江西省名师联盟2020届高三入学调研考试数学（理）试题 Word版含解析

江西省名师联盟2020届高三入学调研考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020届高三入学调研考试卷 理科数学 注意事项：‎ ‎1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.‎ ‎2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则的子集个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解二次不等式可得，再由集合的交集的运算=,再由元集合的子集个数为，代入运算即可得解.‎ ‎【详解】解:解二次不等式得，解得,即,又,所以=,即的子集个数为,故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了二次不等式的解法、集合交集的运算及集合真子集的个数，重点考查了集合的思想，属基础题.‎ ‎2.已知复数，则在复平面上对应的点所在象限是（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则算出即可 ‎【详解】，，‎ 在复平面对应的点的坐标为，所在象限是第四象限.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查的是复数的运算及几何意义，较简单.‎ ‎3.在等差数列{an}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（ ）‎ A. ﹣5 B. ﹣7 C. ﹣9 D. ﹣11‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由a3＝5，S4＝24用通项公式和前项和公式列出关于,的方程，得到的通项公式，从而求出答案.‎ ‎【详解】数列{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，‎ ‎∵a3＝5，S4＝24，‎ ‎∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，‎ 联立解得a1＝9，d＝﹣2，‎ 则a9＝9﹣2×8＝﹣7．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式的应用，属于基础题.‎ ‎4.下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 考查选项A，检验是否恒成立，再利用导数来判断函数的单调性即可；‎ 考查选项B，,即不恒成立，即函数不为奇函数，‎ 考查选项C，函数的增区间为，则函数在定义域上不单调，‎ 考查选项D，,即不恒成立，即函数不为奇函数，‎ 得解.‎ ‎【详解】解：对于选项A，恒成立，且，‎ 即函数为奇函数且为增函数，‎ 对于选项B，，则函数不为奇函数，‎ 对于选项C，，函数的增区间为，函数在不为增函数，‎ 对于选项D，，则函数不为奇函数，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性，重点考查了函数的单调区间与函数的定义域，属中档题.‎ ‎5.中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可 ‎【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共种，‎ 而相生有5种，则抽到的两种物质不相生的概率 故选：D ‎【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.‎ - 25 -‎ ‎6.设是两平面，是两直线.下列说法正确的是（ ）‎ ‎①若，，则 ‎②若，，则 ‎③若，，则 ‎④若，，，，则 A. ①③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平行和垂直的有关定理逐一判断即可 ‎【详解】由平行公理知①对，‎ 由线面垂直的性质定理知②对，‎ 垂直于同一直线的两个平面平行，故③对，‎ 由面面垂直性质定理知④对.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查的是空间中平行和垂直有关的定理，属于基础题.‎ ‎7.下图是一程序框图，若输入的，则输出的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ 依次列出此程序框图的运行步骤即可 ‎【详解】运行程序框图，，；，；，，‎ 输出.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查的是程序框图的知识，较简单.‎ ‎8.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ）‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由图象求出的解析式，然后根据三角函数的平移变换选出答案即可 ‎【详解】由题意知，由于，故，‎ 所以，，‎ 由，求得，‎ 故，‎ ‎，‎ - 25 -‎ 故需将图像上所有点向左平移个单位长度得到.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查的是根据三角函数的图象求解析式及图象的平移变换，较简单.‎ ‎9.的展开式中x2y2项的系数是（　　）‎ A. 420 B. ﹣420 C. 1680 D. ﹣1680‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意根据乘方的意义，组合数的计算公式，求得展开式中x2y2项的系数.‎ ‎【详解】解：表示8个因式的乘积，‎ 要得到展开式中含x2y2的项，则 故其中有2个因式取2x，有2个因式取﹣，‎ 其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项．‎ 故展开式中x2y2项的系数是•22•• • ＝420，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查乘方的意义，组合数的计算公式，属于基础题.‎ ‎10.太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点，则的取值范围是　　‎ - 25 -‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合图形，平移直线，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．‎ ‎【详解】如图，作直线，当直线上移与圆相切时，取最大值，‎ 此时，圆心到直线的距离等于1，即，‎ 解得的最大值为：，‎ 当下移与圆相切时，取最小值，‎ 同理，即的最小值为：，‎ 所以．