2020届二轮复习函数与基本初等函数（二）学案（全国通用）
年 级： 辅导科目：数学 课时数：3
课 题 函数与基本初等函数（二）
教学目的
教学内容
第三节 函数的奇偶性
（一）高考目标
考纲解读
1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；
2．会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性．
考向预测
1．函数的奇偶性是函数的一个重要性质，为高考中的必考知识点．
2．常与函数的概念、图像、单调性、对称性等综合考查．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．函数的奇偶性
图像关于原点对称的函数叫作 奇函数 f(x)满足
图像关于 y 轴对称的函数叫作 偶函数 f(x)满足
当函数 f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有
（三）基础自测
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )
A．y＝－x3，x∈R B．y＝sinx，x∈R
C．y＝x，x∈R D．y＝(
1
2 )x，x∈R
[答案] A
[解析] y＝sinx 在 R 上不单调，y＝(
1
2 )x 不是奇函数，y＝x 为增函数，故 B、C、D 均错．
2．(教材改编题)下面四个结论中，正确命题的个数是( )
①偶函数的图像一定与 y 轴相交；
②函数 f(x)为奇函数的充要条件是 f(0)＝0；
③偶函数的图像关于 y 轴对称；
④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f(x)＝0(x∈R)．
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] A
[解析] ①错误，如函数 f(x)＝1
x2是偶函数，但其图像与 y 轴没有交点；②错误，因为奇函数的定义域可能不包
含 x＝0；③正确；④错误，既是奇函数又是偶函数的函数可以为 f(x)＝0，x∈(－a，a)．
3．(2018·上海宝山模拟)已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则( )
A．a＝1
3，b＝0 B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝3，b＝0
[答案] A
[解析] 由 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 为偶函数，得 b＝0.又定义域为[a－1,2a]，∴(a－1)＋2a＝0，∴a＝1
3.
4． (2009·重庆理)若 f(x)＝ 1
2x－1＋a 是奇函数，则 a＝______.
[答案]
1
2
[解析] 考查函数的奇偶性．
∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，即
1
2－1－1＋a＝－
1
2－1－a，∴a＝
1
2.
（四）典型例题
1.命题方向：奇偶性的判定
[例 1] 判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝(x－1)
1＋x
1－x； (2)f(x)＝
lg(1－x2)
|x－2|－2 ；
(3)f(x)＝Error!； (4)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3；
(5)f(x)＝x2－|x－a|＋2.
[解析] (1)由
1＋x
1－x≥0，得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，故 f(x)为非奇非偶函数．
(2)由Error!得定义域为(－1,0)∪(0,1)，这时 f(x)＝
lg(1－x2)
－(x－2)－2＝－
lg(1－x2)
x ，
∵f(－x)＝－
lg[1－－x2]
－x ＝
lg1－x2
x ＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．
(3)当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)
当 x>0 时，－x<0 则 f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)
∴对任意 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有 f(－x)＝f(x)，故 f(x)为偶函数．
另解：1°画函数 f(x)＝Error!的图像．图像关于 y 轴对称，故 f(x)为偶函数．
2°f(x)还可写成 f(x)＝x2－|x|，故为偶函数．
(4)由Error!得 x＝－ 3或 x＝ 3 ∴函数 f(x)的定义域为{－ 3， 3}
又∵对任意的 x∈{－ 3， 3}，f(x)＝0. ∴f(－x)＝f(x)＝－f(x)
(5)函数 f(x)的定义域为 R
当 a＝0 时 f(x)＝f(－x) ∴f(x)是偶函数
当 a≠0 时 f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－2|a|＋2
f(a)≠f(－a) 且 f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋2)＝2(|a|－
1
2)2＋
7
2≠0
∴f(x)是非奇非偶函数．
[点评] 第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．第二，
若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；
第三，利用定义进行等价变形判断．第四，分段函数应分段讨论，要注意据 x 的范围取相应的函数表达式或利用图像
判断．
跟踪练习 1
判断函数 f(x)＝
16－x2
|x＋5|－5的奇偶性．
[解析] 由题意知Error!解得－4≤x<0 或 0
－2t2＋k.
即对一切 t∈R 有 3t2－2t－k>0.从而判别式 Δ＝4＋12k<0，解得 k<－
1
3.
