A.‎ ‎4.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称轴与区间端点值之间的关系,列式可解得结果.‎ ‎【详解】因为函数在区间上是减函数,‎ 所以,解得.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了利用二次函数的单调性求参数的取值范围,抓住图象的开口方向以及对称轴与区间端点的关系是解题关键,属于基础题.‎ ‎5.设函数，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由函数f（x）＝得即 或所以 考点：分段函数和解不等式．‎ ‎6.函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的定义域，然后利用复合函数法可求出函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】解不等式，解得或，函数的定义域为.‎ 内层函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，‎ 外层函数在上为减函数，‎ 由复合函数同增异减法可知，函数的单调递增区间为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎7.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知函数是由和复合而来，由复合函数单调性结论，只要在区间上单调递增且即可．‎ ‎【详解】解：令，由题意知：在区间上单调递增且，‎ ‎∴，解得：，‎ 则实数的取值范围是，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的关键，属于基础题．‎ ‎8.已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，可得，分别作出直线和函数的图象，平移直线即可得到的取值范围．‎ ‎【详解】解：作出函数的图象，‎ 令，可得，‎ 画出直线，平移可得当时，‎ 直线和函数有两个交点，‎ 则的零点有两个，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的零点问题的解法，注意运用数形结合的思想方法，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共6小题，每题3分共18分）‎ ‎9.已知全集为R，集合，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合A,再求A∪B得解.‎ 详解】由题得A={0,1},‎ 所以A∪B={-1,0,1}.‎ 故答案为{-1,0,1}‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎10.已知幂函数的图象过点，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 设幂函数，将代入，求得，进而可得结果.‎ ‎【详解】设幂函数，‎ 因为幂函数的图象过点，‎ 所以，解得，‎ 所以故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查幂函数的解析式，属于基础题.‎ ‎11.已知，则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，，然后求解表达式的值．‎ ‎【详解】解：，‎ 可得，，‎ ‎，‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用，属于基础题．‎ ‎12.已知函数（）的图像恒过定点，若点也在函数的图象上，则=____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数函数的性质知的图象过定点，此点也在函数的图象上，代入其解析式即可求得.‎ ‎【详解】由题意函数（）的图象恒过定点，‎ 故得， 又点也在函数的图象上， ‎ ‎∴，解得, 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数的的图象与性质，属于简单题. 函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.‎ ‎13.已知函数满足，当时，总有（）.若，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得是偶函数，且在是单调增函数．即可将转化为不等式，求解即可．‎ ‎【详解】解：由题意，是偶函数，且在是单调增函数，‎ 在上单调递减，‎ 转化为，‎ 两边平方得：，即，‎ 解得：或，‎ 所以实数的取值范围是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题．‎ ‎14.如果定义在上的奇函数在内是减函数，又有，则的解集为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意作出函数在其定义域上的草图，由可得出或，然后利用图象可得出不等式的解集.‎ ‎【详解】由题意可画出函数的草图，如图所示.‎ 因为，所以当时，，所以；‎ 当时，，所以.‎ 因此，不等式的解集为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查利用图象解函数不等式，解题的关键就是要结合函数的基本性质作出函数的草图，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ 三、解答题：（本大题共5题，58分）‎ ‎15.计算：‎ ‎（）．‎ ‎（）．‎ ‎【答案】（）；（）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（）直接利用指数幂的运算法则求解即可，解答过程注意避免符号错误；（）直接利用对数的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误.‎ ‎【详解】（）‎ ‎．‎ ‎（）‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则以及对数的运算法则，属于基础题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）.‎ ‎16.已知集合，，.‎ ‎（1）求.‎ ‎（2）若，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据并集的定义计算即可；‎ ‎（2）根据并集与空集的定义，计算即可．‎ ‎【详解】（1）∵集合，，‎ ‎∴；‎ ‎（2）由，‎ ‎①当时，，解得：；‎ ‎②当时，若，‎ 则，解得：；‎ 综上所述，实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查了集合间的基本关系，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．‎ ‎17.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.‎ ‎（1）求出函数在R上的解析式；‎ ‎（2）画出函数的图象，并根据图象写出的单调区间．‎ ‎（3）求使时的的值．‎ ‎【答案】（1）（2）函数图象见解析；的单调递减区间为；的单调递增区间为和.（3）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数为奇函数，结合奇函数性质即可求得解析式.‎ ‎（2）根据解析式，画出函数图象，结合函数图象即可判断单调区间.‎ ‎（3）由分段函数解析式，即可确定使时的的值．‎ ‎【详解】（1）函数是定义域为的奇函数，则满足，‎ 当时，，也满足，所以时，，‎ 当时，，‎ 所以，‎ 由奇函数性质，‎ 则，‎ 综上可得，函数的解析式为，‎ ‎（2）根据解析式，画出函数图象如下图所示：‎ 由函数图象可知，的单调递减区间为，‎ 的单调递增区间为和.‎ ‎（3）当，，‎ 即，解得或（舍），‎ 当时，，‎ 即，解得，‎ 综上可知，使时的的值为或.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，分段函数图象画法及单调区间求法，由函数值求自变量，属于基础题.‎ ‎18.已知函数．‎ ‎（）求的定义域．‎ ‎（）讨论的奇偶性．‎ ‎（）求使的的取值范围．‎ ‎【答案】（；（）奇函数；（）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（）由，即，得，从而可得结果；（），从而可得结论；，即使，结合，解不等式即可得结果.‎ ‎【详解】（），‎ ‎∴，‎ 即，‎ 得，‎ ‎∴定义域为．‎ ‎（），‎ ‎，‎ ‎∴是奇函数．‎ ‎（），‎ 即使，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 得．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数定义域、单调性以及对数函数的性质，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数） .‎ ‎19.已知函数 ‎（1）若是上的奇函数，求的值 ‎（2）用定义证明在上单调递增 ‎（3）若值域为，且，求的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由奇函数的定义可得恒成立，由此可求得值；‎ ‎（2）设且，，利用作差证明即可；‎ ‎（3）先根据反比例函数的单调性求出值域，然后由，可得关于的不等式组，解出即可；‎ ‎【详解】解：（1）因为为奇函数，所以 ‎，经检验满足奇函数定义，‎ ‎∴；‎ ‎（2）任取，令，‎ 则，‎ 所以为增函数；‎ ‎（3）由得，设值域为，且，‎ ‎，‎ 的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用及单调性的证明，属于中档题．‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的零点；‎ ‎（Ⅱ）若函数对任意实数都有成立，求函数的解析式；‎ ‎（Ⅲ）若函数在区间上的最小值为，求实数的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）1和3 （Ⅱ） （Ⅲ）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）代入a的值，令即可求得函数的零点.‎ ‎（Ⅱ）根据可知函数的对称轴为，进而求得a的值，即可得到解析式.‎ ‎（Ⅲ）讨论对称轴与区间位置关系，结合单调性和最小值，即可求得a的值..‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时， ，‎ 由可得或，所以函数的零点为1和3． ‎ ‎（Ⅱ）由于对任意实数恒成立，‎ 所以函数图像的对称轴为，即，解得．‎ 故函数的解析式为． ‎ ‎（Ⅲ）由题意得函数图像的对称轴为．‎ 当，即时， 在上单调递减，‎ 所以，解得．符合题意． ‎ 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，解得，与矛盾，舍去． ‎ ‎ 当，即时， 在上单调递增，‎ 所以，解得．符合题意．‎ 所以或．‎ ‎【点睛】本题考察函数零点的求法；学会根据函数等式分析函数对称轴，继而利用对称轴求参数值；根据二次函数区间上的最值求参数