高考数学精英备考专题讲座 圆锥曲线

高考数学精英备考专题讲座 圆锥曲线

圆锥曲线 圆锥曲线是高考命题的热点,也是难点.纵观近几年的高考试题,对圆锥曲线的定义、几何性 质等的考查多以选择填空题的形式出现,而圆锥曲线的标准方程以及圆锥曲线与平面向量、三 角形、直线等结合时,多以综合解答题的形式考查,属于中高档题,甚至是压轴题,难度值一般控 制在 0.3 ~ 0.7 之间. 考试要求 ⑴了解圆锥曲线的实际背景；⑵掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简 单几何性质；⑶了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单几何性质；⑷了解抛物 线的定义、几何图形、标准方程,知道其简单几何性质；⑸了解圆锥曲线的简单应用；⑹掌握 数形结合、等价转化的思想方法. 题型一 圆锥曲线的定义及应用 例1 ⑴已知点 F 为椭圆 22 95 1xy的左焦点, M 是此椭圆上的动点, (1,1)A 是一定点,则 | | | |MA MF 的最大值和最小值分别为 ________ . ⑵已知双曲线的虚轴长为6 ,离心率为 7 2 , 1F 、 2F 分别是它的左、右焦点,若过 的直线与 双曲线的左支交于 A 、 B 两点,且||AB 是 2||AF 与 2||BF 的等差中项,则||AB  . 点拨：题⑴可利用椭圆定义、三角形的三边间关系及不等式性质求最值；题⑵是圆锥曲线 与数列性质的综合题,可根据条件先求出双曲线的半实轴长 a 的值,再应用双曲线的定义与等差 中项的知识求||AB 的值. 解：⑴设椭圆右焦点为 1F ,则 1| | | | 6MF MF,∴ 1| | | | | | | | 6MA MF MA MF    .又 1 1 1| | | | | | | |AF MA MF AF    ( 当 M 、 A 、 共线时等号成立). 又 1 2||AF  ,∴ 2| | | | 6MA MF   , 2| | | | 6MA MF   .故 的最大值为 26  ,最小值为 26  . ⑵依题意有 2 2 2 7 2 26 c a b c a b       ,解得 32a  .∵ 、 在双曲线的左支上,∴ 21| | | | 2AF AF a, 21| | | | 2BF BF a ,∴ 2 2 1 1| | | | (| | | |) 4AF BF AF BF a    . 又 22| | | | 2| |AF BF AB , 11| | | | | |AF BF AB. ∴ 2| | | | 4AB AB a,即| | 4AB a .∴ 33| | 4 2 8AB    . 易错点：在本例的两个小题中,⑴正确应用相应曲线的定义至关重要,否则求解思路受阻； ⑵忽视双曲线定义中的两焦半径的大小关系容易出现解题错误；⑶由 M 、 、 三点共线求 出 的最值也是值得注意的问题. 变式与引申 1. 已知 P 为 抛 物 线 2 4yx 上 任 一 动 点 , 记点 到 y 轴 的 距 离 为 d , 对 于 给 定 的 点 (2,4)A ,||PA d 的最小值为( ). A. 32 B. 321 C. 17 1 D. 17 2.设 1F 、 2F 分别是椭圆 E ： 2 2 4 1x y的左、右焦点,过 的直线l 与 相交于 A 、 B 两点, 且||AB 是 2||AF 与 2||BF 的等差中项,则||AB  ________ . 题型二 圆锥曲线的标准方程 例 2 已知抛物线 1C ： 22x by b经过椭圆 2C ： 22 221( 0)xy ab ab    的两个焦点. ⑴求椭圆 的离心率； ⑵设 (3, )Qb,又 M , N 为 与 不在 y 轴上的两个交点,若 QMN 的 重心在抛物线 上,求 和 的方程. 点拨：问题⑴：将 的焦点坐标代入 的方程,得出 ,bc的关系式,进而求出 的离心率； 问题⑵：利用问题⑴的答案,联立 、 的方程先得出 、 坐标,再利用 的重心在 抛物线 上,求 、 的方程. 