2018届二轮复习不等式线性规划课件理（全国通用）
第三讲
不等式、线性规划
【知识回顾】
1.几个不等式
(1)a2+b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当a=b).
(2)ab≤ (a,b∈R).
(3) (a>0,b>0).
(4)2(a2+b2)≥(a+b)2(a,b∈R,当a=b时等号成立).
2a b( )2
2 2a b a b 2abab2 2 a b
2.重要性质及结论
(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是
a 0
0.
，
a 0
0.
，
【易错提醒】
1.忽略条件致误:应用基本不等式求最值时,要注意
“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不可,否则会
导致结论错误.
2.忽视分母不等于零而致误:求解分式不等式时应注意
正确进行同解变形,不能把 ≥0直接转化为
f(x)·g(x)≥0,而忽略g(x)≠0.
3.忽略等号成立的条件致误:在连续使用基本不等式求
最值时,应特别注意检查等号是否同时成立.
f x
g x
【考题回访】
1.(2016·全国卷Ⅱ)若x,y满足约束条件
则z=x-2y的最小值为________.
【解题指南】画出约束条件表示的平面区域,利用图
解法求解.
x y 1 0,
x y 3 0,
x 3 0,
【解析】约束条件表示的平面区域
如图所示,由
则A(1,2).
同理可求B(3,4),C(3,0).平移目标函数y= ,当目
标函数经过点B(3,4)时,z取得最小值,最小值为zmin=
3-2×4=-5.
答案:-5
x y 1 0, x 1,
x y 3 0, y 2,
得
1 zx2 2
2.(2016·全国卷Ⅲ)设x,y满足约束条件
则z=2x+3y-5的最小值为________.
2x y 1 0
x 2y 1 0
x 1
，
，
，
【解析】不等式组所表示的可行域如图阴影部分,平移
直线l0:2x+3y=0,当直线过直线2x-y+1=0和直线x-2y-1
=0的交点时取到最小值,联立 可得交点坐
标为(-1,-1),所以z的最小值为
z=2×(－1)+3×(－1)-5=-10.
答案:-10
2x y 1 0,
x 2y 1 0,
－
－ －
热点考向一 不等式的性质及解法
命题解读:主要考查利用不等式的性质判断命题的真假
以及一元二次不等式的求解,有时会考查含参数不等式
恒成立的求参数值(或范围),以选择题、填空题为主.
【典例1】(1)已知实数x,y满足ax
ln(y2+1)
C.sinx>siny D.x3>y3
2 2
1 1
x 1 y 1 ＞
(2)已知函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)
单调递增,则f(2-x)>0的解集为 ( )
A.{x|x>2或x<-2} B.{x|-24} D.{x|0y,此时
x2,y2的大小不确定,故选项A,B中的不等式不恒成立;
根据三角函数的性质,选项C中的不等式也不恒成立;根
据不等式的性质知选项D中的不等式恒成立.
(2)选C.由题意可知f(-x)=f(x).
即(-x-2)(-ax+b)=(x-2)(ax+b),(2a-b)x=0恒成立,故
2a-b=0,即b=2a,
则f(x)=a(x-2)(x+2).
又函数在(0,+∞)上单调递增,所以a>0.
f(2-x)>0即ax(x-4)>0,解得x<0或x>4.
【规律方法】解不等式的策略
(1)一元二次不等式:先化为一般形式ax2+bx+c>0(a>0),
再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二
次不等式的解集.
(2)含指数、对数的不等式:利用指数、对数函数的单
调性将其转化为整式不等式求解.
【题组过关】
1.(2016·蚌埠一模)若a=ln2，b= ，c= xdx，
则a，b，c的大小关系为( )
A.a1时,f(x)=-log3x<0,则函数f(x)max= ,
g(x)=|x-k|+|x-1|≥|k-x+x-1|=|k-1|,
若对任意的x1,x2∈R,都有f(x1)≤g(x2)成立,
21 1 1(x )2 4 4
，
1
4
1 1 1k 1 k 1 k 14 4 4
5 3k k .4 4
则 ，即 或 ，
即 或
【加固训练】
1.(2016·广州二模)不等式组 的解集记为D,
若(a,b)∈D,则z=2a-3b的最大值是 ( )
A.1 B.4 C.-1 D.-4
x y 0,
x y 2,
x 2y 2
－
－
－ －
【解析】选A.不等式组表示的平面区域的交点坐标分
别为A(-1,-1),B(-2,0),C(2,2),zA=1,zB=-4,zC=-2.
