【数学】2019届一轮复习人教B版　应用“招法”，轻松破解含参零点问题学案

【数学】2019届一轮复习人教B版　应用“招法”，轻松破解含参零点问题学案

增分点 应用“三招五法”，轻松破解含参零点问题 根据函数的零点情况，讨论参数的范围是高考的重点和难点．对于此类题目，我们常利用零点定理、数形结合、函数单调性与分离参数等思想方法来求解．‎ ‎[典例] (2014·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为( )‎ A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)‎ C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)‎ ‎[思路点拨]‎ 本题的实质是函数f(x)存在唯一的零点x0∈(0，＋∞)，因此可利用其代数特征转化为方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解．‎ ‎[方法演示]‎ 法一 单调性法：利用函数的单调性求解 由已知得，a≠0，f′(x)＝3ax2－6x，‎ 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.‎ 当a>0时，x∈(－∞，0)，f′(x)>0；x∈，f′(x)<0；x∈，＋∞，f′(x)>0.所以函数f(x)在(－∞，0)和，＋∞上单调递增，在0，上单调递减，且f(0)＝1>0，故f(x)有小于零的零点，不符合题意．‎ 当a<0时，x∈－∞，，f′(x)<0；x∈，0，f′(x)>0；x∈(0，＋∞)，f′(x)<0.所以函数f(x)在－∞，和(0，＋∞)上单调递减，在，0上单调递增，所以要使f(x)有唯一的零点x0且x0>0，只需f>0，即a2>4，解得a<－2.‎ 法二 数形结合法：转化为直线与曲线的位置关系求解 由ax3－3x2＋1＝0可知x≠0，可得ax＝3－，作出y＝3－的图象如图所示，转动直线y＝ax，显然a>0时不成立；当a<0，直线y＝ax与左边的曲线相切时，设切点为t,3－，其中t<0，则切线方程为y－3－＝(x－t)．又切线过原点，则有0－3－＝(0－t)，解得t＝－1(t ‎＝1舍去)，此时切线的斜率为－2，由图象可知a<－2符合题意．‎ 法三 数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解 令f(x)＝0，得ax3＝3x2－1.问题转化为g(x)＝ax3的图象与h(x)＝3x2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．‎ 当a＝0时，函数g(x)的图象与h(x)的图象存在两个的交点；‎ 当a>0时，如图(1)所示，不合题意；‎ 当a<0时，由图(2)知，可先求出函数g(x)＝ax3与h(x)＝3x2－1的图象有公切线时a的值．由g′(x)＝h′(x)，g(x)＝h(x)，得a＝－2.由图形可知当a<－2时，满足题意．‎ ‎ ‎ 法四 分离参数法：参变分离，演绎高效 易知x≠0，令f(x)＝0，则a＝－，记g(x)＝－，g′(x)＝－＋＝，可知g(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单 调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g(－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y＝a，结合图象，可知a<－2.‎ 法五 特例法：巧取特例求解 取a＝3，则f(x)＝3x3－3x2＋1.由于f(0)＝1，f(－1)<0，从而f(x)在(－∞，0)上存在零点，排除A、C.‎ 取a＝－，则f(x)＝－x3－3x2＋1.由于f(0)＝1，f<0，从而f(x)在(－∞，0)上存在零点，排除D，故选B.‎ ‎[答案] B ‎[解题师说]‎ 函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思维能力，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度．‎ 由本题的五种方法，可知破解含参零点问题常有“三招”.‎ 第一招 带参讨论 当我们无法通过等价转化的思想将原问题转化为相对容易的问题时，我们要根据题设要求直接研究函数的性质．由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类，并逐一求解．(如本题解法一)‎ 第二招 数形结合 由两个基本初等函数组合而得的超越函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点个数，等价于方程g(x)－h(x)＝0的解的个数，亦即g(x)＝h(x)的解的个数，进而转化为基本初等函数y＝g(x)与y＝h(x)的图象的交点个数．(如本题解法二和解法三)‎ 第三招 分离参数 通过将原函数中的变参量进行分离后变形成g(x)＝l(a)，则原函数的零点问题化归为与x轴平行的直线y＝l(a)和函数g(x)的图象的交点问题．(如本题解法四)‎ ‎[应用体验]‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )‎ A．－ B. C. D．