陕西省西北工业大学附中2019_2020学年高一上学期期中考试数学试题

陕西省西北工业大学附中2019_2020学年高一上学期期中考试数学试题

‎2019—2020学年上学期高2022届期中考试 数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.设集合，，则下列关系中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据元素与集合之间的关系，即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意可知，，所以，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了元素与集合之间的关系.‎ ‎2. 设集合A＝{－1,3,5}，若f：x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是（ ）‎ A. {0,2,3} B. {1,2,3} C. {－3,5} D. {－3,5,9}‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：-1的映射为-3,3的映射为5,5的映射为9，因此集合B必含有-3,5,9，因此D正确 考点：映射 ‎3.在下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ）‎ A. ,‎ B. ,‎ C. ,‎ D. ,‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同一函数要求，两个函数的定义域和对应法则应相同，对四个选项中的两个函数分别进行判断，得到答案.‎ ‎【详解】两个函数如果是同一函数，则两个函数的定义域和对应法则应相同，‎ 选项中，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，‎ 选项中，，与定义域相同，对应法则也相同，所以二者是统一函数，‎ 选项中，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数， ‎ 选项中定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查两个函数为同一函数的判断，属于简单题.‎ ‎4.设，，则 （　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分析得到，再比较b,c的大小关系得解.‎ ‎【详解】由题得.‎ ‎,‎ 所以.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎5.我国古代数学名著《孙子算经》，其中记载了这样一个“物不知数”的问题：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”，此问题及其解題原理在世界上颇负盛名，中外数学家们称之为“孙子定理”、“中国剩余定理”或“大衍求一术”等.对以上“物不知数”的问题，现有如下表示：已知，，，若，则整数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方法一：将选项A、B、C、D逐个代入集合进行检验，即可得到结果；‎ 方法二：根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”以及和集合，，找到三个数：第一个数能同时被3和5整除； 第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出结果．‎ ‎【详解】方法一：将选项A、B、C、D逐个代入集合逐个检验，可知23是最小整数．故选D.‎ 方法二：首先需要先求出三个数： ‎ 第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；‎ 第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；‎ 第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即． ‎ 最后，再减去3、5、7最小公倍数的若干倍，即：．故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查的是带余数的除法，和集合的交集运算，根据题意求出15、21、70这三个数是解答此题的关键．‎ ‎6.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数表达式中含有绝对值及对数，分别求出满足的条件 ‎【详解】要使函数有意义，应满足 则，且 所以的定义域为 故选 ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，找出题目中的限制条件，有根号的要满足根号内大于或等于零，有对数的要满足真数位置大于零．‎ ‎7.已知方程的两根为，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对方程分解为，可求出，，即可求出的值.‎ ‎【详解】将原方程因式分解为，所以或 ，所以或，所以.故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数的运算，属于基础题.‎ ‎8.函数为偶函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ）‎ A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点中心对称 D. 关于点中心对称 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数定义，可得，然后再根据函数的对称性定义，即可得出结果．‎ ‎【详解】因为为偶函数，所以，所以函数关于直线对称，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性，熟练掌握函数对称性定义是解题的关键，属于基础题.‎ ‎9.在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可列出S与t的函数关系式，再根据解析式判定函数图像.‎ ‎【详解】因为，所以其对应图象为B,‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.‎ ‎10.设奇函数在递减，且，则的解为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的单调性以及，可得出函数在的函数值为正，在上的函数值为负，再利用奇函数的性质对不等式进行化简，解出不等式的解集，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为是奇函数，所以，又奇函数在递减，所以函数在和上递减，又因为，所以时，；时，；所以的解为 ，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的综合应用，解题的关键是利用函数的奇偶性与单调性对函数值的符号作出正确判断，对不等式的分类化简也很重要．本题考查了转化的思想及推理判断的能力，有一定的综合性，是高考考查的重点．‎ ‎11.函数的图象如图所示，则函数的单调减区间是（ ）‎ A. B. C. D. 和 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 欲求函数的单调减区间，设，即求使函数为增函数的相应的的取值范围，根据复合函数单调性的定义和函数图像，即可求出结果．‎ ‎【详解】设． 则原函数是函数： 的复合函数， 因在上是减函数，根据复合函数的单调性，可知函数的单调减区间是函数的单调增区间，根据图象可知，， ∴． 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的单调性，对数函数的单调性，以及考生的数形结合能力，熟练掌握复合函数的单调性的判断方法是解题的关键.‎ ‎12.任意时，恒成立，函数单调，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据单调函数，以及可知，当时，的值是唯一的；又，所以，求出的值，进而求出的解析式，即可求出结果.