解：⑴∵抛物线 经过椭圆 的两个焦点 1( ,0)Fc , 2 ( ,0)Fc ,∴ 220c b b   ,即 22cb , ∴ 2 2 2 22a b c c   ,∴椭圆 的离心率 2 2 c a e  . ⑵由⑴可知 222ab ,椭圆 的方程为 22 222 1xy bb ,联立抛物线 的方程 , 得 2220y by b,解得 2 by  或 yb (舍去),∴ 6 2 xb ,即 6 22 ( , )bbM , 6 22 ( , )bbN  , ∴ 的重心坐标为(1,0) .∵重心在 上,∴ 2210bb   ,得 1b  .∴ 2 2a  . ∴抛物线 的方程为 2 1xy,椭圆 的方程为 2 2 2 1x y. 易错点：忘记用第⑴小问的答案；记错重心坐标公式；联立 、 的方程后,计算错 、 坐标. 变式与引申 3.求经过两点 3( , 2)A  和 3( 2 ,1)B  的椭圆的标准方程. 4.已知椭圆 221( 0, 0)mx ny m n    与直线 10xy   相交于 A 、 B 两点, C 是 AB 的中点, O 图 6 2 1 N M Q y x 若 22AB  ,OC 的斜率为 2 2 ,求椭圆的方程. 题型三 圆锥曲线的几何性质 例 3 如图 62 ,已知 F 为椭圆 22 221( 0)xy ab ab    的左焦点,过点 F 作斜率为 b c ( c 为半焦 距)的直线交椭圆于点 A 、 B 两点. ⑴若直线 AB 的倾斜角为 ,求证：cos e  ( e 为椭圆的离心率)； ⑵若 BF FA ,且 12 23 ( , )  ,求椭圆的离心率 e 的取值范围. 点拨：这是一道过椭圆焦点的直线与椭圆性质的有关问题,依据题给条件, 运用三角公式、斜率与倾斜角的关系以及椭圆离心率知识可使问题⑴获证；对于⑵则运用平 几性质、焦半径公式及题给条件建立含离心率 的不等式,进而求出 的取值范围. ⑴ 解法1 ： ∵ tan b c   ,∴ 222 222 sin 1 cos cos cos b c   , 即 22 2 2 2 22cos ba cc c e     , 又 tan 0b c  , ∴ cos 0  ,故 . 解法 2： 依题意直线 AB 的 分 别 为 ()bb cc y x c x b    ,∴点 的坐标为 (0, )b , 故 cos c a e . ⑵解：∵ ,∴ |||| | | | | BF F xxBF FA x    .将直线 b c y x b代入椭圆 22 221xy ab ,整理得 22 2 2( 1) 0aa cc xx   ,∴ 0Ax  , 2 22 2 B ca ac x   .∵ ,∴ 2 22 2|||||| | | | | BF F xxBF FA x ac cac c      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 3 1 ( , )a a c e a c a c e          ,解不等式 2 2 1 1 2 2 1 3 e e ,得 211 53 e,∴ 53 53 e , 故椭圆的离心率 的取值范围为 53 53 ( , ) . 易错点：问题⑴中忽视斜率的正负,会导致 cos 的符号出错；问题⑵中不适时联想平几性 质，解题思路将受阻. 变式与引申 5.给定抛物线C ： 2 4yx ,过点 ( 1,0)A  斜率为 k 的直线与C 交于 M , N 两点. (Ⅰ)设线段 MN 的中点在直线 3x  上,求 k 的值； (Ⅱ)设 AM AN , 26 23 [ , ]k  ,求  的取值范围. 题型四 以圆锥曲线为载体的探索性问题 O x F B A y 图 622 例 4 已知椭圆 C ： 22 221( 0)xy ab ab    的离心率为 3 3 ,过右焦点 F 的直线l 与 相交于 A、 B 两点.当l 的斜率为1时,坐标原点O 到l 的距离为 2 2 . ⑴求 a 、b 的值； ⑵ 上是否存在点 P ,使得当l 绕 F 转到某一位置时,有OP OA OB uuur uur uuur 成立？若存在,求出所 有的点 P 的坐标与 的方程.若不存在,说明理由. 点拨：问题⑴可先写出 的方程,再利用点 到 的距离和椭圆的离心率求出 、 的值；问 题⑵是存在性探索问题,可先探索命题成立的充要条件,将向量坐标化,再综合运用题给条件,逐 步推出满足题意的 是否存在.但需考虑 转动时斜率不存在情形. 