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎11.已知双曲线（）的右焦点为 - 25 -‎ 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知条件求出的中点的坐标，再代入到另一条渐近线方程中求解即可.‎ ‎【详解】解：由双曲线，‎ 则其渐近线方程为，‎ 因 由图可知：‎ ‎ ‎ 不妨设A,则B,‎ 又，可得AF的中点坐标为，‎ 所以，‎ 解得：，‎ 故选C.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，属中档题.‎ ‎12.已知函数，（为实数），若存在实数，使得对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的单调性，得出，即，然后求出右边的最小值即可 ‎【详解】，则，‎ 若，可得，函数为增函数，当时，，‎ 不满足对任意恒成立；‎ 若，由，得，则，‎ 当时，，当时，，‎ - 25 -‎ ‎，‎ 若对任意恒成立，则恒成立，‎ 若存在实数，使得成立，‎ 则，，‎ 令，‎ 则.‎ 当时，，当时，，‎ 则.‎ ‎.即实数的取值范围是.‎ 故选：A ‎【点睛】1.本题考查的是利用导数解决函数的单调性问题，属于较难题 ‎2.恒成立问题一般通过分离变量法转化为最值问题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.平面内不共线的三点，满足，，点为线段的中点，若，则__________.‎ ‎【答案】120°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平方即可算出，然后即可得出答案 ‎【详解】点为线段的中点，，‎ ‎，‎ 解得，‎ - 25 -‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的是数量积的有关的运算，较简单.‎ ‎14.已知数列中，，且，，数列的前项和为，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，即数列是以2为首项，以为公比的等比数列，即可求出，进而求得 ‎【详解】因为，所以，‎ 因为，所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列，‎ 所以，即，‎ ‎，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的是数列通项公式及前n项和的求法，属于基础题.‎ ‎15.已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于、，且，点是弧（为原点）上一动点，以为圆心的圆与直线相切，当圆的面积最大时，圆的标准方程为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线的斜率，可得出直线的方程，再利用当点到直线的距离最大时，圆的面积最大，由此求出点的坐标，并计算出点到直线的距离，作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程.‎ - 25 -‎ ‎【详解】抛物线的标准方程为，抛物线的焦点坐标为，‎ 直线的斜率，‎ 所以，直线的方程为，即.‎ 当点到直线的距离最大时，圆的面积最大，如下图所示：‎ 设点，点在直线的下方，则，‎ 点到直线的距离为，当时，取最大值，‎ 此时，点的坐标为，因此，圆的标准方程为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎16.已知正三棱柱的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线 - 25 -‎ 与所成角的余弦值等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正三棱柱的底面边长为，高为，球的半径为，先得出，然后，即时其外接球的表面积取最小值。然后由余弦定理即可求出 ‎【详解】设正三棱柱的底面边长为，高为，球的半径为，由题意知，即，‎ 底面外接圆半径，‎ 由球的截面圆性质知，‎ 当且仅当时取等号，将三棱柱补成一四棱柱，如图，知，‎ 即为异面直线与所成角或补角，，‎ ‎，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】异面直线所成的角一般是通过平移转化成相交直线所成的角.‎ - 25 -‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在中，角所对的边分别为，若，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）当时，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件得，即，从而得出，即，进而可算出 ‎（2）根据正弦定理求出即可 ‎【详解】，‎ ‎，‎ 即.‎ ‎，，，则.‎ ‎（2），，，‎ ‎，，‎ 由正弦定理，可得，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查的是正余弦定理及三角函数的变换，属于常见题型.‎ - 25 -‎ ‎18.如图，正三棱柱的所有棱长都是2，分别是的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明平面即可 ‎（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量即可.‎ ‎【详解】（1），是的中点，，‎ 平面，平面平面，‎ 平面，.‎ 又在正方形中，分别是的中点，‎ 易证得：，，‎ ‎，，即.‎ 又，平面，平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）取中点，以为轴建立空间直角坐标系，‎ - 25 -‎ ‎，，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 设平面的一个法向量为，则，‎ 令，则，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，‎ 令，则，‎ 设二面角的平面角为，观察可知为锐角，‎ ‎，‎ 故二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】立体几何中，求线线角、线面角、面面角常用的方法是向量法.‎ ‎19.