2018-2019学年江西省金溪县第一中学高二12月月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年江西省金溪县第一中学高二12月月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 江西省金溪县第一中学2018-2019学年高二12月月考数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知椭圆的标准方程，则椭圆的焦点坐标为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题解析：∵‎ ‎∴焦点在y轴上 其焦点坐标为 考点：本题考查椭圆的几何性质 点评：解决本题的关键是判断焦点位置 ‎2．抛物线y=2x2的焦点坐标是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：即，所以抛物线焦点为，故选C。‎ 考点：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质。‎ 点评：简单题，注意将抛物线方程化为标准形式。‎ ‎3．3．已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于为___________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由椭圆的长轴在y轴上，‎ 则a2=m﹣2，b2=8﹣m，c2=a2﹣b2=2m﹣10．‎ 由焦距为4，即2c=4，即有c=2．‎ 即有2m﹣10=4，解得m=7．‎ 故答案为：7.‎ ‎4．椭圆 (a>b>0)的离心率为,则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知 考点：椭圆与双曲线的方程及性质 ‎5．抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设抛物线方程，利用点P（m，1）到焦点距离为5，转化为点到准线的距离为5．‎ ‎【详解】‎ 设抛物线方程为，‎ 由题意得,∴抛物线方程为，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的定义，属于基础题.‎ ‎6．椭圆的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1中点在y轴上，那么|PF1|是| PF2|的（ ）‎ A． 7倍 B． 5倍 C． 4倍 D． 3倍 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 本题考查椭圆定义，几何性质，平面几何知识及运算.‎ 因为线段的中点在轴上，是的中点，所以的边 即时直角三角形，且由椭圆定义得：‎ 又由（1），（2）解得故选A ‎7．已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线方程可化为：，焦点，设线段中点的坐标为，，所以，代入抛物线方程得：，即.‎ 考点：本小题主要考查用相关点法求轨迹方程.‎ 点评：求轨迹方程时，要注意“求谁设谁”的原则.‎ ‎8．若椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的交点，则的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆和双曲线的定义可得，，从而由即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵椭圆和双曲线有相同的焦点、，P是两曲线的交点，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆和双曲线的定义，属于基础题.‎ ‎9．已知是双曲线： 上的一点， ， 是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题知， ，所以==，解得，故选A.‎ 考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.‎ 视频 ‎10．抛物线上离点最近的点恰好是顶点的充要条件是（ ）。‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；抛物线的简单性质．‎ 专题：计算题．‎ 分析：将抛物线上的点离点A的距离用两点距离的平方表示出来，再研究二次函数的最值．‎ 解答：解：设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，则点P离点A（0，a）的距离的平方为 AP2=x2+（y-a）2‎ ‎=x2+y2-2ay+a2‎ ‎∵x2=2y ‎∴AP2=2y+y2-2ay+a2（y≥0）‎ ‎=y2+2（1-a）y+a2（y≥0）‎ ‎∴对称轴为a-1‎ ‎∵离点A（0，a）最近的点恰好是顶点 ‎∴a-1≤0解得a≤1‎ 故选C．‎ 点评：本题考查二次函数在给定区间的最值的求法：弄清对称轴与区间的关系，在y=0时取到最小值，故函数在定义域内递增，对称轴在区间左边．‎ ‎11．设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于 A． B． 2 C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题知，双曲线的渐近线为，所以其中一条渐近线可以为，又因为渐近线与抛物线只有一个交点，所以只有一个解，所以即，因为，所以，，所以离心率，故选B．‎ 考点：双曲线标准方程及离心率的概念，直线与抛物线位置关系.‎ ‎【思路点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和直线与抛物线相切的条件：判别式为，考查运算能力，属于中档题. 可设双曲线 的一条渐近线为，由题意可得有两个相等的实数解，运用判别式为，可得，再由，，的关系和离心率公式计算即可得到所求值.‎ ‎12．已知F是双曲线C： 的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，选D．‎ 点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得，结合PF与x轴垂直，可得，最后由点A的坐标是(1，3)，计算△APF的面积．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是　．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ 由题意，|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.‎ ‎∵ |PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝4，∴|PF2|＋|QF2|－4＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝8.‎ ‎∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝8＋4＝12.‎ 故答案为：12.‎ ‎14．直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设抛物线上的动点的坐标为，它到到直线和的距离之和为，则 =，当时，.‎ 考点：直线与抛物线的位置关系及二次函数的最值.‎ ‎15．