解：⑴ 设 ( ,0)Fc , 当 的斜率为 时 , 其 方 程 为 0x y c   , 点 到 的 距 离 为 | 0 0 | 2 2 2 2 cc , ∴ 1c  .由 3 3 c a e  ,得 3a  , 22 2acb . ⑵ 上存在点 P ,使得当l 绕 F 转到某一位置时,有 成立.由⑴知 的方程为 222 3 6xy.设 11( , )A x y , 22( , )B x y . ①当 l 不垂直 x 轴时,设 l 的方程为 ( 1)y k x. 上的点 使 成立的充要 条件是 的 坐 标 为 1 2 1 2( , )x x y y , 且 22 1 2 1 22( ) 3( ) 6x x y y    , 即 2222 1 1 2 2 1 22 3 2 3 4x y x y x x 1266yy.又 A 、 B 在 C 上,∴ 22 112 3 6xy, 22 222 3 6xy,∴ 1 2 1 22 3 3 0x x y y   ① 将 代入 ,整理得 2 2 2 2(2 3 ) 6 3 6 0k x k x k     , 于是 2 212 6 23 k k xx   , 2 212 63 23 k k xx    , 2 2 2 1 2 1 2 4 23 ( 1)( 1) k k y y k x x       . 代入① 解 得, 2 2k  , 此时 12 3 2 xx, 于是 1 2 1 2 2 ( 2) ky y k x x     , 即 3 22 ( , )kP  . 因此, 当 2k  时, 23 22 ( , )P , 的方程为 220xy   ；当 2k  时, 23 22 ( , )P  ,l 的方程为 220xy   . ②当 垂直于 轴时,由 (2,0)OA OB uur uuur 知, 上不存在点 ,使OP OA OB uuur uur uuur 成立. 综上,C 上存在点 23 22 ( , )P  使 成立,此时 的方程为 220xy   . P 在 M 、 N 之间),O 为坐标原点. ⑴若 2p  , 2m  ,求 OPQ 的面积 S ； ⑵对于任意的动直线l ,是否存在常数 p ，总有 MOP PON   ？ 若存在,求出 的值；若不存在,请说明理由. O x y 图 6 2 3 M N Q P 本节主要考查： ⑴知识点有圆锥曲线的定义、标准方程、简单几何性质(焦点、离心率、焦点三角形, 焦半径等)以及这些知识的综合应用； ⑵以平面向量、三角形、导数为背景的圆锥曲线的方程问题、参数范围问题、最值问题、 定值问题等相关的综合问题； ⑶圆锥曲线定义法、待定系数法、相关点法、点差法、设而不求的整体思想以及坐标法和 “几何问题代数化” 等解析几何的基本方法； ⑷数形结合思想、方程思想、等价转化思想的应用以及逻辑推理能力、运算求解能力等基 本数学能力. 点评： ⑴圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,同时又是高考的热点和压轴点之 一,主要考查圆锥曲线的定义(如例1)与性质(如例3 )、求圆锥曲线方程(如例 2 )、直线与圆锥曲 线的位置关系、以圆锥曲线为载体的探索性问题(如例 4 )等. ⑵圆锥曲线的定义,揭示了圆锥曲线存在的条件性质、几何特征与焦点、离心率相关的问题, 恰当利用圆锥曲线定义和数形结合思想解题,可避免繁琐的推理与运算. ⑶求圆锥曲线的标准方程：①定型——确定是椭圆、抛物线、或双曲线；②定位——判断 焦点的位置；③定量——建立基本量 a 、b 、c 的关系式,并求其值；④定式——据 、 、 的 值写出圆锥曲线方程. ⑷圆锥曲线的性质如范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径、焦点三角形、通径等 都是高考的重点热点.此类问题,它它源源于于课课本本,,又又有有拓拓宽宽引引申申、、高高于于课课本本,,是是高高考考试试题题的的题题源源之之一一,, 应应引引起起重重视视,,注注意意掌掌握握好好这这一一类类问问题题的的求求解解方方法法与与策策略略..如如对对于于求求离心率的大小或范围问题,只 需列出关于基本量 、 、 的一个方程(求大小)或找到关于基本量 、 、 间的不等关系(求 范围)即可. ⑸求参数取值范围是圆锥曲线中的一种常见问题,主要有两种求解方法：一是根据题给条件 建立含参数的等式后,再分离参数求其值域；另一是正确列出含参数的不等式,进而求之.