2.(2016·惠州二模)已知集合A={x|y= },B={x|x2
-2x<0},则A∩B= ( )
A.(0,2] B.(0,2)
C.(-∞,2] D.(2,+∞)
2 x
【解析】选B.因为A={x|y= }={x|x≤2},B={x|x2-
2x<0}={x|00,b>0,a+b=
的最小值为 ( )
A.4 B.2
C.8 D.16
1 1 1 2
a b a b
，则
2
(2)(2016·开封一模)设a>b>0,当a2+ 取得最小
值时,函数f(x)= +bsin2x的最小值为 ( )
A.3 B.2
C.5 D.4
4
b a b
2
a
sin x
2
2
【解题导引】(1)先求出ab的值,从而求出 的最小
值即可.
(2)根据基本不等式求出a,b的值,再利用换元法,求出
f(x)的最小值即可.
1 2
a b
【规范解答】(1)选B.由a+b= ,有ab=1,
则
(2)选A.a2+ =a2+b2-ab+b(a-b)+
1 1
a b
1 2 1 22 2 2.a b a b
4
b a b
4
b a b
2
2
42ab ab 2 b a b ab 4b a b
af x bsin x 2 absin x
，
所以 ，
因为b(a-b)≤ ,当且仅当a=2b时取等号,
所以 当且仅当a2=4时,即
a=2时取等号,此时b=1,
所以f(x)=
设sin2x=t,则t∈(0,1],
2 2b a b a
4 4
2 2
2
4 16a a 2 16 8b a b a
，
2 2
2 2
a 2bsin x sin xsin x sin x
，
所以y= +t,因为y= +t在(0,1]上单调递减,
所以ymin= +1=3.
2
t
2
t
2
1
【规律方法】利用不等式求最值的解题技巧
(1)凑项:通过调整项的符号,配凑项的系数,使其积或
和为定值.
(2)凑系数:若无法直接运用基本不等式求解,可以通过
凑系数后得到和或积为定值,从而可利用基本不等式求
最值.
(3)换元:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式
子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最
值.即化为y=m+ +Bg(x)(A>0,B>0),g(x)恒正或恒负
的形式,然后运用基本不等式来求最值.
(4)单调性:应用基本不等式求最值时,若遇等号取不到
的情况,则应结合函数的单调性求解.
A
g x
【题组过关】
1.(2016·桂林二模)已知m,n为正实数,向量a=(m,1),
b=(1,n-1),若a⊥b,则 的最小值为________.1 2
m n
【解析】由a⊥b,得m+n=1,
(当且仅当 时取等号),即
的最小值为3+2 .
答案:3+2
1 2 1 2 n 2m n 2mm n ( ) 3 3 2 3 2 2.m n m n m n m n
则
n 2m m 2 1,,m n
n 2 2m n 1,
即 1 2
m n
2
2
2.定义运算“⊗ ”:x⊗ y= (x,y∈R,xy≠0),当x>0,
y>0时,x⊗ y+(2y)⊗ x的最小值为____________.
2 2x y
xy
－
【解析】当x>0,y>0时,x⊗ y+(2y)⊗ x=
所以所求的最小值为 .
答案:
2 2 2 2x y 4y x
xy 2yx
－ －
2 2x 2y 2 2xy 2.2xy 2xy
2
2
3.(2016·黄冈一模)已知函数f(x)=ln(x+ ),若
正实数a,b满足f(2a)+f(b-1)=0,则 的最小值是
________.
2 21 x
1 1
a b
【解析】因为f(x)=ln(x+ ),f(-x)=ln(-x+
),所以f(x)+f(-x)=ln[(x+ )(-x+
)]=ln1=0,
所以函数f(x)=ln(x+ )为R上的奇函数,
又y=x+ 在其定义域上是增函数,
故f(x)=ln(x+ )在其定义域上是增函数,
2 21 x
2 21 x 2 21 x
2 21 x
2 21 x
2 21 x
2 21 x
因为f(2a)+f(b-1)=0,所以2a+b-1=0,故2a+b=1.故
(当且仅当 时,等
号成立).
答案:2 +3
1 1 2a b 2a b b 2a b 2a2 1 3 2 2 3a b a b a b a b
．
b 2a 2 22a b 1 a b 2 1a b 2
且 ，即 ，
2
【加固训练】
1.(2016·莆田一模)已知函数f(x)= 若不
等式f(x)+1≥0在x∈R上恒成立,则实数a的取值范围为
( )
A.(-∞,0) B.[-2,2]
C.(-∞,2] D.[0,-2]
2
x
x ax,x 0,
2 1,x 0
＞
，
【解析】选C.由f(x)≥-1在R上恒成立,可得当x≤0时,
2x-1≥-1,即2x≥0显然成立;又x>0时,x2-ax≥-1,即为
当且仅当x=1时,取得最小值2,可得a≤2,综上可得a≤2.