1‎ 解析：选C 法一：由函数f(x)有零点，得x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝0有解，‎ 即(x－1)2－1＋a(ex－1＋e－x＋1)＝0有解，‎ 令t＝x－1，则上式可化为t2－1＋a(et＋e－t)＝0，‎ 即a＝.‎ 令h(t)＝，易得h(t)为偶函数，‎ 又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y＝a有唯一交点，则此交点的横坐标为0，‎ 所以a＝＝，故选C.‎ 法二：由f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.‎ ex－1＋e－x＋1≥2＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．‎ ‎－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．‎ 若a>0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥‎2a，‎ 要使f(x)有唯一零点，则必有‎2a＝1，即a＝.‎ 若a≤0，则f(x)的零点不唯一．‎ 综上所述，a＝.‎ ‎2．设m∈N，若函数f(x)＝2x－m＋10存在整数零点，则符合条件的m 的个数为( )‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：选C 令f(x)＝0，得m＝.又m∈N，因此有解得－5≤x＜10，x∈ ，‎ ‎∴0＜≤.‎ 当2x＋10＝0，即x＝－5时，m＝0；‎ 当2x＋10≠0时，要使m∈N，则需∈N，‎ 当＝1，即x＝9时，m＝28；‎ 当＝2，即x＝6时，m＝11；‎ 当＝3，即x＝1时，m＝4，‎ 所以符合条件的m的个数为4.‎ ‎3．设函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝a有4个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则＋的取值范围是( )‎ A．(－3，＋∞) B．(－∞，3)‎ C．[－3,3) D．(－3,3]‎ 解析：选D 在同一坐标平面内画出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，当且仅当a∈(0,2]时，直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有4个不同的交点，即方程f(x)＝a有4个不同的解，此时有x1＋x2＝－4，|log2x3|＝|log2x4|(0＜x3＜1＜x4≤4)，即有－log2x3＝log2x4，x3x4＝1，所以＋＝x4－(1＜x4≤4)，易知函数y＝x4－在区间(1,4]上是增函数，因此其值域是(－3,3]．‎ ‎4．若函数f(x)＝ex－ax2有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C. D. 解析：选A 函数f(x)＝ex－ax2有三个不同的零点等价于函数y＝ex与y＝ax2的图象有三个不同的交点，则显然有a>0，且在(－∞，0)上两函数的图象有一个交点．当x>0时，设两函数图象在点(x0，ex0)处相切，则解得由图易得若两函数图象有两个不同的交点，则a> ‎，即实数a的取值范围为.‎ 一、选择题 ‎1．(2018·贵阳检测)已知函数f(x)＝ln(x2－4x－a)，若对任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是( )‎ A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)‎ C．(－∞，－4] D．[－4，＋∞)‎ 解析：选D 依题意得，函数f(x)的值域为R，令函数g(x)＝x2－4x－a，其值域A包含(0，＋∞)，因此对方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋‎4a≥0，解得a≥－4，即实数a的取值范围是[－4，＋∞)．‎ ‎2．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图象有两个不同的公共点，则实数a的值是( )‎ A．n(n∈ ) B．2n(n∈ )‎ C．2n或2n－(n∈ ) D．n或n－(n∈ )‎ 解析：选C 依题意得，函数y＝f(x)是周期为2的偶函数，画出函数的大致图象如图所示．在[0,2)上，由图象易得，当a＝0或－时，直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图象有两个不同的公共点，∵函数f(x)的周期为2，∴a的值为2n或2n－(n∈ )．‎ ‎3．(2018·洛阳第一次统考)若函数f(x)＝ln x－ax2＋x有两个零点，则实数a的取值范围是( )‎ A．(－∞，1) B．(0,1)‎ C. D. 解析：选B 依题意，关于x的方程ax－1＝有两个不等的正根．记g(x)＝，则g′(x)＝，当00，g(x)在区间(0，e)上单调递增；当x>e时，g′(x)<0，g(x)在区间(e，＋∞)上单调递减，且g(e)＝，当00，且直线y＝－ax＋1与y＝ln x相切于点P(x0，ln x0)时，切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，‎ 将x＝0，y＝1代入得ln x0＝2，即x0＝e2，k＝＝，‎ 所以a＝－，‎ 所以当a≥－时，直线y＝－ax＋1与y＝ln x的图象只有一个交点，即f(x)只有一个零点，故a的最小值为－.