其列不 等式的思路有：①运用判别式 0 或 0 ；②点在圆锥曲线内部(一侧)或外部(另一侧)；③ 利用圆锥曲线的几何意义(如椭圆中 a x a   等)；④根据三角形两边之和大于第三边(注意三 点共线的情况). ⑹解有关圆锥曲线与向量结合的问题时,通性通法是向量坐标化,将一几何问题变成纯代数 问题. ⑺探索性问题是将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,它要求学生具有观察分 析问题的能力、具有创造性地运用所学知识和方法解决问题的能力以及探索精神.解题思路往 往是先假设满足题意,即从承认结论、变结论为条件出发,然后通过归纳,逐步探索待求结论. 习题 6-2 1.已知椭圆中心在原点,左、右焦点 1F 、 2F 在 x 轴上, A 、 B 是椭圆的长、短轴端点, P 是椭圆 上一点,且 1PF x 轴, 2 //PF AB ,则此椭圆的离心率是( ). A. 1 2 B. 5 5 C. 1 3 D. 2 2 2.过抛物线 2 2 ( 0)y px p的焦点 F 作直线l ，交抛物线于 A、B 两点，交其准线于 C 点，若 3CB BF ，则直线 的斜率为___________． 3 .已知定点 ( 1,0)A  , (2,0)F ,定直线l ： 1 2 x  ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 的距离的 2 倍.设点 的轨迹为 E ,过点 的直线交 于 B 、C 两点，直线 AB 、AC 分别交 于 点 M 、 N . ⑴求 E 的方程； ⑵试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F ,并说明理由. 4 .如图,已知直线 l ： 2y kx与抛物线C ： 2 2 ( 0)x py p   交于 A 、 B 两点,O 为坐标原 点, ( 4, 12)OA OB    . ⑴求直线 和抛物线 的方程； ⑵若抛物线上一动点 P 从 到 运动时,求 ABP 面积的最大值. 【答案】 变式与引申 1. C 提示：如图 6-2-1,点 P 到 y 轴的距离 d 比到准线的距离(即||PF )少 1,∴||PA d | | | | 1PA PF   . 而点 A 在抛物线外,∴ ||PA d 的最小值为 17| | 1 1AF    . 2. 3 28 提示：由 椭 圆 定 义 知 22| | | | | | 4 8AF AB BF a    , 又 22| | | | 2| |AF BF AB ， ∴ 23| | 8AB  , 82 3 ||AB  . 3. 解法一：①当焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为 22 221( 0)xy ab ab    , 依题意有 22 22 2 22 ( 3) ( 2) ( 2 3) 1 1 1 ab ab       ,解得 2 2 15 5 a b    . ②当焦点在 y 轴上时,同理解得 2 2 5 15 a b    , ab ,不合,舍去. 综上所求椭圆的方程为 22 15 5 1xy. 解法二：设所求椭圆方程为 221( 0, 0, )mx ny m n m n     .依题意有 3 4 1 12 1 mn mn    ,解得 1 15 1 5 m n     . 故所求椭圆的方程为 22 15 5 1xy. 4. 解法一：设 11( , )A x y , 22( , )B x y ,代 入 椭 圆 方 程 得 22 111mx ny, 22 221mx ny,相 减 得 12()m x x 1 2 1 2 1 2( ) ( )( ) 0x x n y y y y     .∵ 12 12 1AB yy xx k      , 12 12 2 2OC yy xx k   ,∴ 2nm . 由 221 10 mx ny xy       , 得 2( ) 2 1 0m n x nx n     .∴ 12 2n mn xx   , 12 1n mn xx    .