【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册课件：8-3-1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册课件：8-3-1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

8 . 3 . 1 　 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课标阐释 思维脉络 1 . 了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 , 掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式及体积公式 . ( 直观想象、数学抽象 ) 2 . 能运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积 , 理解棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系 . ( 数学运算 ) 3 . 会求组合体的表面积及体积 . ( 直观想象、数学运算 ) 激趣诱思 知识点拨 金刚石是碳的结晶体 , 是目前自然界中存在的最硬物质 , 其形状除了具有规则的正八面体几何外形 , 还有六面体、十二面体等外形的晶体 . 金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色 , 璀璨夺目的钻石 . 如图就是一块正八面体的钻石 , 如果已知正八面体的棱长 , 你有哪些思路能得出该几何体的表面积 ? 这种几何体如何通过正方体切割出来 ? 激趣诱思 知识点拨 知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积的 和 . 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的 和 . 微练习 正三棱柱的底面边长为 1, 侧棱长为 2, 则它的侧面积为 　　　　　 , 表面积为 　　　　　 .  激趣诱思 知识点拨 知识点二、棱柱、棱锥、棱台的体积 1 . 一般地 , 如果棱柱的底面积是 S , 高是 h , 那么这个棱柱的 体积 V 棱柱 = Sh . 激趣诱思 知识点拨 微练习 如图 , 在正四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , A 1 A= 2, AB= 1, 那么该正四棱柱的体积为 ( 　　 ) A.1 　　　　　　　　　　　 B.2 C.4 D.8 解析 : 正四棱柱的体积为 V=S 正方形 ABCD × AA 1 = 1 2 × 2 = 2 . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 棱柱、棱锥、棱台的表面积 例 1 如图是一个搭建好的帐篷 , 它的下部是一个正六棱柱 , 上部是一个正六棱锥 , 其中帐篷的高为 PO , 正六棱锥的高为 PO 1 , 且 PO= 3 PO 1 . 当 PO 1 = 2 m, PA 1 = 4 m 时 , 求帐篷的表面积 . 分析 帐篷的表面积即上部棱锥侧面积与下部棱柱侧面积之和 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 连接 O 1 A 1 , 因为 PO 1 = 2 m, PA 1 = 4 m , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 空间几何体表面积的求法技巧 求解此类问题时 , 首先要注意题目要求侧面积还是表面积 , 其次观察几何体形状 , 是已知的棱柱、棱锥、棱台 , 还是由这些几何体形成的组合体 , 再利用公式准确计算相关的面积 , 从而求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 若把题目条件中 “ 帐篷 ” 改为 “ 用某种材料制成条件中所示组合体形状的封闭容器 ”, 表面积为多少 ? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 棱柱、棱锥、棱台的体积 例 2 如图 , 正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 a. 截面 A 1 DB 将正方体分成两部分 , 其体积分别为 V 1 , V 2 , 且 V 2 >V 1 . (1) 求 V 1 , V 2 以及 V 1 ∶ V 2 ; (2) 求点 A 到平面 A 1 BD 的距离 d . 分析 (1) 首先明确截面将正方体分成的两个几何体的结构特征 , 然后求出 V 1 , 而 V 2 直接用正方体的体积减去 V 1 即得 ;(2) 利用三棱锥的结构特征 , 根据等积变换列出方程求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 截面将正方体化为两个几何体 , 其中较小部分是一个三棱锥 A 1 -ABD , 其中底面 △ ABD 是腰长为 a 的等腰直角三角形 , 其 面积 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求几何体体积的常用 方法 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 若本例中的正方体改为长方体 , 则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化 ? 试证明你的结论 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 与正棱柱、正棱锥有关的体积和表面积问题 例 3 一个正四棱锥的底面边长为 3 cm , 侧棱长为 5 cm, 则它的体积为 　　　　 cm 3 , 表面积为 　　　　 cm 2 .  分析 由已知求得正四棱锥的底面积与高 , 代入棱锥体积公式可得体积 ; 求出侧面上的高 , 结合条件可求表面积 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 正棱锥的性质如下 : (1) 正棱锥的各侧棱都相等 , 各侧面都是全等的等腰三角形 , 侧面等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高 ; (2) 从顶点向底面作垂线 , 垂足为底面 ( 正多边形 ) 的中心 ; (3) 棱锥的底面及平行于底面的截面为相似的多边形 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 正四棱台 ( 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台 ) 的上、下底面边长分别是 2 cm 和 6 cm, 两底面之间的距离为 2 cm, 则该四棱台的侧面积为 　　　　　 .  解析 : 如图 , 取上、下底面中心 O 1 , O , B 1 C 1 和 BC 的中点 E 1 , E. 在直角梯形 OEE 1 O 1 中 , EE 1 为侧面等腰梯形的高 , 过 E 1 作 E 1 H 垂直于 OE , 垂足为 H , OO 1 = 2 cm, O 1 E 1 = 1 cm, OE= 3 cm, ∴ HE= 2 cm . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 多面体的表面积计算 典例 如图 , 正六棱台的上、下底面均为正六边形 , 六个侧面是全等的等腰梯形 . 如果上、下底面的边长分别为 2 cm 和 4 cm, 侧棱长为 4 cm, 求它的表面积 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有侧面和底面展开成一个平面图形 , 因而平面展开图的面积就是它的表面积 . 可见 , 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 若正方体的表面积为 96, 则正方体的体积为 ( 　　 ) 解析 : 设正方体的棱长为 a , 则 6 a 2 = 96, 解得 a= 4, 故 V=a 3 = 4 3 = 64 . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 已知高为 3 的直棱柱 ABC-A'B'C' 的底面是边长为 1 的正三角形 ( 如图所示 ), 则三棱锥 B'-ABC 的体积为 ( 　　 ) 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 已知正四棱锥棱长为 5, 底面边长为 6, 则此正四棱锥的表面积是 ( 　　 ) 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 ( 方法二 ) 如图 , 设 G , H 分别为 AB , DC 的中点 , 连接 EG , EH , GH , 则 EG ∥ FB , EH ∥ FC , GH ∥ BC , 得三棱柱 EGH-FBC , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 ( 方法三 ) 如图 , 延长 EF 至点 M , 使 EM=AB= 3, 连接 BM , CM , AF , DF , 则多面体 BCM-ADE 为斜三棱柱 , 其直截面面积 S= 3, 则 V 多面体 BCM-ADE =S · AB= 9 . 又 ∵ 平面 BCM 与平面 ADE 平行 , F 为 EM 的中点 , ∴ V 棱锥 F-ADE =V 棱锥 F-BCM , ∴ 2 V 棱锥 F-BCM +V 棱锥 F-ABCD =V 多面体 BCM-ADE , 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . (2020 湖北七校联考 ) 设正三棱锥 S-ABC 的侧面积是底面积的 2 倍 , 正三棱锥的高 SO= 3, 求此正三棱锥的表面积 S.