2014年高考真题——理科数学（新课标Ⅱ）原卷版

2014年高考真题——理科数学（新课标Ⅱ）原卷版

2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1．（ 5 分）设集合 M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则 M∩N=（ ） A． {1} B． {2} C． {0，1} D． {1，2} 2．（ 5 分）设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则 z1z2=（ ） A． ﹣5 B． 5 C． ﹣4+i D． ﹣4﹣i 3．（ 5 分）设向量 ， 满足| + |= ，| ﹣ |= ，则 • =（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 5 4．（ 5 分）钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=1，BC= ，则 AC=（ ） A． 5 B． C． 2 D． 1 5．（ 5 分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已 知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A． 0.8 B． 0.75 C． 0.6 D． 0.45 6．（ 5 分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm）， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个 底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A． B． C． D． 7．（ 5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，t 均为 2，则输出的 S=（ ） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 8．（ 5 分）设曲线 y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x，则 a=（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 9．（ 5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x﹣y 的最大值为（ ） A． 10 B． 8 C． 3 D． 2 10．（ 5 分）设 F 为抛物线 C：y2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则△ OAB 的面积为（ ） A． B． C． D． 11．（ 5 分）直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠BCA=90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC=CA=CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 12．（ 5 分）设函数 f（x）= sin ，若存在 f（x）的极值点 x0 满足 x0 2+[f（x0）]2＜m2，则 m 的取值范围是（ ） A． （﹣∞，﹣ 6）∪（6，+∞） B． （﹣∞，﹣ 4）∪（4，+∞） C． （﹣∞，﹣ 2）∪（2，+∞） D． （﹣∞，﹣ 1）∪（1，+∞） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.（第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题~第 24 题为选考题，考生根据要求作答） 13．（ 5 分）（x+a）10 的展开式中，x7 的系数为 15，则 a= _________ ． 14．（ 5 分）函数 f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为 _________ ． 15．（ 5 分）已知偶函数 f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若 f（x﹣1）＞0，则 x 的取值范围是 _________ ． 16．（ 5 分）设点 M（x0，1），若在圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得∠OMN=45°，则 x0 的取值范围是 _________ ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 17．（ 12 分）已知数列{an}满足 a1=1，an+1=3an+1． （Ⅰ）证明{an+ }是等比数列，并求{an}的通项公式； （Ⅱ）证明： + +…+ ＜ ． 18．（ 12 分）如图，四棱柱 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点． （Ⅰ）证明：PB∥平面 AEC； （Ⅱ）设二面角 D﹣AE﹣C 为 60°，AP=1，AD= ，求三棱锥 E﹣ACD 的体积． 19．（ 12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （Ⅰ）求 y 关于 t 的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地 区 2015 年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：      1 2 1 n ii i n i i t t y y b tt         ， ˆˆa y bt 20．（ 12 分）设 F1，F2 分别是 C： + =1（a＞b＞0）的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N． （1）若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率； （2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|=5|F1N|，求 a，b． 21．（ 12 分）已知函数 f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）设 g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当 x＞0 时，g（x）＞0，求 b 的最大值； （Ⅲ）已知 1.4142＜ ＜1.4143，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001）． 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修 4-1： 几何证明选讲】 22．（ 10 分）如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点 E，证明： （Ⅰ）BE=EC； （Ⅱ）AD•DE=2PB2． 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 23．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程 ρ=2cosθ， θ∈[0， ]． （Ⅰ）求 C 的参数方程； （Ⅱ）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y= x+2 垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定 D 的坐 标． 六、解答题（共 1 小题，满分 0 分） 24．设函数 f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）． （Ⅰ）证明：f（x）≥2； （Ⅱ）若 f（3）＜5，求 a 的取值范围．