又 2 2112| | | | 2ABkAB x x   , ∴ 221( ) 4 4nn m n m n      .将 代入,解得 1 3 m  ,∴ 2 3 n  .故椭圆方程为 222 33 1xy. 解 法 二 ： 由 , 得 . 设 , , 则 , .∴ 222 212 4 4( )( 1)(1 )( ) 2 2 () | | 2n m n nk x x mn AB         ,∴ 1m n mn mn    . ① 设 00( , )C x y , 则 12 0 2 xx n mn x   , 001 m mn yx     ,∴ 0 0 2 2OC y m xn k    , 代入①, 得 , . 故椭圆方程为 . 5. 解：(Ⅰ)过点 ( 1,0)A  斜率为 k 的直线为 )1(  xky , 将 代 入 方 程 2 4yx ， 得 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k    . ① 设 11( , )M x y , 22( , )N x y ,则有 2 212 42k k xx  , 12 1xx  . ∵线段 MN 的中点在直线 3x  上,∴ 126xx,即 2 2 42 6k k   ,得 2 2 k  (此时①式的判别式 大于零). (Ⅱ)由 AM AN ,得 1 1 2 2( 1, ) ( 1, )x y x y   ,即 12 12 1 ( 1)xx yy        ① ② . 由②,得 2 2 2 12yy . ∵ 2 114yx , 2 224yx ,∴ 2 12xx ③ 由 ① 、 ③ 得 2( 1) 1x     , 易知 1  ,∴ 2 1x   , 1x  . ∴ 2 22 1 4 2 4 2k kk      , 又 26 23 [ , ]k  ,∴ 2 142 [4,6] k      , 即 146     , 得 24 1 6     , 解得 233 2 2    或 322 3 2    , 故  的 取 值 范 围 是 2 3 3 2[3 2 ,2 ] [2 ,3 2 ]    . 6. 解：⑴由题意,直线l 的方程为 1yx   .设点 11( , )P x y , 22( , )Q x y ,由 2 4 1y y x x       ,得 2 4 4 0xx   , 则 12 4xx   , 12 4xx  ,∴ 2 1 2 1 212 1 1 1( ) 4 16 16 2 2 2 2 | | | | 2x x x xS ON x x         . ⑵设点 00( , )P x y ,则 2 0 0 2 x p y  .由 M 、P 、N 三点共线得 2 0 0 2 1 x y m   .由 MOP PON   得点 到 y 轴距 离与到直线OM ： 0x my距离相等,即 00 20 || 1 ||x my m x    ,∴ 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 02x m x x m y mx y    , 22 0 0 0 02mx my x y .把 , 00 0 2 0 24 12 x px y p x m   代入,得 0 0 0 224 000 2 2 2 00 4 4 2 2 2 4 2 px x px x xx p x p x p p      , 即 2 0 22 00 41 2 (2 ) xp p x p p x p ,∴ 2 2 2 0042p x p x   , 解得 1 2 p . 故存在常数 , 总有 . 习题 6-2 1. B. 提示：设椭圆的方程为 22 221( 0)xy ab ab    ,则||OA a ,||OB b , 12| | 2F F c , 2 1||b a PF  .由 1PF x 轴, 2 //PF AB ,得 12Rt OAB Rt F F P ∽ ,∴ 1 2 1 | | | | | | | |P OA OB F F F  ,即 22 b a ab c  ,解得 2bc , ∴ 2 2 24a c c ,故椭圆的离心率 5 5 e  .选 B. 2. 22 提示：过点 B 向准线作垂线 BM ,垂足为 M，可知 1cos 3MBC，所以直线l 的斜率为 3 . 