2x 1 1 1 1a x x 2 x 2x x x x
，由 ，
2.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当 取得最
大值时, 的最大值为________.
xy
z
2 1 2
x y z＋ －
【解析】
当且仅当 ,即x=2y时“=”成立,
此时z=2y2,
故当 有最大值1.
答案:1
2 2
xy xy 1 1
x 4yz x 3xy 4y 4 33y x
＝ ＝ ，
x 4y
y x＝
2
2
2 1 2 1 2 1( 1) 1x y z y y y
＋ － ＝－ ＋ ＝－ ＋ ，
1 2 1 21 y 1y x y z＝ ，即 ＝ 时 ＋ －
热点考向三 线性规划问题
命题解读:主要考查线性约束条件、可行域等概念,考
查在约束条件下最值的求法,区域面积的求法,以及已
知最优解或可行域的情况求参数的值或取值范围,一般
为选择题、填空题.
命题角度一 已知约束条件,求目标函数最值
【典例3】(1)(2015·全国卷Ⅱ)若x,y满足约束条件
则z=x+y的最大值为__________.x y 1 0,
x 2y 0,
x 2y 2 0
，
(2)(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B
需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料
1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材
料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利
润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现
有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的
条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为
________元.
【解题导引】(1)画出平面区域,平移直线,求出最值.
(2)可先将应用问题,转化为线性规划问题,再去求解.
【规范解答】(1)画出可行域如图所示,
目标函数y=-x+z,当z取到最大值时,y=-x+z的纵截距最
大,故将直线移到点D 时,zmax=
答案:
1(1, )2
1 31 .2 2
3
2
(2)设生产A产品x件,B产品y件,根据所耗费的材料要求、
工时要求等其他限制条件,构造线性规划约束条件为
1.5x 0.5y 150,
x 0.3y 90,
5x 3y 600,
x 0,
y 0,
x N*,
y N*.
目标函数z=2100x+900y.
作出可行域为图中的四边形,包括边界包含的整点,顶
点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),
可行域为:z在(60,100)处取得最大值,
zmax=2100×60+900×100=216000.
答案:216000
命题角度二 解决参数问题
【典例4】(2016·太原一模)已知满足
的实数x、y所表示的平面区域为M,若函数y=k(x+1)+1
的图象经过区域M,则实数k的取值范围是 ( )
A.[3,5] B.[-1,1]
C.[-1,3] D.
2x y 2 0
x 2y 4 0
3x y 3 0
，
，
1[ 1]2
，
【解题导引】由题意,作出不等式组对应的可行域,由
于函数y=k(x+1)+1的图象是过点A(-1,1),斜率为k的直
线l,故由图即可得出其范围.
【规范解答】选D.作出可行域,如图,因为函数y=k(x+1)
+1的图象是过点A(-1,1),且斜率为k的直线l,由图知,
当直线l过点M(0,2)时,k取最大值;当直线l过点
N(1,0)时,k取最小值- ,
故k∈
1
2
1[ 1].2
，
【规律方法】
1.平面区域的确定方法
平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”,二
元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表
示的区域的交集.
2.线性目标函数z=ax+by最值的确定方法
(1)将目标函数z=ax+by化成直线的斜截式方程(z看成
常数).
(2)根据 的几何意义,确定 的最值.
(3)得出z的最值.
z
b
a
b
【题组过关】
1.(2016·九江一模)如果实数x,y满足不等式组
目标函数z=kx-y的最大值为6,最小值为0,
则实数k的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
x y 3 0
x 2y 3 0
x 1
，
，
，
【解析】选B.作出其平面区域如图:
A(1,2),B(1,-1),C(3,0),
因为目标函数z=kx-y的最小值为0,
所以目标函数z=kx-y的最小值可能在A或B时取得,
所以①若在A上取得,则k-2=0,则k=2,此时,
z=2x-y在C点有最大值,z=2×3-0=6,成立;
②若在B上取得,则k+1=0,则k=-1,
此时,z=-x-y,在B点取得的值是最大值,
故不成立.
2.(2015·全国卷Ⅱ)若x,y满足约束条件
则z=2x+y的最大值为__________.
x y 5 0,
2x y 1 0,
x 2y 1 0,
【解析】画出可行域如图所示
目标函数y=-2x+z,当z取到最大值时,y=-2x+z的纵截距
最大,故将直线移到点B(3,2)时,zmax=2×3+2=8.
答案:8
3.(2015·全国卷Ⅰ)若x,y满足约束条件
则 的最大值为________.
x 1 0,
x y 0,
x y 4 0
－
－
－ ，y
x
【解题导引】由约束条件画出可行域,根据 是可行域
内一点与原点连线的斜率进行求解.
y
x
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,
由斜率的意义知, 是可行域内一点与原点连线的斜率,
由图可知,点A(1,3)与原点连线的斜率最大,故 的最
大值为3.
答案:3
y
x
y
x