解法 2：由(1)知 f(x)＝
－2x＋1
2x＋1＋2，又由题设条件得
－2t2－2t＋1
2t2－2t＋1＋2＋
－22t2－k＋1
22t2－k＋1＋2<0，
即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)·(－22t2－k＋1)<0.
整理得 23t2－2t－k>1，因底数 2>1，故 3t2－2t－k>0.
上式对一切 t∈R 均成立，从而判别式 Δ＝4＋12k<0，解得 k<－
1
3.
跟踪练习 2
已知函数 f(x)＝1－ 4
2ax＋a(a>0 且 a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．
(1)求 a 的值；
(2)求函数 f(x)的值域；
(3)当 x∈(0,1]时，tf(x)≥2x－2 恒成立，求实数 t 的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即 f(－x)＝－f(x)恒成立，∴f(0)＝0.
即 1－ 4
2 × a0＋a＝0，解得 a＝2.
(2)∵y＝2x－1
2x＋1，∴2x＝1＋y
1－y，
由 2x>0 知1＋y
1－y>0，∴－10，且|x1|<|x2|，则有( )
A．f(－x1)＋f(－x2)>0 B．f(x1)＋f(x2)<0 C．f(－x1)－f(－x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
[答案] D
[解析] ∵x1<0，x2>0，|x1|<|x2|，∴0<－x1f(2)＝e2－e－2
2 >0，
因此 g(0)0 时，f(x)＝x＋4
x，且当 x∈[－3，－1]时，n≤f(x)≤m 恒成立，则 m－n 的最小
值是________．
[分析] 该题综合考查了函数的性质(单调性和奇偶性)，要求考生有一定的分析能力．
[答案] 1
[解析] 因为函数 f(x)＝x＋4
x在(0,2)上为减函数，在[2，＋∞)上为增函数，则当 x∈[1,3]时，4≤f(x)≤5.又函数 y＝f(x)
为偶函数，故当 x∈[－3，－1]时，4≤f(x)≤5，则 m－n 的最小值是 1.
第四节 幂函数
（一）高考目标
考纲解读
1．了解幂函数的概念．
2．结合函数 y＝x， ， 的图像，了解它们的变化情况．
考向预测
1．常以 5 种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图像与性质．
2．多以小题形式出现，常与函数性质、二次函数、方程、不等式交汇命题．
2 3,y yx x= = 11 2,y yx x−= =
（二）课前自主预习
知识梳理
1．幂函数概念
形如 (a∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是 ，a 为 ．
2．幂函数的图像
(以 y＝x， ， 为例)．
3．幂函数的图像和性质
(1)所有的幂函数在 都有定义，并且图像都过点 ．
(2 a)>0 时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是 ．
(3) a <0 时幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是 ．在第一象限内，当 x 从右边趋向于原点时，图
像在 y 轴右方无限地逼近 ，当 x 趋于＋∞时，图像在 x 轴上方无限地逼近 ．
(4)当α为奇数时，幂函数为 ；当α为偶数时，幂函数为 ．
4．这 5 个具体幂函数的性质
函数特征
性质 y＝x
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在第一
象限单调
性
在第一象限单
调递增
在第一象限单
调递增
在第一象限单
调递增
在第一象限单
调递增
在第一象限单
调递减
定点 (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) (1,1)
（三）基础自测
1．(教材改编题)在函数 y＝
1
x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1 中，幂函数的个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] B
[ 解析] 依据幂函数的定义，y ＝2x2 的系数不是 1 ，y ＝x2 ＋x 是两个函数的和的形式，y ＝1 也不同于 y ＝
x0(x≠0)，因此这三个都不是幂函数，只有 y＝
1
x2符合．
2．(2010·陕西宝鸡期末)函数 是 ( )
A．奇函数，并且在(0，＋∞)上为增函数
B．偶函数，并且在(－∞，0)上为减函数
ay x=
2 3,y yx x= = 11 2,y yx x−= =
2y x= 3y x= 1
2y x= 1y x−=
4
5y x=
C．奇函数，并且在(0，＋∞)上为减函数
D．偶函数，并且在(－∞，0)上为增函数
[答案] B
[解析] ＝5 x4，x∈R，且满足 f(－x)＝f(x)，故为偶函数．又
4
5>0，所以在第一象限内的图像是单调
递增，因此在(－∞，0)上为减函数
3.下列各组函数中，定义域相同的是（ ）
A. 与 B. 与
C． 与 D. 与
[答案] B
[解析]选项 A 中，y= 中 x＞0,y= 中 x R;选项 C，y= 中 x 0, y= 中，x R，选项 D 中， y=
中 X≠0，而 中 x＞0，故选 B.