解：⑴设 ( , )P x y ,则 22 1( 2) 2 2 | |xyx,化简得 2 2 3 1( 0)yxy   . ⑵① 当直线 BC 与 x 轴 不 垂 直 时 , 设 的 方 程 为 ( 2)( 0)y k x k   , 与 双 曲 线 2 2 3 1yx 联立消去 y 得 2 2 2 2(3 ) 4 (4 3) 0k x k x k     . 由题意知 230k且 0 . 设 11( , )B x y , 22( , )C x y , 则 2 212 4 3 k k xx   , 2 212 43 3 k k xx    , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 3 8 9 3 3 3 ( 2)( 2) [ 2( ) 4] ( 4)k k k k k k y y k x x k x x x x k                . ∵ 1 1x  , 2 1x  ,∴ AB 的 方 程 为 1 1 1 ( 1)y x yx  ,∴ M 点 的 坐 标 为 1 1 31 2 2( 1) ( , )y x  , 1 1 33 2 2( 1) ( , )y x FM   , 同理可得 2 2 33 2 2( 1) ( , )y x FM   , 因此 2 212 22 12 22 2 81 3 4 3 4 33 939 2 2( 1)( 1) 4 4( 1) ( ) 0 k k kk kk yy xx FM FN              . ② 当 直 线 与 轴 垂 直 时 , 其 方 程 为 2x  , 则 (2,3)B , (2, 3)C  , 的 方 程 为 1yx,∴ M 点的 坐标为 13 22 ( , ) , 33 22 ( , )FM  ,同理可得 33 22 ( , )FN    ,因此 23 3 3 2 2 2 ( ) ( ) 0FM FN       . 综上 0FM FN,即 FM FN ,故以线段 MN 为直径的圆经过点 F . 4 .解：⑴由 2 2 2 y kx x py    ,得 2 2 4 0x pkx p   .设 11( , )A x y , 22( , )B x y ,则 12 2x x pk   , 2 1 2 1 2( ) 4 2 4y y k x x pk       .∵ 2 1 2 1 2( , ) ( 2 , 2 4) ( 4, 12)OA OB x x y y pk pk           , ∴ 2 24 2 4 12 pk pk        ,解得 1 2 p k    ,故直线l 的方程为 22yx,抛物线C 的方程 2 2xy . ⑵ 解法一：由 2 22 2 yx xy    , 得 2 4 4 0xx   ,∴ 2 2 2 2 1 2 1 21 ( ) 4 1 2 ( 4) 4( 4)|| k x x x xAB           w w w . k s 5 u . c o m 高 考 资 源 网 ( w w w . k s 5 u . c 104 .设 21 22 2 ( , )( 2 2 2 2 )P t t t       ,∵||AB 为定值,∴当点 P 到直线l 的距离 d 最大 时, ABP 的面积最大.而 22 22 (11| 2 2 | | 2) 4 |22 52 ( 1) t t t d       ,又 222 2 2 2t      ,∴当 2t  时, max 45 5 d  .∴当 P 点坐标为( 2, 2) 时, 面积的最大值为 54 10 2 4 5 28  . 解法二：设 00( , )P x y , 依 题 意 ,抛 物 线 在 点 P 处 的 切 线 与 平行时, 的 面 积 最 大.∵ yx  , ∴ 0 2x  , 2 00 1 2 2yx    , ( 2, 2)P  . 此时点 到直线 的距离 22 | 2 ( 2) ( 2) 2 | 4 4 5 552 ( 1) d          . 由 2 22 2 yx xy    , 得 2 4 4 0xx   ,∴ 2 2 2 2 1 2 1 21 ( ) 4 1 2 ( 4) 4( 4) 10| | 4k x x x xAB            , 故 面积的最大值为 .