‎ ‎5．(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝－kx(e为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k的取值范围是( )‎ A．(0,2) B. C．(0，e) D．(0，＋∞)‎ 解析：选B 由题意，知x≠0，函数f(x)有且只有一个零点等价于方程－kx＝0只有一个根，即方程＝k只有一个根，设g(x)＝，则函数g(x)＝的图象与直线y＝k只有一个交点．‎ 因为g′(x)＝，由g′(x)>0，得x>2或x<0；‎ 由g′(x)<0，得00，于是c<，‎ 从而>＝1＋－2，‎ 对满足02.‎ ‎8．(2018·湘中名校联考)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若x10，函数g(x)在(0,1)内单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点；当20，所以函数g(x)在内单调递减，在内单调递增，所以g(x)min＝gln＝a－aln＋b＝‎2a－aln－e2＋1.令h(x)＝2x－xln－e2＋1＝2x－xln x＋xln 2－e2＋1(20，h(x)为增函数，当x∈(2e,2e2)时，h′(x)<0，h(x)为减函数，所以h(x)max＝h(2e)＝2e－e2＋1<0，即g(x)min<0恒成立，‎ 所以函数g(x)在(0,1)内有两个零点，‎ 则解得e2－3，所以a>1＋，故实数a的取值范围是.‎ 二、填空题 ‎13．若对任意的实数a，函数f(x)＝(x－1)ln x－ax＋a＋b有两个不同的零点，则实数b的取值范围是________．‎ 解析：由f(x)＝(x－1)ln x－ax＋a＋b＝0，得(x－1)ln x＝a(x－1)－b.设g(x)＝(x－1)ln x，h(x)＝a(x－1)－b，则g′(x)＝ln x－＋1，因为g′(x)＝ln x－＋1在(0，＋∞)上是增函数，且g′(1)＝0，所以当0＜x＜1时，g′(x)＜0，当x＞1时，g′(x)＞0，所以g(x)在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，又g(1)＝0，所以函数g(x)的大致图象如图所示．易知h(x)＝a(x－1)－b的图象是恒过点(1，－b)的直线，当－b＞0，即b＜0时，易知对任意的实数a，直线h(x)＝a(x－1)－b与函数g(x)的图象始终有两个不同的交点，即函数f(x)＝(x－1)ln x－ax＋a＋b有两个不同的零点；当b＝0时，若a＝0，则h(x)＝0，其图象与函数g(x)的图象只有一个交点，不满足；当－b＜0，即b＞0时，由图易知，不满足对任意的实数a，直线h(x)＝a(x ‎－1)－b与函数g(x)的图象始终有两个不同的交点．综上可知，b＜0.‎ 答案：(－∞，0)‎ ‎14．已知函数f(x)＝与g(x)＝a(x＋1)的图象在(－1,1]上有2个交点，若方程x－＝‎5a的解为正整数，则满足条件的实数a的个数为________．‎ 解析：在同一坐标系中作出函数f(x)与g(x)的图象如图所示，结合图象可知，实数a的取值范围是.由x－＝‎5a，可得x2－5ax－1＝0，设h(x)＝x2－5ax－1，当x＝1时，由h(1)＝1－‎5a－1＝0，可得a＝0，不满足题意；当x＝2时，由h(2)＝4－‎10a－1＝0，可得a＝，满足题意；当x＝3时，由h(3)＝9－‎15a－1＝0，可得a＝，不满足题意．又函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故满足条件的实数a的个数为1.‎ 答案：1‎ ‎15．若函数f(x)＝x2＋－aln x(a>0)有唯一的零点x0，且m0)，‎ 则y1′＝2x－，y2′＝(a>0)．‎ ‎∵函数f(x)＝x2＋－aln x(a>0)有唯一的零点x0，∴函数y1＝x2＋，y2＝aln x的图象有公切点(x0，y0)，则⇒x＋－2ln x0＝0.‎ 构造函数g(x)＝x2＋－2ln x(x>0)，‎ 则g(1)＝3，g(2)＝4＋1－2×ln 2＝5－7ln 2，‎ 欲比较5与7ln 2的大小，可比较e5与27的大小，‎ ‎∵e5>27，∴g(2)>0，‎ 又g(e)＝e2＋－2＝－e2＋<0，‎ ‎∴x0∈(2，e)，∴m＝2，n＝3，∴m＋n＝5.‎ 答案：5‎ ‎16．已知函数f(x)＝x2－xln x－k(x＋2)＋2在，＋∞上有两个零点，则实数k的取值范围为________．‎ 解析：f(x)＝x2－xln x－k(x＋2)＋2在上有两个零点，即关于x的方程x2－xln x＋2＝k(x＋2)在上有两个不相等的实数根．令g(x)＝x2－xln x＋2，所以当x∈时，直线y＝k(x＋2)与函数g(x)＝x2－xln x＋2的图象有两个不同的交点．设直线y＝k0(x＋2)与函数g(x)＝x2－xln x＋2，x∈的图象相切于点(x0，y0)，g′(x)＝2x－ln x－1，则有由此解得x0＝1，k0＝1.令h(x)＝g′(x)＝2x－ln x－1，则h′(x)＝2－，且x≥，所以h′(x)≥0，故h(x)在上单调递增，h(x)≥h＝ln 2＞0，所以g(x)在上单调递增，g＝＋ln 2，作出y＝g(x)的大致图象，如图所示，当直线y＝k(x＋2)经过点时，k＝＋.又当直线y＝k(x＋2)与g(x)的图象相切时，k＝1.结合图象可知，k的取值范围是.‎ 答案：