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，若，则双曲线的离心率为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用双曲线的通径与，得到a，b，c的关系，运用离心率公式，求出双曲线的离心率．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知,双曲线的通径为：，‎ 因为过焦点且垂直于x轴的弦为AB,若，所以，‎ 所以,由于，‎ 所以,解得，‎ 因为e>1,所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎16．AB是抛物线y=x2的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,由，由弦AB的中点到x轴的距离是1，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 设,则抛物线y=x2的准线方程为，焦点为.‎ ‎∴，‎ ‎∵弦AB的中点到x轴的距离是1，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的焦半径的表示，属于基础题.‎ ‎17．设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），求直线l的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 略 评卷人 得分 三、解答题 ‎18．平面直角坐标系中，椭圆C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，一个右焦点F，离心率为 ,若直线l经过焦点F，其倾斜角为且交椭圆C于A、B两点，线段AB的长为,求椭圆C的标准方程.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的离心率列方程得，，可设椭圆的方程为：，‎ 再设直线的方程为，直线与椭圆联立后可得交点坐标，利用两点间距离公式列方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的离心率为，所以，有.则.‎ 所以可设椭圆的方程为：，即.‎ 直线l经过焦点F，其倾斜角为，可设为：.‎ 由，可得或.‎ 即.‎ 由，解得.‎ 所以椭圆的方程为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了离心率的应用及直线与椭圆的位置关系，属于基础题.‎ ‎19．设，为直角坐标平面内x轴．y轴正方向上的单位向量，若，且 ‎（1）求动点M(x,y)的轨迹C的方程；‎ ‎（2）设曲线C上两点A．B，满足①直线AB过点（0，3），②若，则OAPB为矩形，试求直线AB的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，，，，易得即可知道动点M（x，y）的满足椭圆定义，进而求出轨迹C的方程； ‎ ‎（2）先把直线方程和椭圆方程联立，求出关于点A和点B的坐标的方程，在利用OAPB为矩形转化为OA⊥OB，即为，把代入就可求直线AB的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令，，‎ 则 即 即 又∵ ∴‎ 所求轨迹方程为 ‎（2）解：由条件②可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在 设AB方程为 则 ‎ ‎ ‎.‎ ‎∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB ‎ ‎∴ 得 所求直线方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由椭圆定义求解轨迹问题及直线与椭圆位置关系，向量问题坐标化，设而不求的方法，属于常规题型.‎ ‎20．如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.‎ ‎（1）求点Q的坐标；‎ ‎（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）把直线方程抛物线方程联立求得焦点的坐标，则中点的坐标可得，利用的斜率推断出垂直平分线的斜率，进而求得垂直平分线的方程，把代入求得的坐标．（2）设出的坐标，利用到直线的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形，利用的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．‎ 试题解析：（1）解方程组得或 即，从而AB的中点为．‎ 由，直线AB的垂直平分线方程 令，得 ‎（2）直线OQ的方程为，设．‎ ‎∵点P到直线OQ的距离=，‎ ‎，∴==‎ ‎∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，‎ ‎∴或．‎ ‎∵函数在区间上单调递增，‎ ‎∴当时，的面积取到最大值．‎ 考点：抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其应用及直线与圆锥曲线的综合应用和点直线的距离公式，着重考查了解析几何基础知识的灵活运用．本题解答中，设出的坐标，利用到直线的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形，利用的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.‎ ‎(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；‎ ‎(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设点的坐标为，分别求出直线与的斜率，再利用直线与的斜率之积即可得到关系式，化简后即为动点的轨迹方程；（Ⅱ）对于存在性的问题可先假设存在，由面积公式得：．根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点的横坐标的方程，解之即得；法二是先设出点的坐标，‎ 的坐标可用，表示，结合已知条件，根据面积相等得到关于，的式子，再由点的轨迹方程，联立方程组即可得到点的坐标．‎ 试题解析：（Ⅰ） ∵点与关于原点对称，∴点，‎ 设，∵直线与的斜率之积等于，‎ ‎∴，化简得，‎ ‎∴动点的轨迹方程为．‎ ‎（Ⅱ）法一：设存在点，使得与的面积相等，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴， 即， ∴，解得，‎ ‎∵， ∴， ∴满足条件的点P为．‎ 法二：设，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，又点到直线的距离，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ∴，解得，‎ ‎∵， ∴， ∴满足条件的点P为．‎ 考点：轨迹方程，三角形中的集合运算，点到直线的距离公式．‎ ‎【方法点睛】本题主要考察轨迹方程，三角形中几何计算等问题，属于中档题．求轨迹方程的常用方法，①直接法：直接利用条件建立之间的关系；②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；④相关点法：动点依赖于另一个动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程．对于存在性的问题，可先假设存在，构造方程即可．‎