数学文卷·2018届广西柳州市高三上学期摸底联考（2017

数学文卷·2018届广西柳州市高三上学期摸底联考（2017

广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知复数满足，是虚数单位，则复数的虚部是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.如图是调査某地区男女中学生喜欢理科的等高条形阴影部分 表示喜欢理科的百分比，从图可以看出下列说法正确的（ ）‎ ‎①性别与喜欢理科有关 ②女生中喜欢理科的比为 ‎ ‎③男生不比女生喜欢理科的可能性大些 ④男生不軎欢理科的比为 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④‎ ‎4.已知，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5. 若变量满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A． 1 B．2 C. 3 D．4 ‎ ‎6.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 ‎5户家庭，得到如图统计数据表：‎ 收入（万元）‎ ‎8.3‎ ‎8.5‎ ‎9.9‎ ‎11.4‎ ‎11.9‎ 支出（万元）‎ ‎6.3‎ ‎7.4‎ ‎8.1‎ ‎8.5‎ ‎9.7‎ 据上表得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭的年支出为（ ）‎ A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D． 12.2万元 ‎7.函数在上的图象的大致形状是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8.运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为，从集合中任取一个元素，则函数是增函数的概率为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎9.过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎10.空间中，设表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C. 若，则 D．若，则 ‎11.过双曲线 的右焦点作圆的切线（切点为），交轴于点.若为线段的中点，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C. 2 D． ‎ ‎12.已知函数，直线过点且与曲线相切，则切点的横坐标为（ ）‎ A． 1 B． C. 2 D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.平面向量与的夹角为，，则 ．‎ ‎14. 已知焦点在轴上，中心在原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为，则椭圆的方程是 ．‎ ‎15.在锐角中，角所对的边分别为，若，则角等于 ．‎ ‎15. 已知函数对任意都有，的图象关于点对称且，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设数列的前项和为，点均在函数的图象上.‎ ‎（1）求证：数列为等差数列；‎ ‎（2）设是数列的前项和，求.‎ ‎18. 在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，分别是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证:平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎19. 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图.‎ ‎（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；‎ ‎（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率.‎ ‎20. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为5.‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且 ‎，判断直线是否过定点？并说明理由.‎ ‎21. 已知函数在处取得极小值.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）当时，求证.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）把曲线的方程化为普通方程，的方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线，相交于两点，的中点为，过点做曲线的垂线交曲线于两点，求.‎ ‎23. 选修4—5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DBCBC 6-10: BACAB 11、12：AA 二、填空题 ‎13. 14. 1 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. (1)依题意，，即，‎ 时，‎ 当时，符合上式，‎ 所以.‎ 又 ∵，‎ ‎∴是一个以1为首项，6为公差的等差数列. ‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，‎ 故.‎ ‎18. （1）∵分别为的中点，‎ ‎∴.‎ 又平面,平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）连接,∵为中点，,‎ ‎∴.‎ 同理，.‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴平面.‎ ‎（3）由（2）可知平面，‎ ‎∴为三棱锥的高，且.‎ ‎∴.‎ ‎19.（1）由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人. ‎ 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约为人.‎ ‎（2）设“至少有1人体育成绩在为事件，‎ 记体育成绩在的学生为，体育成绩在的学生为，‎ 则从这两组学生中随机抽取2人，所有可能的结果如下：共 10 种.‎ 而事件所包含的结果有共7种，因此事件发生的概率为.‎ ‎20. （1）由题意设抛物线方程为，‎ 其准线方程为，‎ ‎∵到焦点的距离等于到其准线的距离， ‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，‎ 设直线的方程为：，‎ 联立，得，‎ 则①.‎ 设，则.‎ ‎∵‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即，得：，‎ ‎∴，即或，‎ 代人①式检验均满足，‎ ‎∴直线的方程为：或.‎ ‎∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.‎ ‎21.（1）因为，‎ 所以，‎ 因为函数在处取得极小值，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 所以，‎ 当时，，当 时，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以在处取得极小值，符合题意.‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知，∴.‎ 令，即.‎ ‎，由得.‎ 由得，由得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴所以在上最小值为.‎ 于是在上，都有.‎ ‎∴得证.‎ ‎22.（1）曲线的参数方程为（其中为参数），消去参数可得.‎ 曲线的极坐标方程为，展开为，化为.‎ ‎（2）设，且中点为，‎ 联立，‎ 解得，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 线段的中垂线的参数方程为 ‎（为参数），‎ 代入，可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎23. （1）可化为，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴不等式的解集为.‎ ‎（2）∵在上单调递増，又，，‎ ‎∴只需要，‎ 化简为，‎ ‎∴，解得.‎