4．下列命题：
①幂函数的图像都经过点(1,1)和点(0,0)；
②幂函数的图像不可能在第四象限；
③n＝0 时，函数 y＝xn 的图像是一条直线；
④幂函数 y＝xn，当 n>0 时是增函数；
⑤幂函数 y＝xn，当 n<0 时，在第一象限内函数值随 x 值的增大而减小
其中正确的是 ( )
A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤
[答案] D
[解析] y＝xα在α<0 时，图像不过(0,0)，故①错，n＝0 时，y＝x0 表示除去(0,1)点的直线，故③错；y＝xn，
在 n>0 时是增函数没有指明单调区间，如 y＝ 在(－∞，0)上是增函数是错误的，由幂函数的图像性质知②⑤正
确
5．已知点(
3
3 ，3 3)在幂函数 f(x)的图像上，则 f(x)是__________函数(填“奇”或“偶”)．
[答案] 奇
[解析]设 f(x)= ,则 = ，即 = ，故 a=-3.因此 ，故 f(x)是奇函数。
（四）典型例题
1.命题方向：幂函数的定义
[例 1] 已知 f(x)＝(m2＋2m) ，m 为何值时，f(x)是：
(1)正比例函数？(2)反比例函数？
(3)二次函数？(4)幂函数？
(5)在(4)的条件下，满足在(0，＋∞)上单调递增？
[分析] (1)(2)(3)(4)分别用相应函数的定义来确定 m 的值，(5)中则需考查幂函数的性质与幂指数之间的关系
[解析] (1)若 f(x)为正比例函数，则
4
5y x=
4y x−= 1
3y x= 3
2y x−= 12 2y x x−= +
3
2y x= 2
3y x= 1y x−= 1
2y x−=
4x− 1
3x ∈ 3
2x ≥ 2
3x ∈ 1x−
1
2y x−=
ax 3
3
a
3 3
1
23 a− 3
23 3( )f x x−=
2 1mmx + −
Error!⇒m＝1.
(2)若 f(x)为反比例函数，则Error!⇒m＝－1.
(3)若 f(x)为二次函数，则
Error!⇒m＝
－1 ± 13
2 .
(4)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1.∴m＝－1± 2.
(5)由(4)得 m＝－1± 2.
当 m＝－1＋ 2时，m2＋m－1＝1－ 2，f(x)＝x1－ 2在(0，＋∞)上单调递减，不合题意；
当 m＝－1－ 2时，m2＋m－1＝1＋ 2，f(x)＝x1＋ 2在(0，＋∞)上单调递增．
综上，m＝－1－ 2.
[点评] 本题考查各种函数的概念，需要根据相应函数的定义列出等式或不等式，并结合函数性质求出参数的值，
同时分清哪种条件下的函数是幂函数．
跟踪练习 1
如果幂函数 y＝(m2－3m＋3) 的图像不过原点，则 m 的取值是 ( )
A．－1≤m≤2 B．m＝1 C．m＝2 D．m＝1 或 m＝2
[答案] D
[解析] 由幂函数的定义，m2－3m＋3＝1，所以 m＝1 或 m＝2.又图像不过原点，所以 m2－m－2≤0，
解得－1≤m≤2.综上，m＝1 或 m＝2.
2.命题方向：幂函数的图像及其应用
[例 2] 点( 2，2)在幂函数 f(x)的图像上，点(－2，1
4)在幂函数 g(x)的图像上．
(1)求 f(x)，g(x)的解析式；
(2)问当 x 取何值时有：
①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)1 或 x<－1 时，f(x)>g(x)；
②当 x＝1 或 x＝－1 时，f(x)＝g(x)；
③当－1(1－b)b.
（五）思想方法点拨
幂函数性质的理解
1．当α>0 时，幂函数 y＝xα有下列性质：
①图像都过点(0,0)(1,1)；
②在第一象限内，函数值随 x 的增大而增大；
③在第一象限内，过(1,1)点后，图像向右上方无限伸展．
2．当α<0 时，幂函数 y＝xα有下列性质：
①图像都通过点(1,1)；
②在第一象限内，图像向上与 y 轴无限地接近，向右与 x 轴无限地接近；
③在第一象限内，过(1,1)点后，|α|越大，图像下落的速度越快．
3．(1)幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数．
(2)作函数 y＝xα的图像时，一般依据上述性质作出第一象限的图像，而后依据函数的奇偶性作出 x<0 的图像即
可．
(3)幂函数的图像无论α取何实数，其必经过第一象限，且一定不不经过第四象限．
（六）课后强化作业
一、选择题
1．如图所示函数图像中，表示 的是( )
[答案] D
[解析] 因为 2
3∈(0,1)，所以 的图像是抛物线型，且在第一象限图像上凸，又函数 是偶函数，故图
像应为 D.
