高科数学专题复习课件：第四章 4_2同角三角函数基本关系及诱导公式

高科数学专题复习课件：第四章 4_2同角三角函数基本关系及诱导公式

§4.2 　 同角三角函数基本关系及诱导公式 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 (1) 平方关系 ： . 1. 同角三角函数的基本关系 知识梳理 (2) 商数关系 ： . sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 2. 各角的终边与角 α 的终边的关系 角 2 k π ＋ α ( k ∈ Z ) π ＋ α － α 图示 与角 α 终边的关系 相同 关于原点对称 关于 x 轴对称 角 π － α － α ＋ α 图示 与角 α 终边的关系 _________________   关于 y 轴对称 关于直线 y ＝ x 对称 3. 六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2 k π ＋ α ( k ∈ Z ) π ＋ α － α π － α － α ＋ α 正弦 余弦 正切     口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 sin α － sin α － sin α sin α cos α cos α cos α － cos α cos α － cos α sin α － sin α tan α tan α － tan α － tan α 1. 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 . 2. 同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α ±cos α ) 2 ＝ 1±2sin α cos α ； (sin α ＋ cos α ) 2 ＋ (sin α － cos α ) 2 ＝ 2 ； (sin α ＋ cos α ) 2 － (sin α － cos α ) 2 ＝ 4sin α cos α . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 若 α ， β 为锐角，则 sin 2 α ＋ cos 2 β ＝ 1.( 　　 ) (2) 若 α ∈ R ，则 tan α ＝ 恒 成立 .( 　　 ) (3)sin(π ＋ α ) ＝－ sin α 成立的条件是 α 为锐角 .( 　　 ) (4) 诱导公式的记忆口诀中 “ 奇变偶不变，符号看象限 ” ，其中的奇、偶是 指 的 奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化 .( 　　 ) 思考辨析 × × × √ 1.(2015· 福建 ) 若 sin α ＝ ， 且 α 为第四象限角，则 tan α 的值等于 考点自测 答案 解析 2.( 教材改编 ) 已知 sin(π ＋ α ) ＝ ， 则 cos α 的值 为 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 － 1 ∵ f ( f (2 018)) ＝ f (2 018 － 18) ＝ f (2 000) ， 题型分类　深度剖析 题型一　同角三角函数关系式的应用 答案 解析 ∴ cos α ＜ 0 ， sin α ＜ 0 且 cos α >sin α ， ∴ cos α － sin α ＞ 0. (2) 化简： (1 ＋ tan 2 α )(1 － sin 2 α ) ＝ . 答案 解析 1 思维 升华 (1) 利用 sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化， 利用 ＝ tan α 可以实现角 α 的弦切互化 . (2) 应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α ＋ cos α ， sin α cos α ， sin α － cos α 这三个式子，利用 (sin α ±cos α ) 2 ＝ 1±2sin α cos α ，可以知一求二 . (3) 注意公式逆用及变形应用： 1 ＝ sin 2 α ＋ cos 2 α ， sin 2 α ＝ 1 － cos 2 α ， cos 2 α ＝ 1 － sin 2 α . 跟踪训练 1 　已知 sin α － cos α ＝ ， α ∈ (0 ， π) ，则 tan α 等于 答案 解析 题型二　诱导公式的应用 答案 解析 － 1 A.{1 ，－ 1,2 ，－ 2} B .{ － 1,1} C.{2 ，－ 2} D .{1 ，－ 1,0,2 ，－ 2} 答案 解析 ∴ A 的值构成的集合是 {2 ，－ 2}. 思维 升华 (1) 诱导公式的两个应用 ① 求值：负化正，大化小，化到锐角为终了 . ② 化简：统一角，统一名，同角名少为终了 . (2) 含 2π 整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2π 的整数倍的三角函数式中可直接将 2π 的整数倍去掉后再进行运算，如 cos(5π － α ) ＝ cos(π － α ) ＝－ cos α . 答案 解析 － 1 答案 解析 题型三　同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例 3 　 (1) 已知 α 为锐角，且有 2tan(π － α ) － 3cos ( ＋ β ) ＋ 5 ＝ 0 ， tan(π ＋ α ) ＋ 6sin(π ＋ β ) － 1 ＝ 0 ，则 sin α 的值是 答案 解析 2tan(π － α ) － 3cos ( ＋ β ) ＋ 5 ＝ 0 化简为 － 2tan α ＋ 3sin β ＋ 5 ＝ 0 ， ① tan(π ＋ α ) ＋ 6sin(π ＋ β ) － 1 ＝ 0 化简为 tan α － 6sin β － 1 ＝ 0 . ② 由 ①② 消去 sin β ，解得 tan α ＝ 3. 