已知是椭圆左、右焦点，圆（）与椭圆有且仅有两个交点，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ - 25 -‎ ‎（2）过正半轴上一点的直线与圆相切，与椭圆交于点，若，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件可得，然后将点代入可求出 ‎（2）设斜率为，，先由直线与圆相切可得，然后联立直线与椭圆的方程可得，，然后由可得，然后可求出 ‎【详解】（1）依题意，得，所以，‎ 所以椭圆为，将点代入，解得，则，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由题意知直线的斜率存在，设斜率为，（），‎ 则直线方程为，‎ 设，，直线与圆相切，则，即，‎ 联立直线与椭圆方程，消元得，‎ ‎，，，‎ 因为，所以，即，，‎ 所以，解得，即，，‎ - 25 -‎ 所求直线方程为.‎ ‎【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.‎ ‎20.随着经济发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：‎ 个人所得税税率表（调整前）‎ 个人所得税税率表（调整后）‎ 免征额3500元 免征额5000元 级数 全月应纳税所得额 税率（%）‎ 级数 全月应纳税所得额 税率（%）‎ ‎1‎ 不超过1500元部分 ‎3‎ ‎1‎ 不超过3000元部分 ‎3‎ ‎2‎ 超过1500元至4500元的部分 ‎10‎ ‎2‎ 超过3000元至12000元的部分 ‎10‎ ‎3‎ 超过4500元至9000元的部分 ‎20‎ ‎3‎ 超过12000元至25000元的部分 ‎20‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 某税务部门在某公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：‎ 收入（元）‎ 人数 ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎（1）若某员工2月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请计算一下调整后该员工的实际收入比调整前增加了多少?‎ ‎（2）现从收入在及 - 25 -‎ 的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，设随机变量，求的分布列与数学期望.‎ ‎【答案】（1）220；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别计算出调整前和调整后缴纳的个税即可 ‎（2）可得组抽取3人，组抽取4，的取值是，分别算出对应的概率即可 ‎【详解】（1）按调整前起征点应缴纳个税为：元，‎ 调整后应纳税：元，‎ 比较两纳税情况，可知调整后少交个税220元，‎ 即个人的实际收入增加了220元.‎ ‎（2）由题意，知组抽取3人，组抽取4人，‎ 当时，，当，或，时，，‎ 当，时，，所以的所有取值为：0，2，4，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 所求分布列为 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题考查的是分层抽样、离散型随机变量的分布列，属于常考题型.‎ ‎21.已知函数，（）.‎ ‎（Ⅰ）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设，若，若函数对恒成立，求实数的取值范围.（是自然对数的底数，）‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）首先确定函数定义域为，求出导数；当时，可知函数单调递增，根据可知满足题意；当时，可求得导函数的零点；当零点可知满足题意；当或结合函数的单调性和零点存在性定理可判断出存在不止一个零点，不满足题意；综合上述情况得到结果；（Ⅱ）当时，可知，得到，满足题意；当时，根据符号可知单调递增，由零点存在性定理可验证出，使得，从而得到在上单调递减，则，不满足题意，从而得到结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意得：定义域为，则 ‎①当时，恒成立 在上单调递增 又 有唯一零点，即满足题意 ‎②当时 当时，；当时，‎ 即在上单调递减，在上单调递增 - 25 -‎ ‎⑴当，即时，，有唯一零点，满足题意 ‎⑵当，即时，‎ 又，且 ‎，使得，不符合题意 ‎⑶当，即时，‎ 设，，则 在上单调递增 ，即 又 ，使得，不符合题意 综上所述：的取值范围为：‎ ‎（Ⅱ）由题意得：，则，‎ ‎①当时，由得：恒成立 在上单调递增 ‎ 即满足题意 ‎②当时，恒成立 在上单调递增 又，‎ ‎，使得 - 25 -‎ 当时，，即在上单调递减 ‎，则不符合题意 综上所述：的取值范围为：‎ ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数零点个数求解参数范围、恒成立问题的求解、零点存在性定理的应用等知识；本题解题的关键是在无法确定零点所在位置时，能够灵活应用零点存在定理找到不满足题意的点，从而使问题得以解决.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的取值范围．‎ ‎【答案】（1）：，；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消掉参数，从而得到曲线C上的点满足的等量关系即可得曲线的普通方程，再由，化直线的极坐标方程为直角坐标方程即可得解.‎ ‎（2）将曲线的普通方程化为参数方程得（为参数），再利用点到直线的距离公式运算即可得解.‎ ‎【详解】解：（1），平方后得，‎ 又，的普通方程为．‎ - 25 -‎ ‎，即，‎ 将代入即可得到．‎ ‎（2）将曲线化成参数方程形式为（为参数），‎ 则，其中，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查了曲线的普通方程，参数方程、极坐标方程的互化及点到直线的距离 ‎，重点考查了运算能力，属中档题.‎ ‎23.设函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）对任意，恒有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由绝对值不等式的解法，当，分三种情况讨论，求解不等式即可得解；‎ ‎（2）由绝对值不等式的三角不等式性质可得，‎ 再转化为恒成立，再分和讨论即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，‎ - 25 -‎ 则等价于或或，‎ 解得或，‎ 所以的解集为．‎ ‎（2）由绝对值不等式的性质有：，由恒成立，有恒成立，‎ 当时不等式显然恒成立，‎ 当时，由得，‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，主要考查了不等式恒成立问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.‎ - 25 -‎ ‎ ‎ - 25 -‎