2．(2018·中山模拟)给出下列三个等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，下列函数中不满足
任何一个等式的是( )
A．f(x)＝3x B．f(x)＝xα C．f(x)＝log2x D．f(x)＝kx(k≠0)
[答案] B
[解析] f(x)＝3x 满足 f(x＋y)＝f(x)·f(y)；f(x)＝log2x 满足 f(xy)＝f(x)＋f(y)；f(x)＝kx 满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
而 f(x)＝xα 不满足任何一个等式．
3．函数 y＝(m2－m－1)xm2－2m－3 是幂函数且在 x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数 m 的值为( )
A．－1 或 2 B.1 ± 5
2 C．2 D．－1
2
3y x=
2
3y x= 2
3y x=
[答案] C
[解析] 因为 y＝(m2－m－1)xm2－2m－3 是幂函数且在(0，＋∞)上是减函数，
所以Error!解得 m＝2.
4．设 n∈{－2，－1，－1
2，1
3，1
2，1，2，3}，则使得 f(x)＝xn 为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的 n 的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] B
[解析] 只有当 n＝－1 时，f(x)＝xn 为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减．
5．(2010·安徽文)设 ， ， 则 a，b，c 的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a
[答案] A
[解析] 该题考查幂函数和指数函数的性质．
对 b 和 c，考查指数函数 y＝(2
5)x，单调递减．故 ＜ ，即 bc，
∴a>c>b，故选 A.
6．若集合 A＝{y︳ ，－1≤x≤1}，B＝{y|y＝(
1
2 )x，x ≤ 0}，则 A∩B＝( )
A．(－∞，1) B．[－1,1] C．∅ D．{1}
[答案] D
[解析] 在－1≤x≤1 时，有－1≤y≤1；y＝(
1
2 )x，在 x≤0 时，有 y≥1，∴A∩B＝{1}．
7．(文)(09·山东)给出命题：若函数 y＝f(x)是幂函数，则函数 y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、
逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
[答案] C
[解析] 原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题是假命题，故否命题也为假．所以真命题个数为 1.
(理)函数 (n∈N 且 n>9)的图像可能是( )
2
53( )5
a =
3
52( )5
b =
2
52( )5
c =
3
52( )5
2
52( )5
y = 2
5x
2
53( )5
2
52( )5
y = 1
3x
y = 1
3x
9
ny x=
[答案] C
[解析] ∵f(－x)＝ = =f(x)，∴函数为偶函数，图像关于 y 轴对称，故排除 A、B.令 n＝18，则 y＝ ，
当 x≥0 时，y＝ ，由其在第一象限的图像知选 C.
8．把函数 f(x)＝x 3－3x 的图像 C1 向右平移 u 个单位长度，再向下平移 v 个单位长度后得到图像 C2，若对任意 u>0，
曲线 C1 与 C2 至多只有一个交点，则 v 的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3(x2－1)，令 f′(x)＝0，得 x＝±1.
∴x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上为增函数；
x∈(－1,1)时，f′(x)<0，f(x)在(－1,1)上为减函数；
x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故 f(x)极大值＝f(－1)＝2，f(x)极小值＝f(1)＝－2.
图像 C2 是由图像 C1 向右平移 u 个单位长度，向下平移 v 个单位长度所得到．当图像 C2 的极大值点与 C1 的极小值
点重合时，v 有最小值，如图所示，即 v 的最小值为 4.
二、填空题
9．(2018·南通模拟)已知幂函数 f(x)＝k·x α 的图像过点(
1
2， 2
2 )，则 k＋α＝________.
[答案] 3
2
[解析] f(x)＝k·xα 是幂函数，所以 k＝1，由幂函数 f(x)的图像过点(
1
2， 2
2 )，得 α＝1
2，则 k＋α＝3
2.
10．若 ，则它们的大小关系是________．
[答案] c
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