‎ ‎【详解】设，则，因为单调函数，所以的解是唯一的；又，所以，所以，所以，所以；故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数单调性含义及应用，本题理解函数单调性的含义是解题的关键，本题属于中档题.‎ 二、填空题（4小题，每小题5分、共20分）‎ ‎13.函数的图象过定点，则点坐标为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令指数部分为，进而求出相应的值，可得定点坐标．‎ ‎【详解】当，即时，， 故点坐标为， 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数图象过定点问题，属于基础题．‎ ‎14.函数的单调递减区间是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求得函数定义域以及的单调性；由在上单调递增，再根据复合函数的单调性即可求出结果．‎ ‎【详解】令，故函数的定义域为，函数在 上单调递减，又在上单调递增，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间是；故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．‎ ‎15.已知函数在上为奇函数，且当时，，当时_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，，利用是奇函数，．求出解析式即可．‎ ‎【详解】当时，，因为是奇函数，所以． ‎ 所以．故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法和奇函数的性质，属于基础题.‎ ‎16.若函数，若，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先作出函数的图象，然后再根据图象和函数的单调性对不等式进行分类讨论，即可求出结果.‎ ‎【详解】作出函数的图象，如下图：‎ 由图像可知， ‎ ‎①若，则，即，此时无解；‎ ‎②若，则，即，此时无解；‎ ‎③若，则 ，即；‎ ‎④若，则 ，即；‎ 综上所述，；‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性在解不等式中的应用，同时考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题.‎ 三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（1）化简：；‎ ‎（2）已知，，用，表示.‎ ‎【答案】（1）2；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据对数的运算性质即可求出结果；‎ ‎（2）首先根据指数与对数的关系可得，然后再对化简，可得，将，分别用代入，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）原式 ‎（2），，‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数运算的基本性质，属于基础题.‎ ‎18.设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．‎ ‎(1)求∁U(A∩B)；‎ ‎(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ∁U(A∩B)＝{x|x＜2或x≥3}(2) a＞－4.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求出集合B中不等式的解集确定出集合B，求出集合A与集合B的公共解集即为两集合的交集，根据全集为R，求出交集的补集即可；‎ ‎（2）求出集合C中的不等式的解集，确定出集合C，由B与C的并集为集合C，得到集合B为集合C的子集，即集合B包含于集合C，从而列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．‎ 解：（1）由集合B中的不等式2x﹣4≥x﹣2，解得x≥2，‎ ‎∴B={x|x≥2}，又A={x|﹣1≤x＜3}，‎ ‎∴A∩B={x|2≤x＜3}，又全集U=R，‎ ‎∴∁U（A∩B）={x|x＜2或x≥3}；‎ ‎（2）由集合C中的不等式2x+a＞0，解得x＞﹣，‎ ‎∴C={x|x＞﹣}，‎ ‎∵B∪C=C，‎ ‎∴B⊆C，‎ ‎∴﹣＜2，解得a＞﹣4；‎ 故a的取值范围为（﹣4，+∞）．‎ 考点：补集及其运算；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．‎ ‎19.已知，‎ ‎（1）求与；‎ ‎（2）求与的表达式.‎ ‎【答案】（1），；（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数的定义域，将自变量代入函数解析式即可求出结果；‎ ‎（2）利用代入法，即可求与的解析式，代入的时候要注意函数的定义域．‎ ‎【详解】（1），，，‎ ‎（2），‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法和解析式求法，属于基础题．‎ ‎20.已知函数 ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）判断时函数单调性并用定义证明 ‎【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）在单调递增，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知，可得，对进行分类讨论即可求出结果；‎ ‎（2）设，求出，然后再化简分析，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1），‎ 当时，；‎ 当时，.‎ ‎（2）证明：设，‎ 则 ‎，，，‎ ‎，即 ‎，即，在单调递增.‎ ‎【点睛】本题考查了对数函数的定义域和用定义法证明函数的单调性，属于中档题．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）画出图象并直接写出单调区间；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）不等式，对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）图见解析，在上单调递增；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可将函数解析式化为分段函数，进而画出函数的图象；‎ ‎（2）分别求出，化简，左右相等，即可证明结果；‎ ‎（3）由（2）可知，，由图像可知是奇函数，原恒等式转化为，再根据图像可函数是单调递增函数，可得，恒成立，由此即可求出结果．‎ ‎【详解】（1）如图 在上单调递增；‎ ‎（2），，‎ ‎（3）‎ 显然，，由（1）知在上递增，‎ ‎，恒成立，即，恒成立，‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数单调性和奇偶性在不等式恒成立问题中的应用，同时考查了数形结合在函数中的应用，属于中档题.‎ ‎22.设函数.‎ ‎（1）证明：为偶函数；‎ ‎（2）若，，求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）求出，，然后再根据偶函数的定义，即可证明结果；‎ ‎（2）对，化简，可得，，可得，为方程的根；再令，易知单调递增，可得，由此化简，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，是偶函数.‎ ‎（2），，有，‎ 即，‎ ‎，，‎ ‎，为方程的根 又令，显然单调递增，‎ 由，，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断，同时考查了函数与方程，函数单调性的应用，属于中档题.‎ ‎ ‎