又 α 为锐角，根据 sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 ，解得 sin α ＝ . (2) 已知－ π< x <0 ， sin(π ＋ x ) － cos x ＝ . ① 求 sin x － cos x 的值； 解 答 由－ π< x <0 ，知 sin x <0 ， 又 sin x ＋ cos x >0 ， ∴ cos x >0 ， sin x － cos x <0 ， 解答 引申探究 本 例 ( 2) 中若将条件 “ － π< x <0 ” 改为 “ 0< x <π ” ，求 sin x － cos x 的值 . 解 答 ∴ sin x >0 ， cos x <0 ， 思维 升华 (1) 利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形 . (2) 注意角的范围对三角函数符号的影响 . 答案 解析 (1) 在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论 . (2) 利用诱导公式化简时要对题中整数 k 是奇数或偶数进行讨论 . 分类 讨论思想在三角函数中的应用 思想与方法系列 7 思想方法指 导 答案 解析 － 1 (2) 当 k ＝ 2 n ( n ∈ Z ) 时， 当 k ＝ 2 n ＋ 1( n ∈ Z ) 时， 综上，原式＝－ 1. 课时作业 1.(2016· 西安模拟 ) 已知 cos α ＝ ， α ∈ (0 ， π) ，则 tan α 的值等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 √ ∵ α ∈ (0 ， π) ， √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A.3 B . － 3 C.1 D . － 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 由角 α 的终边落在第三象限 ，得 sin α ＜ 0 ， cos α ＜ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 若 sin(π － α ) ＝－ 2sin ( ＋ α ) ，则 sin α ·cos α 的值等于 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 已知函数 f ( x ) ＝ a sin(π x ＋ α ) ＋ b cos(π x ＋ β ) ，且 f (4) ＝ 3 ，则 f (2 017) 的值为 A. － 1 B.1 C.3 D . － 3 √ 答案 解析 ∵ f (4) ＝ a sin(4π ＋ α ) ＋ b cos(4π ＋ β ) ＝ a sin α ＋ b cos β ＝ 3 ， ∴ f (2 017) ＝ a sin(2 017π ＋ α ) ＋ b cos(2 017π ＋ β ) ＝ a sin(π ＋ α ) ＋ b cos(π ＋ β ) ＝－ a sin α － b cos β ＝－ 3 . *6.(2016· 揭阳模拟 ) 若 sin θ ， cos θ 是方程 4 x 2 ＋ 2 mx ＋ m ＝ 0 的两根，则 m 的值为 √ 答案 解析 又 (sin θ ＋ cos θ ) 2 ＝ 1 ＋ 2sin θ cos θ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 若 f (cos x ) ＝ cos 2 x ，则 f (sin 15°) ＝ . 答案 解析 f (sin 15°) ＝ f (cos 75°) ＝ cos 150° ＝ cos(180° － 30°) ＝－ cos 30° ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 已知角 θ 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 2 x 答案 解析 － y ＝ 0 上，则 2 由题意可得 tan θ ＝ 2 ， 答案 解析 0 因为 α 是第二象限角，所以 sin α >0 ， cos α <0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由已知得 sin α ＝ 2cos α . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 已知在 △ ABC 中， sin A ＋ cos A ＝ . (1) 求 sin A cos A 的值； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 判断 △ ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； 解答 ∵ sin A cos A <0 ， 又 0< A <π ， ∴ cos A <0 ， ∴ A 为钝角， ∴△ ABC 为钝角三角形 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 求 tan A 的值 . 解答 *13. 已知关于 x 的方程 2 x 2 － ( ＋ 1) x ＋ m ＝ 0 的两 根 为 sin θ 和 cos θ ， θ ∈ (0,2π). 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) m 的值； 解 答 由 sin 2 θ ＋ 2sin θ cos θ ＋ cos 2 θ ＝ 1 ＋ 2sin θ cos θ ＝ (sin θ ＋ cos θ ) 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 方程的两根及此时 θ 的值 . 解答